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从数学的三大危机看数学与哲学


从三次数学危机浅谈数学与哲学的关系
摘要 哲学是人类关于自然、社会、思维的基本规律,数学是一门高度抽象而又逻辑严谨的科学. 哲学像是望远镜,指导着数学发展的方向.数学像是显微镜,探索着世界的奥秘.本文将从三 次数学危机出发,浅谈哲学与数学的关系.

§1 “万物皆数”观点的破灭与再生--第一次数学危机
毕达哥拉斯学派主张”数”是万物的本原,而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之 比.他们认为: 1 是最神圣的数字,1 生 2,2 生诸数,数生点,点生线,线生面,面生体,体生万物. 有趣的是,正是毕达哥拉斯自己的发现,导致”万物皆数”观点的破灭.毕达哥拉斯(也许是 他的门徒希帕索斯)发现:等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的,它们的比不能归 结为整数或整数之比.这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条 ,同时也冲击了当时 希腊人的普遍见解从而触发了数学史上的第一次危机 .为避开这一障碍 , 数学家们走上了 几何学的研究道路, 从而在对无理数的争论过程中诞生了欧几里德几何学 .之后,大约在 1 9 世纪 2 0 年代左右又诞生了非欧几何. 提出”万物皆数”的观点是一个错误.因为数是概念,不是物.但这个错误背后是一个人 类认知上的大进步——认识到数量关系在宇宙中的重要性.而”万数皆数”观念的破灭,同 样是一个错误.错误在于,认为数不足以表达万物了.错误又是由于一个大的进步引起的:发 现了无理数.人们发现了无理数,又不敢承认它是数,这就是第一次数学危机. 正如数学家克莱因所说,非欧几何真正的诞生是”不需要任何技术性的数学推导而 是 需要认识到平行公理的正确性仅是基于经验,并非不证自明”:认识到”任何一组假设如果 不导致矛盾的话,就一定提供一种可能的几何”;更要认识到”抽象的或数学的空间是不同 于感性认识的空间”.而要具备这些观念,首要的是否定”物质世界必然是欧几里德式的”, 否定”欧几里德几何是唯一的与必然的”.自从非欧几何诞生之后,人们从传统的形而上学 观念中解放出来了,重新开始对数学性质的理解, 以及对数学和现实世界的关系的理解.认 识 到了区别数学抽象和感性直观的重要性 ,使人们对空间形式的认识从直观空间上升到抽 象空 间.

§2 量的鬼魂--第二次数学危机
十七世纪末,牛顿和莱布尼兹创立的微积分理论在实践中取得了成功的应用 ,但是当时 的整个微积分是建立在极不严密的无穷小概念之 上, 没有一个坚实的基础.贝克莱主教曾 猛烈攻击牛顿的微积分观点,他讽刺地挖苦到”无穷小”既不是 0,也不是非 0 的数量,那么 它一定是量的鬼魂.虽然贝克莱的哲学观点大都荒谬,但他的这次攻击还是切中要害的.牛顿 和当时的数学家在逻辑上无法严格解释,数学家们相信它,只是因为它用起来十分有效,得出 的结果总是对的.这就是数学史上的第二次危机.后来法国数学家柯西发展和建立了极限理 论,从而解决了第二次危机. 同时从哲学上,这最终地驳斥了芝诺”飞矢不动”的诡论.在一瞬间,尽管物体占据了一 个确定的位置,但不等于说静止了.因为我们能实实在在地求出它的瞬时速度来!

§3 罗素悖论引起的轩然大波--第三次数学危机

在历史既将跨入 20 世纪的时候,数学界出现了研究数学基础的高峰.人们把数学基础理 论的无矛盾性,归结为集合论的无矛盾性,集合论已成为整个现代数学的逻辑基础,数学这座 富丽堂皇的大厦就算竣工了 . 然而 , 事隔不到两年 , 英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素 (1872—1970)即宣布了一条惊人的消息:集合论是自相矛盾的,并不存在什么绝对的严密 性!史称”罗素悖论”.1918 年,罗素把这个悖论通俗化,成为理发师悖论.罗素悖论的发现, 无异于晴天劈雳,把人们从美梦中惊醒.罗素悖论以及集合论中其它一些悖论,深入到集合论 的理论基础之中,从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性 .于是在数学和逻辑 学界引起了一场轩然大波,形成了数学史上的第三次危机. 为了解决第三次数学危机,数学家们作了不同的努力.由于他们解决问题的出发点不同, 所遵循的途径不同,所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派 ,这就是以罗素为首的逻 辑主义学派、以布劳威尔(1881—1966)为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义 学派.这三大学派的形成与发展,把数学基础理论研究推向了一个新的阶段. 时至今日,第三 次数学危机还不能说已从根本上消除了,因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从 根本上得到解决.然而,人们正向根本解决的目标逐渐接近.可以预料,在这个过程中还将产 生许多新的重要成果.

§4数学与哲学的关系 §4.1 哲学指导数学的发展
哲学是人类认识世界的先导,关心的首先应当是科学的未知领域.在人类的科学手段、 科 学方法尚未达到真切认识事物的时候 ,哲学往往有很强的前瞻作用,这种认识往往会指导人 类去准确定位客观事物,对科学的发展方向能够正确把握.哲学家谈论原子在物理学家研究 原子之前,哲学家谈论元素在化学家谈论元素之前 ,哲学家谈论无限与连续性在数学家说明 无限与连续性之前.希尔伯特曾直言不讳,他关于无限的形式主义思想来自康德的哲学观念. 罗素从分析哲学的基本立场出发,坚持逻辑即数学的青年时代,数学即逻辑的壮年时代的观 点. 一旦科学真真实实地研究哲学家所谈论的问题时,哲学才沉默了,它倾听科学的发现,准 备提出新的问题. 哲学在某种意义上是望远镜,面对着浩淼的宇宙,面对着人类的种种困难问题,哲学的望 远镜不受限制.数学则相反,它最容易进入成熟的科学,获得了足够丰富事实的科学,能够提 出规律性假设的科学.它好像是显微镜只有把对象拿在手中,甚至切成薄片,做成标本,才能 用显微镜观察它. 哲学从一门学科的退出,意味着这门学科的诞生.数学渗入一门学科,甚至控制一门学科, 意味着这门学科达到成熟的阶段.哲学的地盘在缩小,数学的领域在扩大,这是科学发展的结 果,人类智慧的胜利.”

§4.2数学始终影响着哲学
柏拉图有句名言: ”没有数学就没有真正的智慧.”智慧是被运用于生活中的哲学,是哲 学的生活化、实际化.历史上,很多著名的哲学家同时也是伟大的数学家.比如:古希腊的泰 勒斯(公元前 624 一前 547),他是著名的哲学家,同时又是希腊几何学的鼻祖; 古希腊的毕达 哥拉斯(约公元前 580 一前 497),他是古希腊数学家、 天文学家、 哲学家,他发现了勾股定理, 他的哲学基础是”万物皆数”;古希腊的德谟克利特(公元前 460 一约前 370),他是唯物主 义哲学家,”原子论”的创立者,又是几何学家;法国的笛卡尔(1596—1650),他是数学家、 哲学家、物理学家,解析几何的奠基人之一;法国的莱布尼茨(1646—1716),他是德国的数学 家、哲学家、科学家.他独立创建了微积分,并发明了优越的微积分符号,他在哲学上是客观

唯心主义者,”单子论”是他的著名哲学观点. 为什么哲学家如此重视数学呢? 当哲学家要说明世界上的一起时,他看到,万物都具有一定的量,呈现出具体的形.数学 的对象寓于万物之中.当哲学家谈论怎样认识真理时,他不能不注意到,数学真理是那么清晰 而无可怀疑,那样必然而普遍.当哲学家谈论抽象的事物是否存在时,数学提供了最抽象而又 最具体的东西,数、形、关系、结构.它们有着似乎是不依赖于人的主观意志的性质.当哲学 家希望在争论中把概念弄得更清楚时,数学提供了卓有成效的形式化方法.

§6 地平线仍在前方
数学家和哲学家追求数学的最初生长点的研究,恰像一次向远处的地平线走去的旅行 . 终点似乎就在前面,但走过去之后发现,它还在前方.但旅行者毕竟一次又一次地大开眼界, 他发现了越来越广大的世界. 数学经历了三次危机. 第一次危机的结果,是严格的数学理论的建立.数学家回答了”什么是连续性?”这个古 老的哲学问题. 第二次危机的结果,是微积分的严密基础的建立.数学家掌握了描述运动与变化的有效 方法.彻底弄清了”芝诺悖论”,回答了运动是怎么回事?”这个古老的哲学问题. 第三次数学危机,涉及”数学自身的基础是什么?”在这次危机产生前后,一些卓越的数 学家卷入了关于数学本质问题的激烈争论中 ,危机的结果,产生了”数学基础”这个至今尚 在蓬勃发展的数学领域. 矛盾是事物发展的动力.这个原理在数学发展过程中不断得到证明.

参考文献
[1]戴峰,哲学视域下的第三次数学危机,2010. [2]郭翠花,浅谈数学与哲学的关系,中山大学研究生学报,26-3,2005 [3]张景中,数学与哲学,大连理工大学出版社,2008


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