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深圳中学高二迎新杯竞赛参考答案


2013 年深圳中学第 2 届迎新杯竞赛

2013 年深圳中学第 2 届迎新杯高二年级数学竞赛参考答案
考试时间: 2012 年 12 月 27 日 4:50—6:10 姓名: 体系: 班级: 得分: 分值 120 分

一、填空题(每题 8 分,共 64 分)

A? C B 1.0.解:显然 OA, OB 夹角为 180 ,故 AB 为圆 O 的直径,所以 CA ^ CB ,即 C
2.解: f (0) = f (1) - 7 = f (2) - 14 = 3.

0.

= f (7) - 49 = 37 - 27 + 3 - 49 = 2013 .

2 3

解:设 M (3 cos? ,2 sin ? ) ,则 l 的方程为: (3 cos? ) x ? (2 sin ? ) y ? 2 ,

xP ?

2 1 1 2 2 , yQ ? , S ? xP ? yQ ? ? 3c o s ? sin ? 2 3 sin 2? 3

4.

33 .当 n ? 2 时,有 a1 ? a2 ? 100

? an ? n3 , a1 ? a2 ?

? an?1 ? (n ?1)3 ,

两式相减,得 an ? 3n2 ? 3n ? 1,所以 故
1 1 ? ? a2 ? 1 a3 ? 1 ? 1 a100 ? 1

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), n ? 2,3, an ? 1 3n(n ? 1) 3 n ? 1 n

1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? 3 2 3 2 3

1 1 1 ? ( ? ) 3 99 100

1 1 33 ? (1 ? )? . 3 100 100 2 5. . 解:在△ABC 中,有 5

(cot A ? cot B) tanC ?

sin( A ? B) sin C sin 2 C ? ? sin A ? sin B cosC sin A ? sin B ? cosC 2 c 2ab 2c 2 2c 2 2 ? ? 2 ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 ab a ? b ? c 5 a ?b ?c 6c ? c

6.答案: ?? 2,2? 设 x ? sec? , y ? tan? ?? ? k? ? 又 ? 1 ? sin ? ? 1 得

? ?

?

1 2y ? 2 ? ??sin ? ? 1? ? 2 , k ? Z ? ,得 2 ? x x 2 ?

1 2y ? ? ?? 2,2 ? . x x2

5] ,且 y ? 0 .根据柯西不等式有: 7. 6 3 .解:函数的定义域为 [1,

y ? 5 ? x ?1 ? 2 ? 5 ? x ? 52 ? ( 2 ) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( 5 ? x ) 2 ? 27 ? 4 ? 6 3
上式当且仅当 2 ? x ?1 ? 5 ? 5 ? x 时,等号成立,即 x ?
127 时取最大值 6 3 . 27

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2013 年深圳中学第 2 届迎新杯竞赛

8.90.解:第一行染 2 个黑格有 6 种染法.第一行染好后,有如下三种情况: (1) 第二行染的黑格均与第一行的黑格同列,这时其余行都只有一种染法; (2)第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列,这时第三行有 6 种染法,第四 行的染法随之确定; (3)第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列,这样的染法有 4 种,而在 第一、第二这两行染好后,第三行染的黑格必然有 1 个与上面的黑格均不同列, 这时第三行的染法有 2 种,第四行的染法随之确定. 因此,共有染法为 6 ? ?1 ? 6 ? 4 ? 2? ? 90 种.填 90. 解答题.
9.证明:原不等式等价于 ( ? 当

1 a

1 1 ? )(a ? b ? c) ? a ? b ? c ? 6 . b c

a?b?c ? 3 时 , 由 均 值 不 等 式 或 柯 西 不 等 式 知 1 1 1 ( ? ? )(a ? b ? c) ? 9 ? a ? b ? c ? 6 ; a b c
当 a ? b ? c ? 3 时,注意到

1 1 1 1 ? ? ? 33 ? 3 ,所以有 a b c abc
3a ? ( ? b ? c ) ? a ? b? c.6
证毕.

1 1 1 ( ? ? )a ( ? b? c ? ) a b c

c ? 2a , 10. (1) 由双曲线离心率为 2 知, 双曲线方程化为 b ? 3a ,

x2 y 2 ? ? 1. 又 a 2 3a 2

? x2 y 2 ? ?1 ? 直线 l 方程为 y ? x ? m .由 ? a 2 3a 2 ,得 ? y ? x?m ?
2 x 2 ? 2mx ? m2 ? 3a 2 ? 0 .


?m2 ? 3a 2 . 2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , x1 x2 ?

因为 AP ? 3PB ,所以 (? x1 , m ? y1 ) ? 3( x2 , y2 ? m) , x1 ? ?3x2 .
3 1 ?m2 ? 3a 2 结 合 x1 ? x2 ? m , 解 得 x1 ? m , x2 ? ? m . 代 入 x1 x2 ? ,得 2 2 2

3 ?m2 ? 3a 2 ? m2 ? ,化简得 m2 ? 6a 2 .又 4 2

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2013 年深圳中学第 2 届迎新杯竞赛

OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m)

且 OA ? OB ? 3 . ? 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 2 ? m 2 ? 3a 2 ? 3a 2,

所以 a 2 ? 1 .此时, m ? 6 ,代入①,整理得 2x2 ? 2 6 x ? 9 ? 0 ,显然该方 程有两个不同的实根. a 2 ? 1 符合要求.故双曲线 C 的方程为 x 2 ?
y2 ? 1. 3

0) .由(1)知,双曲线右焦点为 F (2 , 0) .设 (2)假设点 M 存在,设 M (t ,

Q( x0 , y0 ) ( x0 ? 1 )为双曲线 C 右支上一点.
当 x0 ? 2 时, tan ?QFM ? ?k Q F ? ?
2?

y0 y , tan ?QMF ? k Q M ? 0 ,因为 x0 ? 2 x0 ? t

y0 y x0 ? t ?QFM ? 2?QMF ,所以 ? 0 ? . x0 ? 2 1 ? ( y0 ) 2 x0 ? t
2 2 2 2 将 y0 ? (4 ? 2t ) x0 ? 4t ? ?2x0 ? 2tx0 ? t 2 ? 3 . ? 3x0 ? 3 代入,并整理得, ?2x0

? 4 ? 2t ? ?2t 于是 ? ,解得 t ? ?1 .当 x0 ? 2 时, ?QFM ? 900 ,而 t ? ?1 时, 2 ? ? 4t ? t ? 3
符合 ?QFM ? 2?QMF . 所以 t ? ?1 符合要求. 满足条件的点 M 存 ?QMF ? 450 ,
0) . 在,其坐标为 (?1 ,

11.连接 DE,DF,则△BDF 是等腰直角三角形.于是 ?FPD ? ?FDB ? 45? , 故 ?DPC ? 45? .又 ?PDC ? ?PFD ,所以△PFD ∽ △PDC,所以 PF PD ? . ① FD DC
?AEP ? ?ADE , 又由 ?AFP ? ?ADF , 所以, △AFP ∽ △ADF, △AEP ∽

△ADE,于是

EP AP AP FP ? ? ? ,故由①得 DE AE AF DF EP PD ? . DE DC



因为 ?EPD ? ?EDC ,结合②得,△EPD ∽ △EDC,所以,△EPD 也是 等腰三角形,于是 ?PED ? ?EPD ? ?EDC ,所以, PE ∥ BC .

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2013 年深圳中学第 2 届迎新杯竞赛

A P F B C E

D

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