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中考数学压轴题解题技巧


中考数学压轴题解题技巧
数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广,综合性最强的题型。综合近年来各地中考 的实际情况,压轴题多以数学综合题的形式出现,常见题型有两类:函数型压轴题和几何 形压轴题。压轴题考查知识点多,条件也相当隐晦,这就要求学生有较强的理解问题、分 析问题、解决问题的能力,对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力,并有较强的创新意 识和创新能力,当然,还必须具有强大的心理素质。 下面从知识角度和技术角度谈谈中考数学压轴题的解题技巧。 先以 2009 年河南中考数学压轴题为例: 如图,在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(4,0) C(8,0) D(8, 、 、 8).抛物线 y=ax +bx 过 A、C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)动点 P 从点 A 出发.沿线段 AB 向终点 B 运动,同时点 Q 从点 C 出发,沿线段 CD 向终点 D 运动.速度均为每秒 1 个单位 长度,运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E. ①过点 E 作 EF⊥AD 于点 F, 交抛物线于点 G.当 t 为何值时, 线段 EG 最长? ②连接 EQ.在点 P、Q 运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?请 直接写出相应的 t 值. 这是一道函数型压轴题。函数型压轴题主要有:几何与函数相结合型、坐标与几何、 方程与函数相结合型。这些压轴题主要以函数为主线,涉及函数的图象、方程、点的坐标 及线段长度、图形面积等问题。 先从知识角度来分析: (1)通过观察图象可以发现,直线 AD 和 x 轴平行,直线 AB 和 y 轴平行,因此,A 点 与 D 点的纵坐标相同,A 点与 B 的横坐标相同,因此 A 的坐标为(4,8).知道了点 A 的坐 标,加上已知条件点 C 的坐标,利用待定系数法很容易可以求出抛物线的解析式。此问在 本题中占 3 分,解决此问的关键在于:①多角度、全方位观察图形;②熟练掌握待定系数 法求抛物线解析式。
2

(2)这是个动态的问题,解决动态问题的一个根本方法就是化动为静,动静结合。先 看第一小问, t 为何值时, 当 线段 EG 最长?我们通过观察图形, 很容易能够发现 t 的变化, 会导致点 P 位置的变化, P 位置的变化会引起点 E 位置的变化, E 点位置的变化直接 点 而 决定了线段 EF 位置和长度的变化,而线段 EF 位置和长度的变化决定了线段 EG 位置和长 度的变化,我们看到,问题最终就是回归到线段 EG 的长度之上。如果把整个这个变化的 过程当作是一个事件来看的话,事件的起因就是 t 的变化,而事件的结果就是线段 EG 的 长度发生变化。换句话说就是因为 t 的变化导致线段 EG 长度的变化。那么我们就可以把 这个变化过程中的 t 当作自变量,线段 EG 的长度就是 t 的函数。因此,求当 t 为何值时, 线段 EG 最长?实际上就是求函数取最大值时自变量的值。 因此本问的关键就是如何求线段 EG 长关于 t 的函数。而求线段 EG 长关于 t 的函数,实际上就是把 t 看作是一个常数,求 线段 EG 的长。通过观察图形,不难发现,求线段 EG 的长,可以通过求点 E、G 的纵坐标 求得, E 的纵坐标可以通过点 P 的纵坐标求得, G 的纵坐标需要通过点 E 的横坐标求 点 点 得,而点 E 的横坐标可以通过求线段 PE 的长度求得。思路如下图所示: 当 t 为何值时,线段 EG 最长? 函数的观点 求线段 EG 长关于 t 的函数 坐标系中两点间距离 求点 E 和点 G 的纵坐标 求 线 段 A P 的 长 求 点 E 的 横 坐 标 求 线 段 P E 的 长

解决此问的关键是:体会问题中涉及到的函数思想,利用数形结合的方法解决问题。 (3)在点 P、Q 运动的过程中,△CEQ 的形状不断在发生变化,如果△CEQ 是等腰三 角形,需要分三种情况进行讨论,即点 C、E、G 分别可能是等腰三角形顶角的顶点。解决 此问的关键是:体会△CEQ 形状不断变化的特点,能够想到存在的情况可能有三种,然后 分别去求三种情况所对应的 t 的值。

详细解题过程如下: 解:(1)点 A 的坐标为(4,8) 将 A (4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得 a=???????1 分

1 ,b=4 2 1 2 x +4x 2
???????3 分

∴抛物线的解析式为:y=-

(2)①在 Rt△APE 和 Rt△ABC 中,tan∠PAE= ∴PE=

PE BC PE 4 = ,即 = AP AB AP 8

1 1 AP= t.PB=8-t. 2 2 1 ∴点E的坐标为(4+ t,8-t). 2 1 1 1 1 2 2 ∴点 G 的纵坐标为:- (4+ t) +4(4+ t)=- t +8. ???????5 分 2 2 2 8 1 2 1 2 ∴EG=- t +8-(8-t) =- t +t. 8 8 1 ∵- <0,∴当 t=4 时,线段 EG 最长为 2. ???????7 分 8
②共有三个时刻. ???????8 分 ???????11 分

t1=

40 16 8 5 , t2= ,t3= . 13 3 2? 5

从技术角度来分析: ①压轴题的出现是为了让参加中考的学生成绩更有区分度, 所以并不是每一个同学都 可以把压轴题完整地做出来的。 所以我们告诫所有参加中考的同学,不要一味地把时间都 花在压轴题上,一定要保证选择、填空万无一失,前面的解答题尽可能的检查一遍。如果 时间还有剩余,再静下心来攻克压轴题,这是技术方面的一个考虑。 ②压轴题并不可怕,所以情绪上要积极自信,没有必要惊慌失措。 ③就本题而言,如何才能让自己多拿一些分数呢? ⅰ)做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说,不是问题;第二问的两小问都有难 度,但是细心的同学会发现第二小问和第一小问没有特别大的联系,因此如果第一小问不

会解, 切忌不可轻易放弃第二小问。 事实上中考有较多的压轴题并不是每一问之间都有联 系。 ⅱ)过程会多少写多少,因为数学解答题是按步骤给分的,拿第二小问来说,大部分 同学都知道有 3 个时刻,可是因为写不出来相应的 t 值,因此就放弃不写了,殊不知,你 只要回答有 3 个时刻就可以多得 1 分。 和 2009 河南中考压轴题类似的中考题有很多,多数情况下类似第二问会有这样的问 题:记图形中的某个变化三角形的面积为 s,求 s 关于 t 的函数,并求当 t 取何值时 s 最 大,s 最大值是多少?涉及到等腰三角形的讨论类似的情况有直角三角形的问题。比如: (2009 年济南中考题的最后一题的第三问)若点 D 是线段 OC 上的一个动点(不与点 O、点 C 重合) .过点 D 作 DE ∥ PC 交 x 轴于点 E. 连接 PD 、 PE .设 CD 的长为 m ,

△PDE 的面积为 S .求 S 与 m 之间的函数关系式.试说明 S 是否存在最大值,若存在,
请求出最大值;若不存在,请说明理由. (2009 年辽宁朝阳中考题最后一题第二问)将 △ ABO 沿着垂直于 x 轴的线段 CD 折 叠, (点 C 在 x 轴上,点 D 在 AB 上,点 D 不与 A , B 重合)如图 ② ,使点 B 落在 x 轴 上,点 B 的对应点为点 E .设点 C 的坐标为 (x,0) , △CDE 与 △ ABO 重叠部分的面积 为 S .i)试求出 S 与 x 之间的函数关系式(包括自变量 x 的取值范围) ;ii)当 x 为何值 时, S 的面积最大?最大值是多少?iii)是否存在这样的点 C ,使得 △ ADE 为直角三角 形?若存在,直接写出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由. 再以 2009 年江西中考数学压轴题为例: 如图 1, 在等腰梯形 ABCD 中,AD // BC ,E 是 AB 的中点, 过点 E 作 EF // BC 交

CD 于点 F . AB ? 4, BC ? 6 ,∠ B ? 60? .
(1)求点 E 到 BC 的距离; (2)点 P 为线段 EF 上的一个动点,过 P 作 PM ⊥ EF 交 BC 于点 M ,过 M 作

MN // AB 交折线 ADC 于点 N ,连结 PN ,设 EP ? x .
①当点 N 在线段 AD 上时(如图 2) ,⊿ PMN 的形状是否发生改变?若不变,求出 ⊿ PMN 的周长;若改变,请说明理由; ②当点 N 在线段 DC 上时(如图 3) ,是否存在点 P ,使⊿ PMN 为等腰三角形?若 存在,请求出所有满足要求的 x 的值;若不存在,请说明理由. N A A A D D E F E P F E P

D N F

这是一道几何型压轴题。常见的几何型压轴题以常见的三角形、四边形(如正方形、 等腰梯形等) 、圆等知识为考查重点,贯穿几何、代数及三角函数等知识,以证明题、计 算题出现。 先从知识角度来分析: (1)求点到直线的距离,一般的方法就是过这个点向直线作垂线段,然后利用勾股定 理或者是解直角三角形的方法求垂线段的长度。 (2)①通过观察点 N 的不同位置,可以发现⊿ PMN 的形状并不发生变化。不需要 说明理由,然后分别去求三角形的三边长,最终求出三角形的周长。线段 PM 的长实际上 就是线段 EG 的长,第一问已经求出来了,线段 MN 的长就是线段 AB 的长,问题复杂就 复杂在求线段 PN 的长上,求线段的长,我们最容易想到也是最常用的方法还是构造直角 三角形,然后使用勾股定理,因此过点 P P 作 PH ? MN 于 H 。②通过画草图,可以看 到当点 N 在线段 DC 上运动时,△PMN 的形状发生改变,但 △MNC 恒为等边三角形。 和 2009 河南中考压轴题一样, △PMN 为等腰三角形需要讨论三种情况。 详细解题过程如下: 解: (1)如图 1,过点 E 作 EG ? BC 于点 G.········ 1 分 ········· ········ ∵ E 为 AB 的中点, A E D F

1 ∴ BE ? AB ? 2. 2
在 Rt △EBG 中,∠B ? 60?, ∠BEG ? 30?. ···· 2 分 ∴ ····· ····· B

G 图1

C

∴ BG ?

1 BE ? 1,EG ? 22 ? 12 ? 3. 2

即点 E 到 BC 的距离为 3.··············· 3 分 ··········· ····· ·········· ····· (2)①当点 N 在线段 AD 上运动时, △PMN 的形状不发生改变. ∵ PM ? EF,EG ? EF, PM ∥ EG. ∴ ∵ EF ∥ BC, EP ? GM , PM ? EG ? 3. ∴ 同理 MN ? AB ? 4.·································· 4 分 ··········· ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 如图 2,过点 P 作 PH ? MN 于 H ,∵ MN ∥ AB, ∴ ∠NMC ? ∠B ? 60?,∠PMH ? 30?. ∴ PH ? A E P H N D F

1 3 PM ? . 2 2
?

∴ MH ? PM ? cos 30 ?

3 2 3 5 ? . 2 2

B

GM 图2
2

C

则 NH ? MN ? MH ? 4 ?

2 ?5? ? 3? 在 Rt △PNH 中, PN ? NH ? PH ? ? ? ? ? ? ? 7. ?2? ? 2 ? ? ? 2 2

∴ △PMN 的周长= PM ? PN ? MN ? 3 ? 7 ? 4.················6 分 ··········· ······ ··········· ····· ②当点 N 在线段 DC 上运动时, △PMN 的形状发生改变,但 △MNC 恒为等边三 角形. 当 PM ? PN 时,如图 3,作 PR ? MN 于 R ,则 MR ? NR. 类似①, MR ?

3 . 2

∴ MN ? 2 MR ? 3.··································· 分 ··········· ··········· ·········· ··· 7 ··········· ·········· ··········· ··· ∵ △MNC 是等边三角形,∴ MC ? MN ? 3. 此时, x ? EP ? GM ? BC ? BG ? MC ? 6 ? 1 ? 3 ? 2. ··············· 分 ··········· ···· 8 ··········· ····

A E P R B G M 图3

D N F E

A P

D F N C B E

A

D F(P) N C

C

B

G 图4

M

G 图5

M

当 MP ? MN 时,如图 4,这时 MC ? MN ? MP ? 3. 此时, x ? EP ? GM ? 6 ?1 ? 3 ? 5 ? 3. 当 NP ? NM 时,如图 5,∠NPM ? ∠PMN ? 30?. 则 ∠PMN ? 120?, ∠MNC ? 60?, 又 ∴ ∠PNM ? ∠MNC ? 180?. 因此点 P 与 F 重合, △PMC 为直角三角形. ∴ MC ? PM ? tan30 ? 1
?

此时, x ? EP ? GM ? 6 ? 1 ? 1 ? 4. 综上所述,当 x ? 2 或 4 或 5 ? 3 时, △PMN 为等腰三角形.………………..10 分 从技术角度来分析基本同上,比如求 △PMN 的周长,即使算不出来线段 PN 的长, 最起码可以求出另外两边的长, 只要形成过程, 就会给分。 类似出现 “**是否发生改变? 若不变,求出**;若改变,请说明理由.” “若存在,请求出所有满足要求的 x 的值; 若不存在,请说明理由.”这样的情况,几乎都是千篇一律,一定是存在的,因此回答“存 在”就会得分。 与之类似的几何型压轴题在 2009 年全国各地市中考卷中屡见不鲜。比如: (2009 年广西南宁市中考题第 25 题第三问)在图 13-2 的 AB 边上是否存在一点 M , 使得四边形 DMEP 是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由. 总结以上两种类型压轴题的做题技巧,可以归纳如下: (一)态度上的技巧 有相当一部分同学对自身数学学习状况没有一个完整的全面的认识, 考试的时候往往 会把重心都放在压轴题上, 不管前面的题做的怎么样, 反正就是最后一题不做完誓不罢休, 可是结果呢?铃声响过, 不但最后一题没写出来, 前面的填空、 选择连一个都没检查, “捡

?

?

了西瓜丢了芝麻”这样最初的想法也变成了“既丢芝麻又丢西瓜”的结果。所以,我们建 议参加中考的同学们, 在心中一定要给压轴题一个时间上的限制, 如果超过你设置的上限, 必须要停止,回头认真检查前面的题。检查订正完之后,如果时间还有节余,大可以好好 思考压轴题怎么做。 “放弃也是一种美”“舍得舍得,有舍才会有得” , 。 (二)知识上的技巧 解数学压轴题一般可以分为三个步骤:认真审题,理解题意、探究解题思路、正确解 答。审题是解题的开始,也是解题的基础。一定要全面审视题目的所有条件和答题要求, 以求正确、全面理解题意,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解 题步骤的设计。 解数学压轴题必须要有科学的分析问题的方法,要善于总结解数学压轴题 中所隐含的重要数学思想,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。 破除模式化、 力求创新是近几年中考数学试题的显著特点, 解答题体现得尤为突出, 因此, 切忌套用机械的模式寻求解题思路和方法,而应从各个不同的侧面、不同的角度,识别题 目的条件和结论,认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特 征的关系,谨慎地确定解题的思路和方法.当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重 新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃. (三)答题上的技巧 1、写上去的东西必须要规范,字迹要工整,布局要合理; 2、过程会写多少写多少,但是不要说废话,计算中尽量回避非必求成分; 3、尽量多用几何知识,少用代数计算,尽量用三角函数,少在直角三角形中使用相 似三角形的性质。 以上就是笔者对数学中考压轴题的一些粗浅看法, 衷心期盼能给即将参加中考的考 生带来一些帮助!


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