当前位置:首页 >> 理学 >>

12-13(2)高等数学试题(B)解答


院、系领导 审批并签名

B 卷

广 州 大 学 2012-2013 学 年 第 二 学 期 考 试 卷 解 答
课 程:高等数学Ⅰ2(80 学时) 考 试 形 式:闭卷考试

学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________ 题 次

分 数 得 分 一 20 二 16 三 10 四 16 五 12 六 6 七 8 八 12 总 分 100 评卷人

一.填空题(每小题 2 分,本大题满分 20 分) 1.设 a ? (1,1,1) , b ? (2, 3, 4) ,则 a ? b ? 9 . 2. xOz 坐标面上的直线 z ? x 绕 z 轴旋转而成的曲面方程是 z 2 ? x2 ? y 2 .

2 ? xy ? 2 1 ? . ( x , y )?(1,2) 4 xy ? 2 x 4.设 z ? y ,则 d z (1,2) ? 2ln 2dx ? dy .
3.

lim

5.设区域 D 为 0 ? y ? x , 0 ? x ? 1 ,则 6.设 L 为圆周 x ? y ? 1 ,则
2 2

?? d xd y ? 2 .
D

1

?

L

y2 d s ? ? .

7.若级数
?

?u
n ?1

?

n

收敛,则 lim un ? 0.
n??

8.级数 9.方程

(?1) n?1 条件收敛的充要条件是 p 满足不等式 0 ? p ? 1 . ? p n n ?1

d2 y dy ? 3 ? 2 y ? 0 的通解 y ? c1ex ? c2e2 x . 2 dx dx x ? 10.方程 y?? ? 2 y? ? y ? xe 的待定特解形式 y ? x2 (ax ? b)e x .

第 1 页 共 6 页 《高等数学Ⅰ2》80 学时

二.解答下列各题(每小题 8 分,本大题满分 16 分) 1.设 z ? f ( x ? y, xy) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求
解:

?2 z . ?x?y

?z ? f1? ?1 ? f 2? ? y ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2 分 ?x ? f1?? y f 2? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4 分

?f ? ?f ? ?2 z ? 1 ? f 2? ? y 2 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5 分 ?y ?x?y ?y ?? ? (?1) ? f12 ?? ? x ? f2? ? y [ f 21 ?? ? (?1) ? f 22 ?? ? x] ┅┅┅┅┅┅ 7 分 ? f11 ?? ? ( x ? y) f12 ?? ? x y f 22 ?? ? f 2? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8 分 ? ? f11

2. 求曲面 z ? e ? 2 x y ? 3 在点 (1, 2, 0)处的切平面方程和法线方程 .
z

解:令 F ( x, y, z) ? 2 z ? e z ? 2 x y ? 3

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 2 分

n ? (Fx , Fy , Fz ) |(1, 2 ,0) ? (2 y,2x,2 ? ez ) |(2, 1 ,0) ? (2, 4,1) ┅┅┅┅ 4 分 切平面方程为 2( x ? 2) ? 4( y ? 1) ? z ? 0 ? 0 即 2x ? 4 y ? z ? 8 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 6 分 x ? 2 y ?1 z ? ? 法线方程为 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8 分 2 4 1

三. (本题满分 10 分) 求函数 f ( x, y) ? x ? y ? 3x y 的极值.
3 3

? f x ? 3x 2 ? 3 y ? 0 ? 解:由 ? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 3 分 2 f ? 3 y ? 3 x ? 0 ? y ? 得驻点为 (0 , 0) , (1 , 1) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 5 分 f x x ? 6 x , f x y ? ?3 , f y y ? 6 y ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7 分
在点 (0 , 0) 处, AC ? B ? ?9 ? 0 ,所以 f (0 , 0) 不是极值
2

┅┅┅┅┅ 8 分

在点 (1 , 1) 处, AC ? B ? 27 ? 0 ,又 A ? 6 ? 0
2

所以 f (1, 1) ? ?2 是极小值 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 10 分

第 2 页 共 6 页 《高等数学Ⅰ2》80 学时

四.解答下列各题(每小题 8 分,本大题满分 16 分) 1.设二重积分 I ?

?? f ( x, y)d x d y ,其中 D 是由曲线 y ? x
D

2

? x 与 x 轴所围成的

有界闭区域. (1)将二重积分 I 化为先 y 后 x 的二次积分; (2)将二重积分 I 化为极坐标形式的二次积分. 解: (1)区域 D 为右图阴影部分 ………… 1 分
y

I ? ? d x?
0
2

1

0 x ?x
2

f ( x, y)d y

………… 4 分

(2) 由 y ? x ? x 得 y?(0) ? (2 x ?1) |x?0 ? ?1 ………5 分

I ? ?? f ( ? cos ? , ? sin ? ) ? d ? d ?
D

O
y ? x2 ? x

x

??

0 ?

?
4

d? ?

(1? tan ? )sec? 0

f ( ? cos ? , ? sin ? ) ? d ? …8 分

2 .计算 I ?

y ? x 所围成的有界闭区域的边界,取正向.
解:记 D : x2 ? y ? x , 0 ? x ? 1 ………………………………………………… 1 分 由格林公式

?

L

( x3 ? x y2 ) d x ? ( y3 ? x2 y) d y,其中 L 是由抛物线 y ? x 2 与直线

I ? 4 ?? x y d x d y
D

……………………………………………… 4 分

? 4? d x ? 2 x y d y …………………………………………… 6 分
0 x

1

x

? 2? ( x3 ? x5 ) d x ?
0

1

1 6

……………………………………… 8 分

第 3 页 共 6 页 《高等数学Ⅰ2》80 学时

五. (本题满分 12 分) 求由曲面 z ? 4 ? x 2 ? y 2 与平面 z ? 0 所围成的几何体 ? 的体积和表面积 .
解:由 ?

? z ? 4 ? x2 ? y2 ?z ? 0

得 x2 ? y 2 ? 4

记 D : x2 ? y 2 ? 4 ……………………… 2 分

所求体积为

V ? ??? dv ?
?

?

2? 0

d? ? ? d ? ? 2 dz
0

2

4

?

? 2? ? (4? ? ? 3 )d ? ? 8? …………………………………………… 6 分
记 ?1 : z ? 4 ? x ? y , ( x, y) ? D 和 ?2 : z ? 0, ( x, y) ? D
2
0 2

2

对于曲面 ?1 ,由 z ? 4 ? x ? y 得 z x ? ?2 x , z y ? ?2 y
2 2

?1 的面积为
A1 ? ?? 1 ? 4 x 2 ? 4 y 2 dxdy ? ?
D

2? 0

d? ?

2 0

1 ? 4? 2 ? d ?
┅┅┅┅┅┅┅ 11 分

? 2? ?

2 0

1 ? 4? 2 ? d ? ?

?
6

(17 17 ? 1)

? 2 的面积为 A 2 ? 4?
所求表面积为 A1 ? A2 ?

?
6

(23 ? 17 17)

………………………………………

12 分

六. (本题满分 6 分) (1)判别级数 (2)级数

?3
n ?1

?

n
n

的敛散性;

?
?

n cos n 是否收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛? 3n n ?1
n u 1 1 1 ? 0 ,由比值判别法 lim n?1 ? lim(1 ? ) ? ? 1 …………… 2 分 n n ?? n ?? 3 un 3 n 3
n

?

解: (1)记 un ? 所以,级数

?3
n ?1

n

收敛

………………………………………………………… 3 分

n cos n n | cos n | n ? n ,由于 | vn |? ……………………………… 4 分 n 3 3n 3 ? ? n n cos n 又级数 ? n 收敛,由比较判别法得,级数 ? | | 收敛, 3n n ?1 3 n ?1 ? n cos n 从而级数 ? 收敛且为绝对收敛 ………………………………………… 6 分 3n n ?1
(2)记 vn ?

第 4 页 共 6 页 《高等数学Ⅰ2》80 学时

七. (本题满分 8 分) 设有幂级数

? nx
n ?1

?

n ?1

.

(1)求它的收敛半径及收敛域; (2)求它的和函数. a 1 解:记 an ? n ? 1 , R ? lim | n |? lim(1 ? ) ? 1 ………………………… 2 分 n ?? a n ?? n?2 n ?1
x ? ?1 时,级数 ? (?1)n?1 n 发散, x ? 1 时,级数 ? n 发散
n ?1 n ?1 ? ?

收敛域为 (?1, 1) 记和函数为 s( x)

…………………………………………………………… 4 分
?

?

x 0

s ( x) dx ? ? x n ?
n ?1

x ( ?1 ? x ? 1 )……………………………… 6 分 1? x

x s ( x) ? ( )? 1? x 1 ? (1 ? x) 2

( ?1 ? x ? 1 )…………………………………………… 8 分

八.解答下列各题(每小题 6 分,本大题满分 12 分) 1.求微分方程

d y y sin x 的通解. ? ? dx x x

解:该方程为一阶线性微分方程,所求的通解为
1 1 ? ? x d x ? sin x ? x d x y?e e dx ? c ? …………………………………………… 3 分 ?? ? x ? 1 ? ( ? sin xdx ? c) ………………………………………………………… 5 分 x 1 ? (c ? cos x) ……………………………………………………………… 6 分 x ?

第 5 页 共 6 页 《高等数学Ⅰ2》80 学时

2.一池盛有盐水 100 公斤,其中含盐 10 公斤,现以每分钟 2 公斤的速率往池内注 入淡水,同时从池内流出 2 公斤混和均匀的盐水,求池内溶液的含盐量降至一半所 需要的时间. 解:设从注入淡水开始记时(此时 t ? 0 ) ,第 t 分钟后池内的盐水含量为 m 公斤, m 则池内盐的浓度为 100 m m ? 2 ? dt ? dt 在时间间隔 [t , t ? dt ] 内,从池内流出的溶液中盐的含量为 100 50
在此段时间间隔内池内溶液盐的改变量为

m dt …………………………………………………… 2 分 50 dm 1 ? ? dt 分离变量得 m 50 t ? t ? ln C 即 m ? Ce 50 ……………………………… 4 分 积分得 ln m ? ? 50 由初始条件 t ? 0 , m ? 10 得 C ? 10
dm ? ?
所以 m ? 10e 50 ……………………………………………………………… 5 分 令 m ? 5 得 t ? 50 ln 2 即池内的含盐量降至一半所需要的时间为 50 ln 2 分钟 ……………………… 6 分
? t

第 6 页 共 6 页 《高等数学Ⅰ2》80 学时


相关文章:
12-13(2)高数B期末试卷B
12-13(2)高数B期末试卷B_理学_高等教育_教育专区。一、选择填空题(每小题 ...x = 0 及 y = x 所围成的平面区域 2 四、 解答题 (第 1,2 小题每...
12-13高等数学b(2)模拟卷及答案
12-13高等数学b(2)模拟卷及答案 高等数学期末考试试卷及答案。。。高等数学期末...2, y ? x, xy ? 1 所围成. 8 分) ( x? D ? 2 三.解答题(共 ...
12-13(2)高数1(B卷)
12-13(2)高数1(B卷)_理学_高等教育_教育专区。河北科技师范学院 12-13年高数2试卷 河北科技师范学院 2012-2013 学年第二学期 2012 级本科机制、农机、电气、...
淮海工学院12-13-2高等数学A2期末试卷B答案与评分标准
淮海工学院12-13-2高等数学A2期末试卷B答案与评分标准_理学_高等教育_教育专区...3 1 max (1,1, ) 3 (1 ?, 2为所求方向 , 2) ---2 [ ?f ?l ...
12-13-2《高等数学A(工科数学分析B)》第二学期期末考试...
12-13-2高等数学A(工科数学分析B)》第学期期末考试试卷_理学_高等教育_教育专区。河南理工大学 2012-2013 学年第 学期 5、 将直角坐标系中的累次积分...
12-13(2)高等数学试题(A)解答
B ? ?12 ? 0 ,所以 f (2 , 2) 不是极值 ┅┅┅ 10 分 第 2 页共 6 页 《高等数学Ⅰ2》80 学时 四.解答下列各题(每小题 8 分,本大题满分 ...
11-12(2)高等数学试题(B)解答
2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 11-12(2)高等数学试题(B)解答 隐藏>> 广州大学 2011-2012 学...
12-13-1高等数学d-1试卷B
高等数学 d-1》期末考试试卷(B 卷)总得分 阅卷人 复查人 考试方式 闭卷 ...? 2 x 3 ? 9 x 2 ? 12x ? 3 的单调区间. 5. (10 分)求等边双...
12-13(2)高等数学试题(A)
12-13(2)高等数学试题(A)_理学_高等教育_教育专区。院、系领导 审批并签名 ...(1,1,1) , b ? (2, 3, 4) ,则 a ? b ? . 2. yOz 坐标面上...
2012-2013(2)高等数学II2试题(B)解答
2012-2013(2)高等数学II2试题(B)解答_理学_高等教育_教育专区。院、系领导 ...B ? ?36 ? 0 ,所以 f (?2, 0) 不是极值;---12 分 2 在点 (?2...
更多相关标签: