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利用函数性质判定方程解的存在


高中数学《必修 1》学案
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第四章

函数应用

1.1 利用函数性质判定方程解的存在

【明确学习目标、方法】 目标: 1.了解函数零点的概念,领会方程的根与函数零点之间的关系;2.掌握函数 零点存在的判定方法;3.能结合图像求解零点问题. 学法:通过函数零点概念的建立,感知函数与方程的密切联系,进一步加深对函数与 方程思想的理解,同时体验数学中的转化思想的意义和价值.

【自主学习,归纳知识】 (课前完成) 1.零点的定义:我们把函数 y=f(x)的图像与________的交点的____________称为这个 函数的零点,即_______________的解. 2. 函数 y=f(x)有零点等价于函数 y=f(x)的图像与 x 轴有公共点等价于方程 f(x)=0 有实 数根. 3.函数存在零点的判断方法:若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并 且在区间端点的函数值符号__________,即_________________,则在区间(a,b)内, 函数 y=f(x)至少有__________零点.

【问题探究】 (创设情境、生成问题、合作讨论、交流展示) 问题探究一 函数零点的定义 导引 在初中我们已经学过一些方程的解法,并掌握了一些方程的求解公式,实际上, 绝大部分方程没有求解公式.那么这些方程怎么求解? 问题 1 如何判断方程 x2-x-6=0 解的存在.

问题 2 函数的零点是函数图像上的点吗?为什么?

1

问题 3 函数 y=f(x)有零点可等价于哪些说法?

问题 4 你能说出函数①y=lg x;②y=log2(x+1); ③y=2x;④y=2x-2 的零点吗? 问题探究二 函数存在零点的判断方法 例 1 判断函数 f(x)=x2-2x-1 在区间(2,3)上是否存在零点.

问题 2 你能归纳出判断函数 y=f(x)的区间(a,b)存在零点的一般方法吗?

跟踪训练 1 求证:函数 f(x)=x3+x2+1 在区间(-2,-1)上存在零点.

问题 3 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续的曲线,函数 y=f(x)在区间(a, b)上存在零点,那么 f(a)· f(b)<0 是否一定成立?

问题 4 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,函数的 零点是唯一的吗?若不唯一,还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点?

例 2 已知 f(x)=3x-x2,则方程 f(x)=0 在区间[-1,0]内有没有实数解?为什么?

跟踪训练 2 求函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点个数.

2

例 3 判定方程(x-2)(x-5)=1 有两个相异的实数解,且有一个大于 5,一个小于 2.

跟踪训练 3 关于 x 的方程 2x2-3x+2m=0 有两个实根均在[-1,1]内,求 m 的取值范 围.

【课堂达标检测】 (计时完成)用时 分钟。 1. 函数 y=x2-2x-3 的零点是________ 2.若函数 f(x)=x2-ax+a2-12 的零点一个大于 2,一个小于 2,则实数 a 的取值范围 是________. 3.求证:二次函数 y=2x2+3x-7 有两个不同的零点. 【课堂小结】 1.方程 f(x)=g(x)的根是函数 y=f(x)与 y=g(x)的图像交点的横坐标,也是函数 y=f(x) -g(x)的图像与 x 轴交点的横坐标. 2.函数与方程有着密切的联系,有些方程问题可以转化为函数问题求解,同样,函数 问题也可化为方程问题,这正是函数与方程思想的基础. 【课后延伸链接】 《练习册》第 79 页读记难点突破、规律指津,计时完成即时巩固。 【学习反思与评价】本节知识我还不明白的地方有 本节知识学习完成情况自我评价 互助学习小组评价 。 。 (良好、中等、较差) 教师评价 。(结合作业和练习完成情况)

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