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第2讲 频率与概率的概念、古典概率


第2讲
一、频率 二、概率

概率的定义、 概率的定义、古典概率

三、概率的性质 四、古典概率的计算 五、几何概率

第2讲
一、频率
1.

概率的定义、 概率的定义、古典概率

频率的定义

定义1 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 定义1:在相同的条件下,进行了 次试验,在这 次 试验中,事件A发生的次数 nA称为事件A发生的频数. 比 试验中,事件 发生的次数 称为事件 发生的频数. 发生的频数 称为事件A发生的频率, 值nA /n称为事件 发生的频率,记为 n(A),即 称为事件 发生的频率 记为f , fn (A)= nA /n. 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时, 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时, 出现正反面的机会均等。 出现正反面的机会均等。

频率稳定性的实例
实例1 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母 实例1 统计了约 个英语单词中各字母 出现的频率, 发现各字母出现的频率不同: 出现的频率, 发现各字母出现的频率不同:

A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202

B: 0.0156 C: 0.0268 F: 0.0256 G: 0.0187 J: 0.0010 K: 0.0060 N: 0.0706 O: 0.0776 R: 0.0594 S: 0.0634 V: 0.0102 W: 0.0214 Z: 0.0006

D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016

实例2 近百年世界重大地震.其中“重大 的标准: 重大”的标准 实例2 近百年世界重大地震.其中 重大 的标准: ① 震级7级左右;②死亡 震级7级左右; 死亡 死亡5000人以上. 人以上. 人以上 时 间 地 点 级别 死亡

1905.04.04 印度克什米尔地区 印度克什米尔地区 1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 智利瓦尔帕莱索港地区 1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛 印度尼西亚巴厘岛 1920.12.16 中国甘肃 中国甘肃 1923.09.01 日本关东地区 日本关东地区 巴基斯坦基达地区 1935.05.30 巴基斯坦基达地区 1948.06.28 日本福井地区 日本福井地区 1970.01.05 中国云南 中国云南 1976.07.28 中国河北省唐山 中国河北省唐山

88万 8.0 88万 8.4 2万 1.5万 7.2 1.5万 10万 8.6 10万 14.2万 7.9 14.2万 7.5 5万 0.51万 7.3 0.51万 7.7 1 万 7.8 24.2万 24.2万

实例2 近百年世界重大地震.其中“重大”的标准: 实例2 近百年世界重大地震.其中“重大”的标准: 震级7级左右; 死亡5000人以上. 5000人以上 ① 震级7级左右;②死亡5000人以上. 时 间 1978.09.16 1995.01.17 1999.08.17 2003.12.26 2004.12.26 2008.05.12 地 点 级别 死亡 1.5万 万 0.6万 万 1.7万 万 3万 万 15 万 7万 万

伊朗塔巴斯镇地区 7.9 伊朗塔巴斯镇地区 日本阪神工业区 7.2 日本阪神工业区 土耳其伊兹米特市 7.4 土耳其伊兹米特市 伊朗克尔曼省 6.8 伊朗克尔曼省 印尼苏门答腊岛附近海域 9.0 印尼苏门答腊岛附近海域 中国四川省文川 8.0 中国四川省文川

世界每年发生大地震频率约为14% 世界每年发生大地震频率约为14% 14

实例3 实例3 1918年 1918年 1957年 1957年 1968年 1968年 1997年 1997年

近百年世界重大流感 西班牙型流感 亚洲型流感 中国香港型流感 中国香港型流感 H1N1 亚型 H2N2 亚型 H3N2 亚型 H5N1 亚型

4亿人感染 20天传遍美国 20天传遍美国

5000万人死亡 5000万人死亡 半年席卷全球

世界性大流感发生频率1/40 1/30 世界性大流感发生频率1/40—1/30 1/40

实例4 2005年8月26日“超女”决赛 实例4 2005年 26日 超女”

李宇春 周笔畅 3528308票 3270840票

张靓颖 1353906票

手机投票总数 8153054

李宇春 周笔畅 张靓颖

得票频率 得票频率 得票频率

43.27% 40.12% 16.61%

得票频率可被视为获胜概率

实例5 将一枚硬币抛掷5 50次 500次 各做7 实例5 将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍 观察正面出现的次数及频率. 观察正面出现的次数及频率. 试验 序号
1 2 3 4 5 6 7

n=5

n = 50

n = 500

nH
2 3 5 1 2 4

fn (H)
0.4 0.6 1.0 0.2 0.4 0.8

nH
22 25

fn (H)
0.44 0.50

nH
251 249

fn (H)
0.502 0.498

的增大,21 的增大 频率 0.42 1 随n的增大,频率f 呈现出稳定性 0.512 0.2 256
25 处波动较大 0.50 在1/2处波动较大 24 18 27 0.48 0.36 0.54

波 动 247 1/2处波动较小 0.494 最 在 处波动较小 小 0.502 251 262 258 0.524 0.516

实验者 德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊 K.皮尔逊 K.皮尔逊

n
2048 4040 12000 24000

nH
1061 2048 6019 12012

fn(H) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005

fn(H)

n的增大

1 2

结论 频率有随机波动性, 即对于同样的n, ( 1 ) 频率有随机波动性 , 即对于同样的 , 所得的 fn(H)不一定相同; 不一定相同; 不一定相同 抛硬币次数n较小时 频率f 较小时, (2)抛硬币次数 较小时,频率 n(H) 的随机波动幅 度较大,但随n的增大 的增大, 频率f 呈现出稳定性. 度较大 , 但随 的增大 , 频率 n (H)呈现出稳定性. 即当 呈现出稳定性 即当n 逐渐增大时频率f 总是在0 附近摆动, 逐渐增大时频率 n (H) 总是在 0 . 5 附近摆动 , 而逐渐稳定 于0.5.

第2讲
一、频率
1. 2.

概率的定义、古典概率 概率的定义、

频率的定义 频率的性质

(1) 非负型:0≤ fn(A) ≤1; 非负型: ≤ ≤ ; (2) 规范性:fn(S)=1; fn(φ )=0; 规范性: = ; φ ; (3) 可加性:若AB=? ,则 fn(A∪B)= fn(A) +fn(B). 可加性: = ∪ = 可推广到有限个两两互斥事件的和事件

fn ( A + A2 +L+ An ) = fn ( A ) + fn ( A2 ) +L+ fn ( An ) 1 1

二、概率
1.概率的统计定义 1.概率的统计定义 将随机试验E重复作 重复作n次 其中事件A出现 出现n 定义 将随机试验 重复作 次,其中事件 出现 A次, 则事件A发生的频率为 若当n较大时 较大时, 则事件 发生的频率为 fn ( A) = nA n, 若当 较大时 , 频 率在某一个数p附近波动 则称p数为事件 在试验E下的 附近波动, 数为事件A在试验 率在某一个数 附近波动,则称 数为事件 在试验 下的 统计概率.记作P(A)= )=p. 统计概率.记作P(A)=p.

对本定义的评价
优点: 优点:直观 易懂 缺点: 缺点:粗糙 模糊 不便 使用

一般用频率作为概率的近似值, 说明 1) 一般用频率作为概率的近似值,这个定义并 不要求所做的试验属于古典模型,因此便于在实际中应用, 不要求所做的试验属于古典模型,因此便于在实际中应用, 但 要 得到 比 较准 确 的概 率 近似 值 , 需 要 做大 量的重复 试验. 试验. 频率当n较小时波动幅度比较大 较小时波动幅度比较大, 逐渐增大时, 2 ) 频率当 较小时波动幅度比较大 , 当 n逐渐增大时 , 逐渐增大时 频 率 趋于 稳 定值 , 这个 从 本质 上 反映 事 件在 试验中出 现可能性大小的稳定值就是事件的统计概率. 现可能性大小的稳定值就是事件的统计概率. fn(H)
n→∞

n的增大
P

lim fn ( A)= ( A) P

1 2

稳定性 某一定数

频率的性质 (1) 非负性:0≤ fn(A) ≤ ; 非负性: ≤ ≤1; (2) 规范性:fn(S)=1; fn( ?)=0; 规范性: = ; ; (3) 可加性:若AB= ?,则 fn(A∪B)= fn(A) +fn(B). 可加性: = ∪ = 可推广到有限个两两互斥事件的和事件

fn ( A + A2 +L+ An ) = fn ( A ) + fn ( A2 ) +L+ fn ( An ) 1 1

fn ? P

概率的性质 (1) 非负性:0≤ P(A) ≤ ; 非负性: ≤ ≤1; (2) 规范性:P(S)=1; P( ?)=0; 规范性: = ; ; (3) 可加性:若AB= ?,则 P(A∪B)= P(A) +P(B). 可加性: = ∪ = 可推广到有限个两两互斥事件的和事件

P( A + A2 +L+ An ) = P( A ) + P( A2 ) +L+ P( An ) 1 1
两两互不相容, 如果事件 A , A2 ,L, An ,L两两互不相容,则 1

P( A + A2 +L+ Ak +L = P(A1) + P(A2 ) +L+ P( Ak ) +L ) 1
P( U Ak ) = ∑P( Ak )
k =1 k =1 ∞ ∞

可列可加性

二、概率的定义
1.概率的统计定义 1.概率的统计定义 2.概率的公理化定义 2.概率的公理化定义 样本空间, 设 S是随机试验 的样本空间,若能找 是随机试验E 到一个法则,使得对于E 到一个法则,使得对于 的每一事件 A 赋于 一个实数,记为P 一个实数,记为 ( A ), 称之为事件 A 的 概率,这种赋值满足下面的三条公理: 概率,这种赋值满足下面的三条公理: (1) 非负性: ?A ? S, P( A) ≥ 0 非负性: (2) 规范性: P(S) = 1 规范性: 其中 A , A ,L为两两互不相容的事件. 1 2
?∞ ? ∞ (3) 可列可加性: P?UA ? = ∑P( A ) 可列可加性: i i ? i=1 ? i=1

第2讲
一、频率 二、概率

概率的定义、 概率的定义、古典概率

三、概率的性质
1. P(?) = 0.

∞ n=1

=1 ), 设 An = ? (n = , 2,L

?∞ ? P(?) = P ? U A ?= ∑P( An ) n n=1 ? ? n=1



显然 U An = ?,AAj = ?, i ≠ j. i 由概率的可列可加性得

= ∑P(?) ? n=1 ? ? P(?) = 0. P(?) ≥ 0 ?



第2讲
一、频率 二、概率

概率的定义、 概率的定义、古典概率

三、概率的性质
1. P(?) = 0.
2. 有限可加性 设 A , A ,L, A 两两互不相容,那么 有限可加性: 1 2 n

?n ? n P?UAi ? = ∑P( Ai ) ? i=1 ? i=1



取 A +1 = A +2 = L= ?, n n

? AAj = ?, i ≠ j, i, j = 1, 2,L. i
由概率的可列可加性得

P( A1 U A2 ULU An )= P? U Ak ? = ∑P( Ak ) ? ? ? k=1 ? k=1





= ∑P( Ak ) +
k =1

n

k =n+1

∑ P(A )
k



= P( A1 ) + P( A2 ) +L+ P( An ).

三、概率的性质 1. P(?) = 0.
2. 有限可加性 设 A , A ,L, A 两两互不相容,那么 有限可加性: 1 2 n

? ? P?UAi ? = ∑P( Ai ) ? i=1 ? i=1
n n

3. 设A、B是两个随机事件,且A B,则 是两个随机事件, , 、 是两个随机事件

P(B ? A) = P(B) ? P( A), P( A) ≤ P(B). 证 A ? B ? B = AU (B ? A) (B ? A) I A = ?

B
A

P(B) = P( A) + P(B ? A) ? P(B ? A) = P(B) ? P( A)

P(B ? A) ≥ 0

P( A) ≤ P(B).

三、概率的性质 1. P(?) = 0.
2. 有限可加性 设 A , A ,L, A 两两互不相容,那么 有限可加性: 1 2 n

? ? P?UAi ? = ∑P( Ai ) ? i=1 ? i=1
n n

3. 设A、B是两个随机事件,且A B,则 是两个随机事件, , 、 是两个随机事件

P(B ? A) = P(B) ? P( A), P( A) ≤ P(B).
4. 对任意一个随机事件 ,则 P( A) ≤ 1. 对任意一个随机事件A 证

A? S ? P( A) ≤ P(S) = 1 ? P( A) ≤ 1. ?

三、概率的性质 1. P(?) = 0.
2. 有限可加性 设 A , A ,L, A 两两互不相容,那么 有限可加性: 1 2 n

? ? P?UAi ? = ∑P( Ai ) ? i=1 ? i=1
n n

3. 设A、B是两个随机事件,且A B,则 是两个随机事件, , 、 是两个随机事件

P(B ? A) = P(B) ? P( A), P( A) ≤ P(B).
4. 对任意一个随机事件 ,则 P( A) ≤ 1. 对任意一个随机事件A 5. 对任意一个随机事件 ,则 P( A) = 1 ? P( A). 对任意一个随机事件A 证 AU A = S, AI A = Φ, P(S) = =1 1 = P(S) = P( AU A) = P( A) + P( A) ? P( A) = 1 ? P( A).

三、概率的性质 1. P(?) = 0.
2. 有限可加性 设 A , A ,L, A 两两互不相容,那么 有限可加性: 1 2 n

? ? P?UAi ? = ∑P( Ai ) ? i=1 ? i=1
n n

3. 设A、B是两个随机事件,且A B,则 是两个随机事件, , 、 是两个随机事件

P(B ? A) = P(B) ? P( A), P( A) ≤ P(B).
4. 对任意一个随机事件 ,则 P( A) ≤ 1. 对任意一个随机事件A 5. 对任意一个随机事件 ,则 P( A) = 1 ? P( A). 对任意一个随机事件A 6.加法公式:对任意两个事件 , B, 有 .加法公式:对任意两个事件A, ,

P( A∪ B) = P( A) + P(B) ? P( AB) P( A∪ B) ≤ P( A) + P(B)



由图可得

P( AU B) = P( A) + P( B ? AB)
又由性质3得 又由性质 得 P(B ? AB) = P(B) ? P( AB) 因此得 P( AU B) = P( A) + P(B) ? P( AB).

AI( B ? AB) = ?

AU B = A+ ( B ? AB)

A AB

B

P( AU B) ≤ P( A) + P(B).

推广

三个事件和的情况

P( AU B UC) = P( A) + P(B) + P(C) ? P( AB) ? P( AC) ? P(BC) + P( ABC)
n个事件和的情况 个事件和的情况

P( A U A2 ULU An ) 1
= ∑P( A ) ? i
i =1 n 1≤i< j≤n

∑P( A A )
i j

+

1≤i < j<k≤n

P( Ai Aj A ) +L+ (?1)n?1 P( A A2 LA ). ∑ k 1 n
n

右端共有 2

?1项.

小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、 例1 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙 二类问题的概率分别为0 二类问题的概率分别为 0 . 7 和 0 . 2 , 两类问题都能答出的 概率为0 概率为0.1.求 (1)小王答出甲类而答不出乙类问题的概 小王至少有一类问题能答出的概率 至少有一类问题能答出的概率; 率;(2)小王至少有一类问题能答出的概率;(3)两类问 题 小 都答不出的概率. 王都答不出的概率能答出甲类问题 B={小王能答出乙类 小王能答出甲类问题}, 小王能答出乙类 解 设A={小王能答出甲类问题 小王. 小王能答出 问题}. 问题}. (1) P( AB) = P( A) ? P( AB) = 0.7 ? 0.1 = 0.6 (2)

P( A∪ B) = P( A) + P(B) ? P( AB) = 0.8

(3) P( AB) = P( AU B) = 1 ? P( AU B) = 0.2

AB = A(S ? B) = A? AB

例2

满足P 设A , B满足 ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,在何条件下, 满足 ,在何条件下,

P(AB) 取得最大(小)值?最大(小)值是多少? 取得最大( 最大( 值是多少? 解

P( A ∪ B) = P( A) + P(B) ? P( AB)

P( AB) = P( A) + P(B) ? P( A ∪ B)
≥ P(A) + P(B) ?1= 0.3
最小值在 P( A ∪B) =1时取得. —— 最小值

P( AB) ≤ P( A) = 0.6
P( AB) ≤ P(B) = 0.7
最大值在 P( A ∪ B) = P(B) 时取得.

——

最大值

取得最小值是否 例2 中回答当 A U B = S 时, P( A B) 取得最小值是否 正确? 正确? 这相当于问如下命题是否成立

A U B = S ? P( A U B) = =1
答:不成立 ! 有去路, ?式是“羊肉包子打狗 ”——有去路,没回路 式是“ 有去路 为什么呢?学了几何概型便会明白 为什么呢?学了几何概型便会明白.

第2讲
一、频率 二、概率

概率的定义、 概率的定义、古典概率

三、概率的性质 四、古典概率的计算

四、古典概率的计算
具有下列特点: 定义 如果随机试验E 具有下列特点: 样本空间包含的基本事件的总数是有限个; (1) 样本空间包含的基本事件的总数是有限个; 每个基本事件等可能的发生. (2) 每个基本事件等可能的发生. 则称E 古典(等可能) 则称 为古典(等可能)概型 计算公式 设试验E的样本空间由 个样本点构成, 为 的任 的样本空间由n个样本点构成 设试验 的样本空间由 个样本点构成 , A为 E的任 意一个事件, 且包含m个样本点 则事件A出现的概率 个样本点, 意一个事件 , 且包含 个样本点 , 则事件 出现的概率 记为: 记为:

m A 包 样 点 个 所 含 本 的 数 VA = . P{ A = = } n 样 点 数 本 总 VS

无放回地摸球)设袋中有4只白球和2只黑球, 例 3 ( 无放回地摸球 ) 设袋中有 4只白球和 2只黑球 , 现从袋中无放回地依次摸出2只球,求这2 现从袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的 概率. 概率. 解

A={摸 2只 都 白 },由已知条件 得 球 是 球
2 样本空间包含的基本事件总数为 VS = C6

A所包含基本事件的总数为 VA = C 所包含基本事件的总数为
2 VA C4 2 故 P ( A) = = 2= . VS C6 5

2 4

有放回地摸球)设袋中有4只红球和6只黑球, 例4(有放回地摸球)设袋中有4只红球和6只黑球,现 从袋中有放回地摸球3 求前2次摸到黑球、 从袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3 次摸到 红球的概率. 红球的概率. 次摸到红球} 解 A={前2次摸到黑球、第3 次摸到红球 前 次摸到黑球、 种 第3次摸到红球 4种 种 第1次摸到黑球 6种 2

VS =10×10×10 =103,

第1次摸球 3 2

10种 VA = 6×6×4, 种

VA 6×6× 4 故 P ( A) = = = 0.114 3 VB 10

个球放到3个杯子中去,求第1 例5 把4个球放到3个杯子中去,求第1、2个杯子中各 有两个球的概率, 其中假设每个杯子可放任意多个球. 有两个球的概率, 其中假设每个杯子可放任意多个球. 3 3 3 3 解

4个球放到3个杯子的所有放法 3× 3× 3× 3 = 34 种 个球放到3

1 4 4 4 4 3 因此第1、2个杯子中各 4 4 2 4 4 因此第1 有两个球的概率为 2 2 2 2 C4 C2 C4 种 C2 种 2 p= 4 = . 3 27
2 2

在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10 10个人 10号的纪 例6 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪 任选3个记录其纪念章的号码. 念章 , 任选3个记录其纪念章的号码. 求最小号码为5的概率; (1)求最小号码为5的概率; 求最大号码为5的概率. (2)求最大号码为5的概率. ={任选 5},B={ 解 设A={任选3个记录其纪念章最小号码为5}, ={任 ={任选3个记录其纪念章最小号码为5}, ={任 个记录其纪念章最大号码为5}. 选3个记录其纪念章最大号码为5}. 由已知条件
3 1 2 1 2 VS = C10 , VA = C1C5 , VB = C1C4 .

所求概率分别为 1 2 1 2 C1C5 1 C1C4 1 P( A) = 3 = , P(B) = 3 = . C10 12 C10 20

个球放到10个杯子中去, 10个杯子中去 例7 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一 个球,求第1至第4个杯子中各放一个球的概率. 个球,求第1至第4个杯子中各放一个球的概率. 解 },由已知条件 设A={第1至第4个杯子各放一个球},由已知条件 第 至第4个杯子各放一个球},

VS = P ,
4 10

VA = P

4 4

所以

4× 3× 2×1 1 VA P4 4 P( A) = = 4= = VS P 10×9×8×7 210 10

2000的整数中随机地取一个数 的整数中随机地取一个数, 例8 在1-2000的整数中随机地取一个数,问取到的整 数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少? 数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

={取到的数能被 ={取到的数能被 解 设A={取到的数能被6整除},B={取到的数能被8 ={取到的数能被6整除} ={取到的数能被8 整除} 整除}。 P( AB) = P( AU B) = 1? P( AU B)
P( AB) =1?{ P(A) + P(B) ? P( AB)} 由已知条件 2000 2000 2000 VA = [ ] = 333,VB = [ ] = 250,VAB = [ ] = 83. 6 8 24
333 250 83 ? P( A) = , P(B) = , P( AB) = . 2000 2000 2000

故所求概率为 P( AB) = 1 ? {P( A) + P(B) ? P( AB)}
83 ? 3 ? 333 250 = 1? ? + ? ?= . ?2000 2000 2000? 4

分房模型)设有k个不同的球 个不同的球, 例 9( 分房模型 ) 设有 个不同的球 ,每个球等可能地 落入N个盒子中 个盒子中( 设每个盒子容球数无限, 落入 个盒子中 ( k ≤ N ) , 设每个盒子容球数无限 , 求 下列事件的概率: 下列事件的概率: 某指定的k个盒子中各有一球 个盒子中各有一球; (1)某指定的 个盒子中各有一球; 某指定的一个盒子恰有m个球 个球( (2)某指定的一个盒子恰有 个球( m≤ k ); 某指定的一个盒子没有球; (3)某指定的一个盒子没有球; 恰有k个盒子中各有一球 个盒子中各有一球; (4)恰有 个盒子中各有一球; 至少有两个球在同一盒子中; (5)至少有两个球在同一盒子中; 每个盒子至多有一个球. (6)每个盒子至多有一个球.

VA3 = (N ?1) VA2 = C (N ?1) VA4 = Ck k! VA5 = Nk ?Ck k! VA = Ck k! N N N
VS = N
k

VA1 = k!

m k

k?m

k

6

解 设(1) (6)的各事件分别为 A → A ,则VS = N k (1)—(6) (6)的各事件分别为 1 6
VA1 = k!
m VA2 = Ck (N ?1)k?m

k! P( A ) = = k 1 VS N
m Ck (N ?1)k?m P( A2 ) = Nk (N ?1)k P( A ) = 3 Nk

VA1

VA3 = (N ?1)k
VA4 = Ck k! N VA5 = Nk ?Ck k! N VA6 = C k!
k N

k CN k! P( A ) = 4 Nk k Nk ?CNk! P( A ) = =1? P(A4 ) 5 k N

P( A ) = P( A ) 6 4

分房模型的应用
假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的, 假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的, 365天中的任一天是等可能的 即都等于1/365,求64个人中至少有2人生日相同的概率. 即都等于1/365,求64个人中至少有2人生日相同的概率. 1/365, 个人中至少有 解 64个人生日各不相同的概率为 64个人生日各不相同的概率为

365? 364L(365 ? 64 + 1) p1 = 36564
64个人中至少有 个人中至少有2 故64个人中至少有2人生日相同的概率为

365? 364L(365 ? 64 + 1) p = 1? = 0.997. 64 365

计算古典概率注意事项
1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合问 题要求的随机试验, 使其成为等可能概型. 2o 样本空间包含的基本事件总数随试验设计的不同 而不同,一般样本空间包含的基本事件总数越小越好. 3o 计算古典概率时须注意应用概率计算的有关公式, 将复杂问题简单化. 如例9.

小概率事件 ——
若P(A)

≤0.01,

则称A为小概率事件. .

小概率原理 —— ( 即实际推断原理 )
一次试验中小概率事件一般是不会发生的. 若在一次 试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件. .

例10

区长办公室在某一周曾接待过12次来访,已知 在某一周曾接待过12次来访, 在某一周曾接待过12次来访

所有这12次接待都是在周二和周四进行的, 所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以 12次接待都是在周二和周四进行的 推断接待时间是有规定的. 推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有规定, 假设接待站的接待时间没有规定,且各来访者在 一周的任一天中去接待站是等可能的,那么12次接待来 一周的任一天中去接待站是等可能的,那么12次接待来 12 访者都是在周二、周四的概率为 访者都是在周二、

212 p = 12 = 0.0000003 7
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的, 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知 接待时间是有规定的. 接待时间是有规定的.

第2讲
一、频率 二、概率

概率的定义、 概率的定义、古典概率

三、概率的性质 四、古典概率的计算 五、几何概率

五、几何概率
当随机试验的样本空间是某个区域, 定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意 一点落在度量(长度,面积,体积) 一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可 能的,则事件A的概率可定义为 能的,则事件 的概率可定义为

SA P( A) = S
是样本空间的度量, 是构成事件A的子区域的度 (其中S是样本空间的度量,SA是构成事件 的子区域的度 其中 是样本空间的度量 这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几何 量)这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几何 概率. 概率. 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 连续无穷多个时 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就 归结为几何概率. 归结为几何概率.

例11 概率. 概率.

某人的表停了,他打开收音机听电台报时, 某人的表停了,他打开收音机听电台报时,已

知电台是整点报时的, 知电台是整点报时的,问他等待报时的时间短于十分钟的 不妨认为此人听到报时的整点为10点 分析 不妨认为此人听到报时的整点为 点,那么它 打开收音机的时间应该在9点与 点之间 打开收音机的时间应该在 点与10点之间 点与 点之间.
10分钟

9点 解

60分钟

10点

所求概率 P( A) =

SA 10 1 = = S 60 6

12(会面问题) 乙两人相约在0 例12(会面问题) 甲、乙两人相约在0到T 这段时间 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 内,在预定地点会面. 先到的人等候另一个人,经过时间 t (t<T)后离去. 设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该 )后离去. 设每人在0 地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连. 求甲、 地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连. 求甲、乙两 人能会面的概率. 人能会面的概率. 解 设 x, y分别为甲、乙两人到达的时刻,则 分别为甲、乙两人到达的时刻,

0 ≤ x ≤ T, 0 ≤ y ≤ T.
那末两人会面的充要条件为

x ? y ≤ t.

若以 x, y表示平面上点 的坐标, 的坐标,则有 故所求的概率为

T?

y

y? x = t

x? y = t
?

? o t

T

x

影部 分面积 T2 ? (T ? t )2 阴 p= = 正方 形面积 T2

t? ? = 1 ? ?1 ? ? . ? T?

2

例 13 甲 、 乙两人约定在 下午1 时到2 下午 1 时到 2 时之间到某站乘公 共汽车, 共汽车 , 又这段时间内有四班 公共汽车, 公共汽车 , 它们的开车时刻分 别为 1:15、1:30、1:45、2:00. 、 、 、 . 假定甲、 假定甲 、 乙两人到达车站的时 刻是互相不牵连的, 且每人在1 刻是互相不牵连的 , 且每人在 1 时到2 时到 2 时的任何时刻到达车站是 等可能的. 等可能的.如果它们约定 见车就乘; (1) 见车就乘; 最多等一辆车. (2) 最多等一辆车. 求甲、乙同乘一车的概率. 求甲、乙同乘一车的概率.

解 设x, y分别为 分别为 甲、乙两人到达的时 刻,则有

1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2.

y

2?

1 : 45? 1 : 30? 1 : 15?

?

?
?
1 1 : 151 : 30 1 : 45 2
?
? ? ?

甲、乙同乘一车充分 必要条件为 4+ i i +5 ≤ x≤ 4 4 4+ i i +5 ≤ y≤ 4 4 见车就乘的概率为: 见车就乘的概率为:
?

1?

o

x
2

? 1? 4 ×? ? 阴 影部分面积 ? 4? = 1 = p= 2 正方形面积 (2 ? 1) 4

y

2?

甲等多等了一辆车

1 : 45? 1 : 30? 1 : 15?
1?

? ? ?
1 1 : 151 : 30 1 : 45 2
?

甲、乙乘同一辆车 乙等多等了一辆车

o

?

?

?

?

x

最多等一辆车, 最多等一辆车,甲、 乙同乘一车的概率为

1 3×(1 16) 5 p= + ×2 = . 4 1 8

小结
最简单的随机现象 古典概型 古典概率 几何概型

m A 包 样 点 个 所 含 本 的 数 VA P{ A = = = . } n 样 点 数 本 总 VS

小结
n 频率(波动) 一、 频率(波动) → ∞
二、概率性质 概率(稳定) 概率(稳定)

1. P(?) = 0.
2. AB =?? P( A+ B) = P( A) + P(B)

3. A ? B ? P(B ? A) = P(B) ? P( A).
4. P( A) ≤ 1.
5. P( A) = 1 ? P( A).

6. P( AU B) = P( A) + P(B) ? P( AB)

思考题
双不同的手套中任取4 1. 从5双不同的手套中任取4只,求 (1) 恰有两只 配成一双的概率? 至少有2只配成一双的概率? 配成一双的概率?(2) 至少有2只配成一双的概率? 个人每人携带一件礼品参加联欢会。 2. n个人每人携带一件礼品参加联欢会。联欢会开 个人每人携带一件礼品参加联欢会 始后, 先把所有礼品编号, 然后每人各抽取一个号码, 始后 , 先把所有礼品编号 , 然后每人各抽取一个号码 , 按号码领取礼品。 按号码领取礼品。试求 (1) 所有参加联欢会的人都得到 别人赠送的礼品的概率; 恰好k个人拿到自己的礼品 别人赠送的礼品的概率;(2) 恰好 个人拿到自己的礼品 的概率。 的概率。

禽流感
H5N1禽流感病毒属于甲型流感病毒的一个高致病性 亚型,其中的H和N分别代表病毒表面的两种蛋白质,H 是血凝素(hemagglutinin ) ,就如病毒的钥匙,它能打 开和侵入人类或动物的细胞;N是神经氨酸酶 (neuraminidase),其作用是破坏细胞,使病毒在感染者体 内自由传播。N蛋白共有9个类型,分为N1—N9,H蛋白 有15个类型,即H1—H15,不同的N蛋白和H蛋白结合, 组成不同的病毒类型,毒性和传播速度也不同。H5N1病 毒就包括了H5蛋白和N1蛋白病毒的毒性很强,病禽的死 亡率几乎可达100%。 H5N1禽流感病毒属于甲型流感病毒的一个高致病性 亚型,其中的H和N分别代表病毒表面的两种蛋白质,H 是血凝素(hemagglutinin ),就如病毒的钥匙,它能打开

柯尔莫哥洛夫
( A. H. Колмогоров1903-1987 )
1933年 1933 年 , 苏联数学家柯尔莫 哥洛夫提出了概率论的公理化结 构 , 给出了概率的严格定义, 克 给出了概率的严格定义 , 服了概率古典定义与统计定义的 局限性, 局限性 , 使概率论有了迅速的发 展 . 1939年任苏联科学院院士 年任苏联科学院院士. 1939年任苏联科学院院士 .先 后当选美, 法 , 意 , 荷 , 英 , 德 等国 后当选美 , 的外籍院士及皇家学会会员. 的外籍院士及皇家学会会员 . 为 2 0 世纪最有影响的俄国数学家 .

柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作出重大贡 他建立了在测度论基础上的概率论公理系统, 献.他建立了在测度论基础上的概率论公理系统, 奠定了近代概 率论的基础.他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括: 率论的基础.他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括: 20年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作; 1933年在 20年代 关于强大数定律、重对数律的基本工作; 1933年在 概率论的基本概念》一文中提出的概率论公理体系( 《概率论的基本概念》一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特 问题) 第6问题) 30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程 年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程; 30年代建立的马尔可夫过程的两个基本方程; 用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论; 用希尔伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论; 40年代完成独立和的弱极限理论 年代完成独立和的弱极限理论, 40年代完成独立和的弱极限理论,经验分布的柯尔莫哥洛夫统 计量等; 计量等; 1980年由于它在调和分析 概率论, 年由于它在调和分析, 1980年由于它在调和分析, 概率论,遍历理论及动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖; 出色的工作获沃尔夫奖; 他十分重视数学教育,在他的指引下, 他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在不同的领 域内取得重大成就.其中包括и.M.盖尔范德,B.и.阿诺尔德, и.M.盖尔范德,B.и.阿诺尔德 域内取得重大成就.其中包括и.M.盖尔范德,B.и.阿诺尔德, Я.Г.西奈依等人 西奈依等人. Я.Г.西奈依等人. 他还非常重视基础教育, 他还非常重视基础教育, 亲自领导了中学 数学教科书的编写 工作. 工作.


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