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2015世纪金榜理科数学(广东版)课时提升作业(十五) 2.12


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课时提升作业(十五)
定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2014·厦门模拟)设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则错误!未找到 引用源。f(-x)dx 的值等于( A.错误!未找到引用源。 未找到引用源。 ) B.错误!未找到引用源。 C. 错 误 ! 100 分)

D.错误!未找到引用源。

2.(2014·四平模拟)已知函数 f(x)= 错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。f(x)dx 的值为( A.错误!未找到引用源。 B.4 C.6 )

D.错误!未找到引用源。

3.(2014·南昌模拟)若 a=错误!未找到引用源。x2dx,b=错误!未找到引用源。 x3dx, c=错误!未找到引用源。sinxdx,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<c<b C.c<b<a B.a<b<c D.c<a<b )

4.(2014· 合肥模拟)如图,由函数 f(x)=ex-e 的图象,直线 x=2 及 x 轴所围成的阴 影部分面积等于( )

-1-

A.e2-2e-1

B.e2-2e D.e2-2e+1 ) C. 错 误 !

C.错误!未找到引用源。

5.由直线 x+y-2=0,曲线 y=x3 以及 x 轴围成的图形的面积为( A.错误!未找到引用源。 未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

6.(2014·中山模拟)已知 t>0,若错误!未找到引用源。(2x-1)dx=6,则 t 的值等 于( A.2 ) B.3 C.6 D.8

7.物体 A 以 v=3t2+1(m/s)的速度在一直线 l 上运动,物体 B 在直线 l 上,且在物体 A 的正前方 5m 处,同时以 v=10t(m/s)的速度与 A 同向运动,出发后物体 A 追上物 体 B 所用的时间 t(s)为( A.3 B.4 C.5 ) D.6

8.(能力挑战题)(2014·长沙模拟)如图,矩形 OABC 内的阴影部 分是由曲线 f(x)=sinx(x∈(0,π ))及直线 x=a(a∈(0,π ))与 x 轴围成,向矩形 OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率 为错误!未找到引用源。,则 a 的值是( A.错误!未找到引用源。 引用源。 ) C. 错误!未找到

B.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
-2-

9.(2014·深圳模拟)若函数 f(x)=错误!未找到引用源。f(f(1))=8,则 a 的值 为 .

10.(2014·海口模拟)已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 轴在原点处相切,且 x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为错误! 未找到引用源。,则 a 的值为 .

11.(2014·佛山模拟)计算错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+x2)dx 的值为 .

12.(能力挑战题)(2014·武汉模拟)曲线 y=x2,直线 y=x,y=3x 围成的图形的面积 是 .

三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.求下列定积分. (1)错误!未找到引用源。dx. (2)错误!未找到引用源。(cosx+ex)dx. 14.(2014 · 重 庆 模 拟 ) 已 知 二 次 函 数 f(x)=ax2+bx+c, 直 线 l1:x=2, 直 线 l2:y=-t2+8t(其中 0≤t≤2,t 为常数).若直线 l1,l2 与函数 f(x)的图象以及 l2,y 轴 与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示. (1)求 a,b,c 的值. (2)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式.

-3-

15.(能力挑战题)求由抛物线 y2=x-1 与其在点(2,1),(2,-1)处的切线所围成的 面积.

答案解析
1.【解析】选 A.f′(x)=mxm-1+a=2x+1, 得 m=2,a=1, 所以 f(x)=x2+x,所以 f(-x)=x2-x, 所以错误!未找到引用源。f(-x)dx=错误!未找到引用源。(x2-x)dx=错误!未 找到引用源。=错误!未找到引用源。. 2.【解析】选 D.错误!未找到引用源。f(x)dx=错误!未找到引用源。x2dx+错 误!未找到引用源。(x+1)dx =错误!未找到引用源。x3 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 3.【解析】选 D.因为 a=错误!未找到引用源。x2dx=错误!未找到引用源。x3 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。∈(2,3), b=错误!未找到引用源。x3dx=错误!未找到引用源。x4 错误!未找到引用源。 =4>3,c=错误!未找到引用源。sinxdx
-4-

=(-cosx)错误!未找到引用源。=1-cos2<2,所以 c<a<b. 4.【解析】选 B.由已知得 S=错误!未找到引用源。f(x)dx=错误!未找到引用 源。(ex-e)dx=(ex-ex)错误!未找到引用源。 =(e2-2e)-(e-e)=e2-2e 【误区警示】本题在转化为定积分时易将积分上、下限及被积函数搞错而失分. 5.【解析】选 D.由题意得错误!未找到引用源。解得交点坐标是(1,1). 故由直线 x+y-2=0,曲线 y=x3 以及 x 轴围成的图形的面积为错误! 未找到引用源。 x3dx+错误!未找到引用源。(2-x)dx=错误!未找到引用源。x4 错误!未找到引 用源。+(2x-错误!未找到引用源。x2)错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 【方法技巧】求平面几何图形面积的技巧 求平面几何图形的面积,需根据几何图形的形状进行适当分割,然后通过分别求 相应区间上的定积分求出各自的面积,再求和. 6.【解析】选 B.错误!未找到引用源。(2x-1)dx=错误!未找到引用源。2xdx错误!未找到引用源。1dx =x2 错误!未找到引用源。-x 错误!未找到引用源。=t2-t,由 t2-t=6 得 t=3 或 t=-2(舍去). 【加固训练】 设函数 f(x)=ax2+b(a≠0),若错误! 未找到引用源。 f(x)dx=3f(x0), 则 x0 等于( A.〒1 D.2 【解析】选 C.错误!未找到引用源。f(x)dx=错误!未找到引用源。(ax2+b)dx= 错误!未找到引用源。=9a+3b,所以 9a+3b=3(a 错误!未找到引用源。+b),即错
-5-

) B.错误!未找到引用源。 C.〒错误!未找到引用源。

误!未找到引用源。=3,x0=〒错误!未找到引用源。,故选 C. 7. 【解析】 选 C.因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为错误! 未找到引用源。 (3t2+1)dt, 物体 B 在 t 秒内行驶的路程为错误!未找到引用源。10tdt, 所以错误!未找到引用源。 (3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2) 错误!未找到引用源。 =t3+t-5t2=5? (t-5)(t2+1)=0,即 t=5. 【方法技巧】利用定积分解决物理问题的技巧 利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时 ,关键是求出物体做变速 直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系 ,确定好积分区间,得到积分 表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求. 8.【解析】选 B.由已知 S 矩形 OABC=a〓错误!未找到引用源。=6, 而阴影部分的面积为 S=错误!未找到引用源。sinxdx =(-cosx)错误!未找到引用源。=1-cosa, 依题意有错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。, 得:cosa=-错误!未找到引用源。,又 a∈(0,π), 所以 a=错误!未找到引用源。π. 9.【解析】依题意得:f(f(1))=f(lg1)=f(0)=0+错误!未找到引用源。3t2dt=0+t3 错误!未找到引用源。=a3, 又因为 f(f(1))=8,所以 a3=8,解得 a=2. 答案:2 10.【解析】f′(x)=-3x2+2ax+b,因为 f′(0)=0, 所以 b=0,
-6-

所以 f(x)=-x3+ax2, 令 f(x)=0,得 x=0 或 x=a(a<0). S 阴影=-错误!未找到引用源。(-x3+ax2)dx=错误!未找到引用源。a4=错误!未找 到引用源。, 所以 a=-1. 答案:-1 11.【解析】错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+x2)dx =错误!未找到引用源。dx+错误!未找到引用源。x2dx, 又因为错误!未找到引用源。dx 表示 x2+y2=4 的上半圆的面积,其值为 2π,
2 错误!未找到引用源。x2dx=错误!未找到引用源。 -2 =错误!未找到引用源。+

错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+x2)dx=2π+错误!未找到引 用源。. 答案:2π+错误!未找到引用源。 12.【解析】作出曲线 y=x2,直线 y=x,y=3x 的图象,所求面积为图中阴影部分的 面积.

解方程组错误!未找到引用源。得交点(1,1),(0,0).
-7-

解方程组错误!未找到引用源。得交点(3,9),(0,0), 因此,所求图形的面积为 S=错误!未找到引用源。(3x-x)dx+错误!未找到引用源。(3x-x2)dx =错误!未找到引用源。2xdx+错误!未找到引用源。(3x-x2)dx =x2 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 =1+错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。 13.【解析】(1)错误!未找到引用源。dx =错误!未找到引用源。xdx-错误!未找到引用源。x2dx+错误!未找到引用源。 dx =错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。+lnx 错误!未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。 -错误! 未找到引用源。 +ln2=ln2-错误! 未找到引用源。 . (2)错误!未找到引用源。(cosx+ex)dx=错误!未找到引用源。cosxdx+错误!未 找到引用源。exdx =sinx 错误! 未找到引用源。 +ex 错误! 未找到引用源。 =1-错误! 未找到引用源。 . 14.【解析】(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且 f(x)的最大 值为 16, 则错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 (2)由(1)得 f(x)=-x2+8x, 由错误!未找到引用源。 得 x2-8x-t(t-8)=0,所以 x1=t,x2=8-t.
-8-

因为 0≤t≤2, 所以直线 l2 与 f(x)的图象的交点坐标为(t,-t2+8t). 由定积分的几何意义知: S(t)= 错误!未找到引用源。 [(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+ 错误!未找到引用源。 [(-x2+8x)-(-t2+8t)]dx= 错误!未找到引用源。+ 错误!未找到引用源。-(-t2+8t)x 错误!未找到引用源。 =-错误!未找到引用源。t3+10t2-16t+ 错误!未找到引用源。. 所以 S(t)=-错误!未找到引用源。t3+10t2-16t+错误!未找到引用源。(0≤t≤ 2). 15.【思路点拨】将抛物线方程化为 y=〒错误!未找到引用源。.利用导数求出 其切线方程.再由定积分的几何意义求面积. 【解析】y=〒错误!未找到引用源。.y′x=〒错误!未找到引用源。. 因为过点(2,1)的直线斜率为 y′|x=2=错误!未找到引用源。, 直线方程为 y-1=错误!未找到引用源。(x-2),即 y=错误!未找到引用源。x.同 理,过点(2,-1)的直线方程为 y=-错误!未找到引用源。x,抛物线顶点在(1,0). 如图所示:

由抛物线 y2=x-1 与两条切线 y=错误!未找到引用源。x,y=-错误!未找到引用
-9-

源。x 围成的图形面积为: S=S△AOB-2 错误!未找到引用源。dx=错误!未找到引用源。〓2〓2-2〓错误!未 找到引用源。〓(x-1 错误!未找到引用源。=2-错误!未找到引用源。(1-0)= 错误!未找到引用源。. 【加固训练】已知 f(x)=错误!未找到引用源。sinxcosx-cos2x+错误!未找到 引用源。. (1)写出 f(x)的最小正周期 T. (2)求由 y=f(x)错误!未找到引用源。,y=0 错误!未找到引用源。,x=错误!未 找到引用源。(-1≤y≤0),以及 x=0 错误!未找到引用源。围成的平面图形的面 积. 【解析】(1)因为 f(x)=错误!未找到引用源。sinxcosx-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。sin2x-错误!未找到引用源。cos2x=sin 错误!未找到 引用源。, 所以 T=错误!未找到引用源。=π. 所以 f(x)的最小正周期为π. (2)设由 y=f(x)错误!未找到引用源。,y=0 错误!未找到引用源。,x=错误!未 找到引用源。(-1≤y≤0),以及 x=0 错误!未找到引用源。围成的平面图形的面 积为 S, 因为 f(x)=sin 错误!未找到引用源。, 所以 S=-错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。dx +3 错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。dx. 因为错误!未找到引用源。′=sin 错误!未找到引用源。,
- 10 -

所以 S=错误!未找到引用源。+ 3 错误!未找到引用源。 =2-错误!未找到引用源。. 所以由 y=f(x)错误!未找到引用源。,y=0 错误!未找到引用源。, x=错误!未找到引用源。(-1≤y≤0),以及 x=0 错误!未找到引用源。围成的平 面图形的面积为 2-错误!未找到引用源。.

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