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用向量方法证明平行与垂直


用向量方法证明平行与垂直

运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般 步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐 标;③写出向量的坐标;④结合公式进行计算,论证; ⑤转化为几何结论.

平面的法向量 1.如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α,则称这个向量垂直于平面 α,记作 a⊥α,如果 a⊥α, 那么向量 a

叫做平面 α 的法向量. 2.求平面的法向量的方法 设 n 是平面 M 的一个法向量,AB、CD 是 M 内的两 → → 条相交直线,则 n· AB=0,n· CD=0.由此可求出一个法 → → 向量 n(向量AB及CD已知).

如何用空间向量解决立体几何问题 1.思考方向: (1) 要解决的问题可用什么向量知识来解决?需要 用到哪些向量? (2)所需要的向量是否已知?若未知,是否可用已知 条件转化成的向量直接表示?

(3) 所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的 向量表示,则它们分别最易用哪个未知向量表示?这些 未知向量与由已知条件转化的向量有何关系? (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能 得到需要的结论?

2.空间问题如何转化为向量问题 (1)平行问题?向量共线,注意重合; (2)垂直问题?向量的数量积为零,注意零向量; (3)距离问题?向量的模; (4)求角问题?向量的夹角,注意角范围的统一.

3.向量的分解与组合是用向量法解决立体几何问题中 经常遇到的问题,确定合适的基向量或建立恰当的空间直 角坐标系是关键.

二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1.用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b. (1)l1∥l2 或 l1 与 l2 重合?a∥b?存在实数 t, 使 a=tb. (2)l1⊥l2?a⊥b?a· b=0.

2.用向量方法研究直线与平面的位置关系 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,v1、 v2 是与 α 平行的两个不共线向量. (1)l∥ α 或 l? α?存在两个实数 λ、μ,使 a= λv1+ μv2 ? a· n= 0. (2)l⊥ α? a∥ n?存在实数 t,使 a= tn.
? ?a⊥ v1 l⊥ α?? ? ?a⊥ v2 ? v1= 0 ? a· ?? ? v2= 0 ?a·

.

3.用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面 α、 β 的法向量分别为 n1、 n2. (1)α∥ β 或 α 与 β 重合? n1∥ n2?存在实数 t,使 n1 = tn2. (2)α⊥ β? n1⊥ n2? n1· n2= 0. 若 v1、v2 是与 α 平行的两个不共线向量,n 是平面 β 的法向量.
则①α∥β 或 α 与 β 重合?v1∥β 且 v2∥β?存在实数 λ、μ,对 β 内任一向量 a,有 a=λv1+μv2.
? ?n⊥v1 ②α⊥β?? ? ?n⊥v2 ? v1=0 ?n· ? ? ? v2=0 ?n·

.

用向量证明线面平行
[例 1] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、 N 分别 是 C1C、B1C1 的中点.求证:MN∥平面 A1BD.

证明:方法 1:如下图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直 线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1, 则可求得
? ?1 ? 1? M?0,1,2?,N?2,1,1?,A1(1,0,1),B(1,1,0), ? ? ? ?
? ?

?1 1? → 于是MN=?2,0,2?,

设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z). ? ?x+z=0 → → 则 n· DA1=0,且 n· DB=0,∴? ? ?x+y=0 ,

取 x=1,得 y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1).
?1 1? → ? 又MN· n= 2,0,2?· (1,-1,-1)=0, ? ?

→ ∴MN⊥n,又∵MN?平面 A1BD,∴MN∥平面 A1BD.

点评: (1)证明直线 l1∥ l2 时,分别取 l1、 l2 的一个方 向向量 a、 b,则 a∥ b?存在实数 k,使 a= kb 或利用其 a1 a2 a3 坐标 = = (其中 a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3)). b1 b2 b3
(2)证明直线 l∥平面 α 时, 可取直线 l 的方向向量 a 与平面 α 的法向量 n, 证明 a· n=0;

(3)证明平面 α∥平面 β 时, 设 α、 β 的法向量分别为 a、

b,则只须证明 a∥b.

用向量证明线面垂直
[例 2] 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F 分别为棱 AB 和 BC 的中点,试在棱 B1B 上找一点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1.

证明:分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz,
? ? 1 则 A(1,0,0), B1(1,1,1), C(0,1,0), D1(0,0,1), E?1, ,0?, 2 ? ?

→ M(1,1, m).∴AC=(- 1,1,0), 又 E、 F 分别为 AB、 BC 的中点,
? → 1→ ? 1 1 ∴EF= AC=?- , ,0?. 2 ? 2 2 ?

? 1 → ? → ? ? 又∵B1E= 0,- ,- 1 , D1M=(1,1, m- 1), 2 ? ?

∵ D1M⊥平面 FEB1,∴ D1M⊥ EF 且 D1M⊥ B1E. → → → → 即D1M· EF= 0,且D1M· B1E= 0. ? 1 1 0= 0 ?-2+2+? m- 1? · ∴? ?0-1+? 1- m?= 0 2 ? 1 ,∴ m= . 2

故取 B1B 的中点 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1.

点评:①证明直线 l1 与 l2 垂直时,取 l1、l2 的方向向 量 a、 b,证明 a· b= 0. ②证明直线 l 与平面 α 垂直时,取 α 的法向量 n, l 的方向向量 a,证明 a∥ n. 或取平面 α 内的两相交直线的方向向量 a、b 与直线 l 的方向向量 e,证明 a· e= 0, b· e= 0.

③证明平面 α 与 β 垂直时, 取 α、 β 的法向量 n1、 n2, 证明 n1· n2=0. ④证明平行与垂直的关键是将待证问题中直线的方 向向量和平面的法向量表示出来(用已知向量表示或用坐 标表示).

如下图所示,在四棱锥 P- ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, AB⊥ AD, AC⊥ CD,∠ ABC= 60° , PA= AB = BC, E 是 PC 的中点.
证明: (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE.

证明:∵AB、AD、AP 两两垂直,建立如图所示的空 间直角坐标系,设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1).
(1)∵∠ABC=60° ,∴△ABC 为正三角形. 1 3 1 3 1 ∴C( , ,0),E( , , ). 2 2 4 4 2 → → 设 D(0,y,0),由 AC⊥CD,得AC· CD=0, ∴y= 2 3 2 3 1 3 → ,即 D(0, ,0),∴CD=(- , ,0). 3 3 2 6

1 3 1 1 1 3 3 → → → 又AE=( , , ),∴AE· AD=- × + × =0, 4 4 2 2 4 6 4 → → ∴AE⊥CD,即 AE⊥CD.

(2)设平面 ABE 的一个法向量为 n= (x, y, z), 1 3 1 → → ∵AB= (1,0,0),AE= ( , , ), 4 4 2 ? → ?n· AB= 0 ∴? → ? n · AE =0 ? ?x= 0 ? ,即?1 3 1 x+ y+ z= 0 ? 4 4 2 ? ,

令 y= 2,则 z=- 3,∴ n=(0,2,- 3).
2 3 3 → → ∵PD=(0, ,-1),显然PD= n. 3 3 → → ∵PD∥n,∴PD⊥平面 ABE.即 PD⊥平面 ABE.

用向量方法证明面面垂直与平行
[例 3] 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为 2, E、 F、 G 分别是 BB1、DD1、 DC 的中点,求证:
(1)平面 ADE∥平面 B1C1F; (2)平面 ADE⊥平面 A1D1G; (3)在 AE 上求一点 M,使得 A1M⊥平面 DAE.

→ → → 解析:以 D 为原点,DA、DC、DD1为正交基底建立 空间直角坐标系 O- xyz, 则 D(0,0,0), D1(0,0,2), A(2,0,0), A1(2,0,2), E(2,2,1), F(0,0,1), G(0,1,0), B1(2,2,2), C1(0,2,2).

(1)设 n1= (x1, y1, z1), n2= (x2, y2, z2)分别是平面 → → ADE、平面 B1C1F 的法向量,则 n1⊥DA, n1⊥AE. ? → ?n1· DA= 0 ∴? → ? AE= 0 ?n1·
? 2x = 0 ? 1 ,∴? ? ?2y1+ z1= 0



取 y1= 1, z1=- 2,∴ n1=(0,1,- 2). 同理可求 n2= (0,1,- 2). ∵ n1∥ n2,∴平面 ADE∥平面 B1C1F.

→ → (2)∵DA· D1G= (2,0,0)· (0,1,- 2)= 0, → → ∴DA⊥D1G. → → → → ∵AE· D1G= (0,2,1)· (0,1,- 2)= 0,∴AE⊥D1G. → → ∵DA、AE不共线,∴ D1G⊥平面 ADE. 又∵ D1G?平面 A1D1G,∴平面 ADE⊥平面 A1D1G.

→ → (3)由于点 M 在 AE 上, 所以可设AM= λ· AE= λ· (0,2,1) = (0,2λ, λ), → ∴ M(2,2λ, λ),A1M=(0,2λ, λ- 2). 要使 A1M⊥平面 DAE,只需 A1M⊥ AE, → → ∴A1M· AE= (0,2λ, λ- 2)· (0,2,1)= 5λ- 2= 0, 2 2 ∴ λ= .故当 AM= AE 时, A1M⊥平面 DAE. 5 5

(2011· 黄冈期末 ) 在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD, E、 F 分别为棱 AD、 PB 的中点, PD= AD.求证: 平面 CEF⊥平面 PBC.

证明: 以 D 为原点,直线 DA、 DC、 DP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如下图空间直角坐标系. 设 PD= 1,则 P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0), 1 1 1 1 ∴ E( , 0,0), F( , , ), 2 2 2 2

设平面 CEF 的一个法向量为 n=(x, y, z),则 ? → ?n· EF= 0 1 1 → ? ,∵EF= (0, , ), 2 2 → ? EC= 0 ?n· ?1 1 ?2y+2z= 0 1 → EC= (- , 1,0),∴? 2 ?-1x+ y=0 ? 2
?z=- y ? ∴? ? ?x= 2y



,令 y= 1,则 n= (2,1,- 1).

设平面 PBC 的一个法向量 u=(x, y, z), ? → ?u· BC=0 则? → ? u · BP =0 ? → ,∵BC=(- 1,0,0),
?

?- x= 0 → BP=(- 1,- 1,1),∴? , ? ?- x- y+ z= 0 ?x= 0 ? ∴? ? ?y= z

,令 z= 1,则 u= (0,1,1),

∵ u· n= 0,∴u⊥ n, ∴平面 CEF⊥平面 PBC.

1.已知四棱锥 P-ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC= ∠BCD=90° ,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面 PBC⊥底 面 ABCD.
(1)证明:PA⊥BD; (2)证明:平面 PAD⊥平面 PAB.

[证明]

(1)取 BC 的中点 O,

∵侧面 PBC⊥底面 ABCD,△PBC 为等边三角形, ∴PO⊥底面 ABCD. 以 O 为坐标原点,以 BC 所在直线为 x 轴,过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴,建立如下图所示空间直角坐标系.

不妨设 CD= 1,则 AB= BC= 2, PO= 3. ∴ A(1,- 2,0),B(1,0,0),D(- 1,- 1,0),P(0,0, 3). → → ∴BD= (- 2,- 1,0),PA= (1,- 2,- 3). → → → → ∵BD· PA= 0,∴PA⊥BD,∴PA⊥ BD.

(2)取 PA 的中点 M,连结 DM,则

?1 M? ?2,- 1, ?

3? ? . ? 2?

→ ? → 3? ?3 ∵DM=? , 0, ? , PB = (1,0,- 3), ? 2? ?2 → → → → ∴DM· PA= 0,∴DM⊥PA,即 DM⊥PA. → → → → 又DM· PB= 0,∴DM⊥PB,即 DM⊥PB. ∵PA∩PB=P,∴ DM⊥平面 PAB, ∵ DM?平面 PAD,∴平面 PAD⊥平面 PAB.
[点评] 线线垂直即直线的方向向量垂直;线面垂直即直线的方 向向量与平面的法向量平行;面面垂直即二平面的法向量垂直.

2.(2011· 六安月考)如下午图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2,AF=1, M 是线段 EF 的中点.

求证:(1)AM∥平面 BDE; (2)AM⊥平面 BDF.

[证明 ]

(1)建立如下图所示的空间直角坐标系,设

AC∩ BD= N,连接 NE.

2 2 则点 N、 E 的坐标分别为( , , 0)、(0,0,1). 2 2 2 2 → ∴NE= (- ,- , 1). 2 2 2 2 又点 A、M 的坐标分别是( 2, 2,0)、( , ,1), 2 2

2 2 → ∴AM= (- ,- , 1). 2 2 → → ∴NE=AM且 NE 与 AM 不共线. ∴ NE∥ AM.

又∵ NE?平面 BDE, AM?平面 BDE, ∴ AM∥平面 BDE. 2 2 → (2)由(1)知AM=(- ,- , 1), 2 2 ∵ D( 2,0,0),F( 2, 2, 1), → ∴DF= (0, 2, 1). → → → → ∴AM· DF= 0,∴AM⊥DF,∴AM⊥ DF. 同理 AM⊥ BF.又 DF∩ BF= F, ∴ AM⊥平面 BDF.


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