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指数对数


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指数、对数函数练习
1.若 a< ,则化简 (2a-1) 的结果是

1 2

4

2

A. 2a-1 B.- 2a-1 C. 1-2a D.- 1-2a
2.若 ?1 ? a ? 0 ,则式子 3
a

r />, a , a 3 的大小关系是(
a 1 3

1 3


3

A、 3 ? a ? a
a 3

1 3

B、 a ? 3 ? a
3

C、 3 ? a ? a
a

1 3

D、 a ? a ? 3a
3

1 3

1 (a 3 b 2 )(?3a 2 b 3 ) ? ( a 6 b 6 ) 3 3.化简 的结果
A. 6 a B. ? a C. ? 9a

2

1

1

1

1

5



) D. 9 a
2

4.对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式

① log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ③ a1? a ? a
1? 1 a

1 ) a

② log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ④ a1? a ? a
1? 1 a

1 ) a

其中成立的是( A.①与③
5. a

) C.②与③ D.②与④

B.①与④

? log2 3 , b ? log4 6 , c ? log8 9 ,则下列关系中正确的是
A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? b ? a ) D.1 D. c ? a ? b

6. lg 5 ?
2

2 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? lg 2 2 ? ( 3
B.3
2y

A.4
x

C.2
1 y

7.已知 2 =7 =A,且 + =2,则 A 的值是

1 x

A.7 B.7 2 C.± 7 2 D.98
8.函数 y ? a 在[0,1]上的最大值与最小值的差为 3,则 a 的值为(
x



A.

1 2

B.2

C.4

D.

1 4
( )
1

9.已知

5 ) ? 则 f( f (10x ) ? x ,

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A、 105 B、 510
( a 2 ? a ?1)

C、 lg10

D、 lg 5 )

10.若 0 ? a ? 1, P ? loga

3 , Q ? loga (a ?a ?1) ,则 P 与 Q 的大小关系是 (

A. P > Q
11.对于幂函数

B. P < Q
4 5

C. P = Q

D. P 与 Q 的大小不确定

f ( x) ? x ,若 0 ? x1 ? x2 ,则 f (

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ), 大小关系是 2 2 x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2



) A. f ( C.

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2 f( x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2

B. f (

D. 无法确定

12 若点 (m, n) 在函数 y ? a x 的图像上,则下列哪一点一定在函数

y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 的图像上(
A. (m, n)
13. log 1
2

) C. (?m, n) D. (n, m)

B. (?n, m)
2

4 ? (?8) 3 ?

.

14.已知 a

?

5 ?1 ,函数 f ( x) ? a x ,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系 2



15.若集合 {x, xy, lg( xy)} ? {0, |

x |, y}, 则log8 ( x 2 ? y 2 ) =

.

16.下列命题:①幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数;

②图象不经过点 (?1,1) 的幂函数一定不是偶函数; ③如果两个幂函数的图象具有三个公共点,那么这两个幂函数相同;

2

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④幂函数 y ? x? 的图象不可能在第四象限内。其中正确的题号是
17.已知 x ? x
?1

? 3 ,求下列各式的值:(1) x 2 ? x 2 ;(2) x 2 ? x 2 .

1

?

1

3

?

3

18.设 f(x)=

4x ,若 0<a<1,试求: 4 +2
x

(1)f(a)+f(1-a)的值; 1 2 3 1 000 (2)f( )+f( )+f( )+…+f( )的值. 1 001 1 001 1 001 1 001

19.已知函数

f ( x) ? ln(a x ? b x )(a ? 1 ? b ? 0) .

(1) 求函数 f ( x) 的定义域 I ; (2) 判断函数 f ( x) 在定义域 I 上的单调性,并说明理由; (3)当 a , b 满足什么关系时, f ( x) 在 ?1, +? ? 上恒取正值。

3

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20.已知 2 ? 256且 log 2 x ?
x

1 x ,求函数 f ( x) ? log2 ? log 2 2

2

x 的最大值和最小值. 2

21.有甲、乙两种商品,经销这两种商品所获的利润依次为 p (万元)和 q (万元),

它们与投入的资金 x (万元)的关系,有经验公式为 p ?

1 3 x, q ? x, 5 5

今有 3 万元资金投入经销甲、乙两种商品,为获得最大利润,应对甲、乙两种商品分别 投入多少资金,使总共获得的最大利润最大,并求最大利润是多少万元?

22.已知函数 f ( x ) ? log a

1 ? mx x ?1

( a ? 0, a ? 1) 的图象关于原点对称.

(1)求 m 的值; (2)判断 f(x) 在 (1, ??) 上的单调性,并根据定义证明.

4

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一、选择题( 12 小题,每小题 5 分) 1.C

4 1 解析:∵a< ,∴2a-1<0.于是,原式= (1-2a)2= 1-2a. 2 解析:由 0 ? a ? 1 得 a ? 1 ?

2.A 3.C 4.D 6.B 7.B

1 1 ,1 ? a ? 1 ? , ②和④都是对的;5.A a a

1 1 1 1 2 解析:由 2x=72y=A 得 x=log2A,y= log7A,则 + = + =logA2+ 2 x y log2A log7A

2logA7=logA98=2,A2=98.又 A>0,故 A= 98=7 2. 8.C 9.D 10.B 11.A 12.D
二、填空题( 4 小题,每小题 4 分) 13 . 2 14. m ? n 15.

1 3

16.②④ 分)
? 1 2 2 1 2 2 1 2 ? 1 2

三、解答题(

6 小题,共 74
1 2

17.解析: (1)? ( x

? x ) ? ( x ) ? 2x x

? (x )

?

1 2 2

? x1 ? x?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ,
∴ x2 ? x
1 ? 1 2

?? 5,
? 3 得 x ? 0 ,∴ x ? x
1 2
1 2 ? 1 2

又由 x ? x
1

?1

? 0,

所以 x 2 ? x

?

? 5.
? 3 2

(2) (法一) x 2 ? x
1 ? 1

3

=(x 2 )3 ? ( x 2 )3 ? ( x 2 ? x 2 )[( x 2 )2 ? x 2 x

1

?

1

1

?

1

1

1

?

1 2

? ( x 2 )2 ]

?

1

? ( x 2 ? x 2 )[( x ? x ?1 ) ? 1] ? 5(3 ?1) ? 2 5 ,
(法二) [( x 2 ) ? ( x 2 )] ? ( x 2 ) ? ( x 2 ) ? 2 x 2 x
2 2 2 3 ? 3 3 ? 3 ? 3 ? 3 2

? x3 ? x?3 ? 2

而x ?x
3

?3

? ( x ? x?1 )( x2 ? x?2 ?1)

? ( x ? x?1 )[( x ? x?1 )2 ? 3] ? 3 ? (32 ? 3) ? 18
∴ ( x 2 ? x 2 ) ? 20 ,
2 3 ? 3

又由 x ? x ?1 ? 3 ? 0 得 x ? 0 ,∴ x 2 ? x
18.解析:(1)f(a)+f(1-a)=

3

?

3 2

? 0 ,所以 x 2 ? x

3

?

3 2

? 20 ? 2 5 .

4 4a + 1-a a 4 +2 4 +2

1-a

4 4a 4a 4a 4 = a + = a + 4 4 +2 4 +2 4+2· 4a a+2 4
5

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4a+2 4a 2 + =1. a= a 4 +2 2+4 4 +2 1 2 3 1 000 1 1 000 2 999 (2)f( )+f( )+f( )+…+f( )=[f( )+f( )]+[f( )+f( )] 1 001 1 001 1 001 1 001 1 001 1 001 1 001 1 001 500 501 +…+[f( )+f( )]=500×1=500. 1 001 1 001 =
a

19.解析:(1)

f ( x) ? ln(a x ? b x )(a ? 1 ? b ? 0) 要意义, a x ? b x ? 0 -----------2 分

(只要学生得出答案,没有过程的,倒扣一分,用指数函数单调性或者直接解出)

a ?a? a ? b ? 0 ? ? ? ? 1(a ? 1 ? b ? 0 ? ? 1) b ?b?
x x

x

? 所求定义域为 ? 0, ??? -----------------------------------------4 分
(2)函数在定义域上是单调递增函数------------------------------5 分 证明: ?x1 , x2 ,0 ? x1 ? x2 ---------------------------------------6 分

?a ?1 ? b ? 0

? a x1 ? a x2 , b x1 ? b x2 -----------------------------------------7 分
? a x1 ? b x1 ? a x2 ? b x2 ? ln(a x1 ? b x1 ) ? ln(a x2 ? b x2 ) -----------------------------------9 分 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
所以原函数在定义域上是单调递增函数-------------------------10 分 (3)要使 f ( x) 在 ?1, +? ? 上恒取正值 须 f ( x) 在 ?1, +? ? 上的最小值大于 0--------------------------11 分 由(2) ymax ? f (1) ? ln(a ? b) ------------------------------12 分

? ln(a ? b) ? 0 ? a ? b ? 1
所以 f ( x) 在 ?1, +? ? 上恒取正值时有 a ? b ? 1 -------------------14 分
20.解析:由 2 ? 256 得 x ? 8 , log2
x

x ? 3即

1 ? log 2 x ? 3 2

3 1 f ( x) ? (log 2 x ? 1) ? (log 2 x ? 2) ? (log 2x ? ) 2 ? . 2 4
当 log 2 x ?

3 1 , f ( x) min ? ? ,当 log 2 x ? 3, f ( x)max ? 2 2 4
6

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21.解析:设投入甲商品为 x (0 ? x ? 3) 万元,则投入乙商品为 3 ? x 万元,

总利润为 y 万元 依题意 y ?

…………………………………………1 分

1 3 x? 3 ? x ………………………………………3 分 5 5

令 3 ? x ? t , 则x ? 3 ? t 2 …………………………………………4 分 因为 0 ? x ? 3 ,所以 0 ? t ? 3 ……………………………………5 分 所以 y ? 当t ?

1 3 1 3 21 (3 ? t 2 ) ? t ? ? (t ? ) 2 ? ……………………………8 分 5 5 5 2 20

3 21 即 x ? 0.75 时 y 取最大值 ,此时 3 ? x ? 2.25 ………………11 分 20 2

答:甲投入 0.75 万元,乙投入 2.25 万元时,总共可获得最大利润 1.05 万元。…12 分
22.解析:由图象关于原点对称知它是奇函数,得 f(x)+f(-x)=0,即 1 ? mx 1 ? mx log a ? log a ? 0, x ?1 ?x ?1



1? m x
2

2

1? x

2

? 1, m= -1;
x1 ? 1 x1 ? 1 ?

(2)由(1)得 f ( x ) ? log a
x2 ? 1 x2 ? 1 ? 2( x2 ? x1 ) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

x ?1 x ?1

,定义域是 ( ??, ?1) ? (1, ??) ,

设 1 ? x1 ? x2 ,得

? 0 ,所以当 a>1 时,f(x) 在 (1, ??) 上单调递

减;当 0<a<1 时,f(x) 在 (1, ??) 上单调递增.

7


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