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随机变量及其分布列和统计案例


随机变量及其分布列和统计案例(选修 2-3)
班级__________ 姓名___________ 一. 选择题(每小题 6,共 30 分) 1、甲射击命中目标的概率是 学号__________ 成绩___________

1 1 1 ,乙命中目标的概率是 ,丙命中目标的概率是 . 现在三 2 3 4
A

人同时射击

目标,则目标被击中的概率为

A.

3 4

2 B. 3

C.

4 5

7 D. 10

2.已知随机变量 X 的分布列为 P(X =k)=

1 ,k=1,2,3,则 D(3X +5)等于 A 3

A.6 B.9 C.3 D.4 3.一台 X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8000,有四台这种型号的自 动机床各自独立工作,则在一小时内至多有 2 台机床需要工人照看的概率是( ) D

A.0.1536

B.0.1808

C.0.5632

D.0.9728

4、已知 X~B(n,p),EX =8,DX =1.6,则 n 与 p 的值分别是 D A.100、0.08 B.20、0.4 C.10、0.2 D.10、0.8 2 ( DX ) 5. 设随机变量 X ~ B(n, p ) ,则 等于( )B ( EX ) 2 A. p2 B. (1 ? p)2 C. np D. p 2 (1 ? p) )C

6、随机变量 X ? N (? , ? 2 ) ,则随着 ? 的增大,概率 P(| X ? ? |? 3? ) 将会( A.单调增加 B.单调减小 C.保持不变 D.增减不定 7.(2007 年湖北卷第 1 题) 如果 ? 3x 2 ?

? ?

2? ? x3 ?

n

的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的

最小值为( )B A.3 B.5 C.6 D.10 8. 某人从家乘车到单位,途中有 3 个交通岗亭.假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独 立的,且概率都是 0.4,则此人上班途中遇红灯的次数的期望为: B A.0.4 B.1.2 C. 0.4 D.0.6 9. 2007 年北京卷第 5 题) ( 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照, 要求排成一行, 2 位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有 B A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种 10.(2007 年全国卷Ⅱ第 10 题) 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加 公益活动,每人一天,要求星期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加,则不同的选 派方法共有 B A 40 种 B 60 种 C 100 种 D 120 种 二、填空题 (每小题 6 分,共 30 分) 11. .一个箱子中装有质量均匀的 10 个白球和 9 个黑球,一次摸出 5 个球,在已知它们的颜 2 色相同的情况下,该颜色是白色的概率是 . 3 12.设一次试验成功的概率为 P,进行 100 次独立重复试验,当 P =__ p ?
3

1 _时,成功次 2
. 0.1

数的标准差最大,其最大值是_____5____. 13. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (0,? 2 ) 且 P(?2 ≤ X ≤ 0) ? 0.4 则 P( X ? 2) ?
1

14、(2007 年重庆卷第 4 题)若 ? x ?

? ?

1? ? 展开式的二项式系数之和为 64 ,则展开式的常数项 x?

n

为_____20 三、解答题 15.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了 n 株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ? 为成活沙柳的株数,数学期 望 E? ? 3 ,标准差 ?? 为

6 . 2

(Ⅰ)求 n,p 的值并写出 ? 的分布列; (Ⅱ)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率. (1)由 E? ? np ? 3, (?? ) ? np(1 ? p ) ?
2

15 20 15 6 1 64 64 64 64 64 (2)记”需要补种沙柳”为事件 A, 则 P( A) ? P(? ? 3), 得 1 ? 6? 1 ? 2 0 2 1 5 15 ? 6 ? 1 21 P ( A )? ? , 或 P( A) ? 1 ? P(? ? 3) ? 1 ? ? 64 32 64 32
16. 甲、乙两人玩套圈游戏,套中的概率分别为 0.7 和 0.8,如果每人都扔两个圈. (Ⅰ)求甲套中两次而乙只套中一次的概率; (Ⅱ)若套中一次得 1 分,套不中得 0 分,求甲、乙两人得分相同的概率. 12.设 A = {甲扔一次且套中},B = {乙扔一次且套中}。 (A)= 0.7,P(B)= 0.8。 (Ⅰ)甲套中两次而乙只套中一次的概率 P = P(A·A)[P(B· B )+ P( B ·B)]=P(A) ·P(A) ·2P(B) ·P( B ) =0.7×0.7×2×0.8×(1-0.8)=0.1568 (Ⅱ)若套中一次得 1 分,套不中得 0 分,则甲、乙两人得分相同的概率有三种情况: ①甲、乙各扔两次且均套中的概率 P = 0.7×0.7×0.8×0.8 = 0.3136 1 ②甲、 乙各扔两次且均只套中一次的概率 P2 ? C2 0.7 ? (1 ? 0.7) ? C2 0.8 ? (1 ? 0.8) ? 0.1344
1 1

? 的分布列为 ? 0 1 P 64

3 1 1 , 得 1 ? p ? ,从而 n ? 6, p ? 2 2 2
2 3 4 5 6

1

6 64

③甲、乙各扔两次且均未套中的概率

P3 ? (1 ? 0.7) 2 ? (1 ? 0.8) 2 = 0.0036

∴甲、乙两人得分相同的概率为 P ? P ? P ? P = 0.4516 1 2 3 17.某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元的保险金, 对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获 9000 元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一 次) ,设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 相互独立,求一年内该单位在此保险中: (Ⅰ)获赔的概率; (Ⅱ)获赔金额 ? 的分布列与期望.

1 1 1 , , ,且各车是否发生事故 9 10 11

2

2, 解:设 Ak 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故, k ? 1, 3 .由题意知 A , A2 , A3 独立, 1
且 P ( A1 ) ?

1 1 1 , P ( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 9 10 11

(Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为

8 9 10 3 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? ? ? ? . 9 10 11 11 (Ⅱ) ? 的所有可能值为 0 , 9000 , 18000 , 27000 . 8 9 10 8 P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? ? ? ? , 9 10 11 11 P(? ? 9000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )

? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 ) 1 9 10 8 1 10 8 9 1 242 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 45 P(? ? 18000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 ) ? P( A1)P( A2 )P( A3 ) 1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 110 1 1 1 1 . P(? ? 27000) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? ? ? ? 9 10 11 990 综上知, ? 的分布列为

?
P
求 ? 的期望有两种解法: 解法一:由 ? 的分布列得

0

9000

18000

27000

8 11

11 45

3 110

1 990

E? ? 0 ?

8 11 3 1 29900 ? 9000 ? ? 18000 ? ? 27000 ? ? ≈ 2718.18 (元) . 11 45 110 990 11

2, 解法二:设 ?k 表示第 k 辆车一年内的获赔金额, k ? 1, 3 ,
则 ?1 有分布列

?1
P
故 E?1 ? 9000 ?

0

9000

8 9

1 9

1 ? 1000 . 9 1 1 ? 900 , E?3 ? 9000 ? ? 818.18 . 同理得 E? 2 ? 9000 ? 10 11 综上有 E? ? E?1 ? E?2 ? E?3 ? 1000 ? 900 ? 818.18 ? 2718.18 (元) .

3

18、某城市出租汽车的起步价为 10 元,行驶路程不超出 4km,则按 10 元的标准收租车费 若 行驶路程超出 4km,则按每超出 lkm 加收 2 元计费(超出不足 1km 的部分按 lkm 计).从这个 城市的民航机场到某宾馆的路程为 15km.某司机 常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由 于行车路线的不同以及途中停车时 间要转换成行车路程(这个城市规定, 每停车 5 分钟按 lkm 路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ 是一个随机变量,他收旅客的租车费可也 是一个随机变量 (1)求租车费η 关于行车路程ξ 的关系式; (2)已知某旅客实付租车费 38 元,而出租汽车实际行驶了 15km,问出租车在途中因故停车 累计最多几分钟? 解:(1)依题意得η =2(ξ -4)+10,即η =2ξ +2 (2)由 38=2ξ +2,得 ξ =18,5×(18-15)=15. 所以,出租车在途中因故停车累计最多 15 分钟.
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

[来源:学

王新敞
奎屯

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Com]

19、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的两倍, 黄球个数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得 1 分,取出黄球 得 0 分,取出绿球得-1 分,试写出从该盒中取出一球所得分数 X 的分布列. 分析:欲写出 ξ 的分布列,要先求出 ξ 的所有取值,以及 ξ 取每一值时的概率. 解:设黄球的个数为 n ,由题意知 绿球个数为 2n ,红球个数为 4n ,盒中的总数为 7n .
[来源:学+科+网]

4n 4 n 1 2n 2 ? , P ( X ? 0) ? ? , P( X ? ?1) ? ? . 7n 7 7n 7 7n 7 所以从该盒中随机取出一球所得分数 X 的分布列为 1 0 -1 X 4 1 2 P 7 7 7 20、(2007 年重庆卷第 6 题) 从 5 张 100 元, 3 张 200 元, 2 张 300 元的奥运预赛门票中任 取 3 张,则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率


P( X ? 1) ?

3 解:从总数为 10 的门票中任取 3 张, 总的基本事件数是 C 10 =120, “至少有 2 张价格相同” 而

则包括了“恰有 2 张价格相同”和“恰有 3 张价格相同” ,即
2 2 1 2 1 3 3 C 5 +C 1 ?C3 ? C7 ? C2 ? C8 ? C5 ? C3 ? 90(种). 5

所以,所求概率为

90 3 ? . 120 4

21.(2007 年辽宁卷) 一个坛子里有编号为 1,2,?,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球,其余的是黑球. 若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号 码是偶数的概率为多少:解 P(A)=
2 2 C6 ? C3 2 C12

6 ? 5 3? 2 ? 2 ? 2. ? 2 12?11 11 2

22、一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为二,两次分裂为四,如此继续分裂有限多次, 而随机终止.设分裂 n 次终止的概率是 生成的子块数目,求 P( X ? 10) .

1 ( n =1,2,3,?).记 X 为原物体在分裂终止后所 2n

4

解:依题意,原物体在分裂终止后所生成的数目 X 的分布列为 .. . 2n 1 1 1 1 1 .. . . . . P 8 2 4 16 2n 1 1 1 7 P( X ? 10) ? P( X ? 2) ? P( X ? 4) ? P( X ? 8) ? ? ? ? . 2 4 8 8

X

2

4

8

16

.. .



23.(2010· 浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同 的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)设随机变量 X 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 X 的分布列. (1)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA,那么 P(EA)= 1 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 . 40 (2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E,那么 P(E)= A4 1 4 = . C2A4 10 5 4 A3 1 3 = . C2A4 40 5 4

9 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E )=1-P(E)= . 10 (3)随机变量 X 可能取的值为 1,2,事件“X=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务,则 P(X= C2A3 1 3 5 3 2)= 2 4= .所以 P(X=1)=1-P(X=2)= ,X 的分布列为: C5A4 4 4 X P 1 3 4 2 1 4

24、袋中有 4 个红球,3 个黑球,从袋中随机取球,设取到一个红球得 2 分,取到一个 黑球得 1 分,从袋中任取 4 个球。 1)求得分 X 的概率分布; 2)求得分大于 6 分的概率。 解析: (1)从袋中随机摸 4 个球的情况为:1 红 3 黑,2 红 2 黑,3 红 1 黑,4 红共四种,分 别得分为 5 分、6 分、7 分、8 分,故 X 的可能取值为 5、6、7、8.
1 3 2 C4C3 C4 C32 18 4 P( X ? 5) ? 4 ? , P( X ? 6) ? ? 4 C7 35 C7 35 3 1 C4 C3 12 C 4C 0 1 ? , P( X ? 8) ? 4 4 3 ? 4 C7 35 C7 35

P( X ? 7) ?
故所求 X 的概率分布列为 5 X

6

7

8

P

4 35

18 35

12 35

1 35

5

(2) P( X ? 6) ? P( X ? 7) ? P( X ? 8) ?

12 1 13 ? ? 35 35 35
1 ,用 ? 表示这 5 人在第 20 层下电梯的 3

25、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层可以停靠。若该电梯在底层载 有 5 人,且每人在这三层的每一层下电梯的概率为 人数,求随机变量 ? 的分布列。 解析: ? 的可能取值为 0、1、2、3、4、5.由等可能性事件的概率公式得
1 C5 24 80 C52 23 80 25 32 P(? ? 0) ? 5 ? ? , P(? ? 1) ? 5 ? , P(? ? 2) ? 3 243 3 243 35 243 3 C5 22 C4 2 1 1 40 10 ? , P(? ? 4) ? 5 5 ? , P(? ? 5) ? 5 ? 5 3 243 3 243 3 243

P(? ? 3) ?

从而 ? 的概率分布列如下

?
P

0

1

2

3

4

5

32 243

80 243

80 243

40 243

10 243

1 243

26.(2010·天津)某射手每次射击击中目标的概率是

2 ,且各次射击的结果互不影响. 3

(1)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (2)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标、另外 2 次未击中目标的概率; (3)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射 击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分,记ξ 为射手射击 3 次后的总的分数,求ξ 的分布列. 解:1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X~B(5,
2 2 次击中目标的概率为 P(X=2)=C 5 (

2 ) ,在 5 次射击中,恰有 3

1 40 2 )?(1)?= 3 3 243

2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 A i (i=1,2,3,4,5);“射手在 5 次射击中,有 3 次连 续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A,则 P(A)=P(A 1 A 2 A 3 A

A 5 )+P( A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 )+P( A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ) 1 1 1 1 8 2 2 2 =( )? ? ( )?+ ? ( )? ? +( )?( )?= 3 3 3 3 3 3 3 81 8 故有 3 次连续击中目标、另外 2 次未击中目标的概率为 81
4

(3)由题意可知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6.

1 ?1? P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27

3

2 ?1? 1 2 1 ?1? 2 2 P(? ? 1) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 ? 3? 3 3 3 ? 3? 3 9
6

2

2

P(? ? 2) ? P( A1 A2 A3 ) ?

2 1 2 4 ? ? ? , 3 3 3 27
2 2

8 ? 2? 1 1 ? 2? P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 27 ?3? 3 3 ?3?

8 ? 2? , P(? ? 6) ? P( A1 A2 A3 ) ? ? ? ? ? 3 ? 27
所以ξ 的分布列是 ξ P 0 1 2 3 6

3

1 27

2 9

4 27

8 27

8 27

27.下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:吨)的频率分布直方图. (1)求直方图中 x 的值; (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样),求月均用水量 在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列. 解:(1)依题意及频率分布直方图知, 0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得 x=0.12. (2)由题意知,X~B(3,0.1) 因此 P(X=0)=C0×0.93=0.729, 3 P(X=1)=C1×0.1×0.92=0.243, P(X=2)=C2×0.12×0.9=0.027, 3 3 P(X=3)=C3×0.13=0.001. 3 故随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.729 1 0.243 2 0.027 3 0.001

26.在研究色盲与性别的关系调查中,调查了男性 480 人,其中有 38 人患色盲,调查的 520 个女性中 6 人患色盲, (1)根据以上的数据建立一个 2*2 的列联表; (2)若认为“性别与患色盲有关系” ,则出错的概率会是多少 (1) 患色盲 男 女 总计 38 6 44 不患色盲 442 514 956 总计 480 520 1000

(2)假设 H : “性别与患色盲没有关系” 先算出 K 的观测值:

k?

1000 ? (38 ? 514 ? 442 ? 6)2 =27.14 则有 P( K 2 ? 10.808) ? 0.001 480 ? 520 ? 44 ? 956

即是 H 成立的概率不超过 0.001 , 若认为 “性别与患色盲有关系” 则出错的概率为 0.001 ,

7


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