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吉林省实验中学2014届高三下学期第五次模拟考试数学(文)试题 Word版


吉林省实验中学 2014 届高三下学期第五次模拟考试数学(文)试题
一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中。只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知 A、B 均为集合 U ? {1,3,5,7,9} 的子集,且 A∩ B ? {3} ,(?UB)∩ A ? {9} ,则 A 等于( A. {1,3} B. {3,7,9} C. {3,5,9} D. {3,9} )

2. 若 a,b∈R,i 是虚数单位,且 a+(b-1)i=1+i,则 A.第一象限 B.第二象限 3.以下判断正确的是

1 ? bi 对应的点在( ai

)

C.第三象限

D.第四象限

A.函数 y ? f ( x) 为 R 上的可导函数,则 f ?( x0 ) ? 0 是 x0 为函数 f ( x) 极值点的充要条件. B.命题“ 存在x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ 任意x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”.
2 2

C. 命题“在 ?ABC 中,若 A ? B, 则 sin A ? sin B ”的逆命题为假命题. D. “ b ? 0 ”是“函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 是偶函数”的充要条件.
2

?x ? 0 ? 4. 若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最小值是( ?2 x ? y ? 3 ?
A.-3 B.0 C.

)

3 2

D.3

5. 已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量 → → AB在CD方向上的投影为( 3 2 A. 2 3 15 B. 2 ) C. - 3 2 2 3 15 D.- 2 )

6. 公比为 3 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a16=( A.4 B. 5 C. 6 D.7

7. 正三角形 ABC 的边长为 2,将它沿高 AD 翻折,使点 B 与点 C 间的距离为 2 ,此时四面 体 ABCD 的外接球的表面积为( A. 6? B. ) C. 5? D.

15? 4
C.

13? 3

8. 执行如图所示的程序框图,若输入 n ? 8, 则输出的S ? A.

4 9

B.

6 7

8 9

D.

10 11

9.一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示, 则这个空间几何体的表面积是( )

A.

11? 2

B.

11? +6 3 2

C.11π D.

11? +3 3 2

10.对于使-x2+2x≤M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做-x2+2x 的“上 1 2 + 确界”,若 a,b∈R ,且 a+b=1,则- - 的“上确界”为 ( ) 2a b 9 1 9 A. B. C.- D.-4 2 4 2 11.已知点 A(2,0) ,抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其 准线相交于点 N,则|FM|:|MN|= A.2: 5 B.1:2 C. 1:
x

5

D. 1:3

12. 设函数 f ( x) 的零点为 x1 ,函数 g ( x) ? 4 ? 2 x ? 2 的零点为 x2 ,若 | x1 ? x2 |?

1 ,则 4

f ( x) 可以是(

)

A. f ( x ) ? 2 x ?

1 x B. f ( x) ? 1 ? 10 2

C. f ( x ) ? ? x 2 ? x ?

1 4

D. f ( x) ? ln(8 x ? 2)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分)。 13.某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试,从中抽出 60 名学生,将其成绩分成 六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后,画出如图所示的 频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:估计 这次考试的及格率(60 分及以上为及格)为________.

14.若在区间[-5,5]内任取一个实数 a,则使直线 x+y+a=0 与圆(x-1)2+(y+2)2=2 有公共点的概率为 ________. → → 15. 在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC=________. 16.设数列{an}满足 a1+2a2=3,点 Pn(n,an)对任意的 n∈N*,都有向量 Pn Pn ?1 =(1,2),则 数列{an}的前 n 项和 Sn 为 三 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 a= (sin x, ) ,b=(cos x,-1).

3 4

cos 2 x ? sin 2 x (1)当 a∥b 时,求 的值; cos 2 x

(2)设函数 f(x)=2(a+b)· b,求 f(x) 在[0,

7? ]上的取值范围. 24

18. (本小题满分 12 分) 如图, 四边形 ABCD 为正方形, QA⊥ 平面 ABCD, PD∥ QA, QA=AB=

1 PD. 2

(I)证明:PQ⊥ 平面 DCQ; (II)求棱锥 Q—ABCD 的的体积与棱锥 P—DCQ 的体积 的比值.

19. (本小题满分 12 分) 某品牌电视专卖店,在“五一”期间设计一项有奖促销活动:每购买一台电视,即可通过电 脑产生一组 3 个数的随机数组,根据下表兑奖: 随机数组的特征 奖金(单位:元) 3 个数字均相同
500

恰有 2 个数字相同
200

其余情况
0

商家为了了解计划的可行性,估计奖金数,进行了随机模拟试验,产生 20 组随机数组, 每组 3 个数,试验结果如下所示: 975,146,858,513,277,645,903,756,111,783, 834,527,060,089,221,368,054,669,863,175. (Ⅰ)请根据以上模拟数据估计:若活动期间商家卖出 100 台电视应付出奖金多少元? (Ⅱ)在以上模拟数据的前 5 组数中,随机抽取 2 组数,试写出所有的基本事件,并求 至少有一组获奖的概率.

20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知椭圆 M: 2 ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点为 F(-1,0),左右顶点分别为 A,B.经过点 F 的直线 a 3
l 与椭圆 M 交于 C,D 两点. (1)求椭圆方程; (2)当直线 l 的倾斜角为 45o 时,求线段 CD 的长; (3)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2,求|S1-S2|的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax+ln x,g(x)=ex. (1)求函数 f(x)在点(1,f(1))处且倾斜角为 (2)若不等式 g(x)<

x?m x

? 的切线方程; 3

有解,求实数 m 的取值范围;

(3)定义:对于函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域内的任意实数 x0,称|f(x0)-g(x0)|的 值为两函数在 x0 处的差值.证明:当 a=0 时,函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域 内的所有差值都大于 2. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时 请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,D、E 分别为△ABC 边 AB、AC 的中点,直线 DE 交 △ABC 的外接圆于 F、G 两点,若 CF∥AB. 证明:(1)CD=BC; (2)△BCD∽△GDB. 23.(本小题共 10 分)选修 4—4 坐标系与参数方程:

? x ? a cos ? 。在以 O 为原 (1 ? a ? 6, ? 为参数) ? y ? sin ? 点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 6 cos ? ,射线为 l 为 ? ? ? , l 与 C1 的交点为 A , l 与 C2 除极点外的一个交点为 B . 当 ? ? 0 时, | AB |? 4 .
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 为 ? (1)求 C1 , C2 的直角坐标方程; (2)若过点P(1,0) 且斜率为 3 的直线m与曲线 C1 交于D、E两点,求|PD|与|PE| 差的绝对值. 24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | . (Ⅰ )若 f ( x) ? m 的解集为 {x | ?1 ? x ? 5} ,求实数 a, m 的值. (Ⅱ )当 a ? 2 且 t ? 0 时,解关于 x 的不等式 f ( x ) ? t ? f ( x ? 2) .

考答案
一、选择题:DDDA 二、填空题: 13.75% ABCA 14. 2 5 DCCB 15. 3 4 16. n(n- ) 3

三 解答题: 17.(本小题满分 12 分) 解 ∴ 3 3 (1)∵a∥b,∴ cos x+sin x=0,∴tan x=- .??????????????2 分 4 4

cos 2 x ? sin 2 x cos 2 x ? sin 2 x 1 ? 2 tan x 40 ? ? ??????????4 分 ? cos 2 x cos 2 x ? sin 2 x 1 ? tan 2 x 7 1 (2)f(x)=2(a+b)· b= 2 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? ??????????????6 分 2 π 3 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2sin? ?2x+4?+2,?????????????8 分 2 π 7? 1 π π 5? 2x+ ?≤1?????10 分 ∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ]. ∴ ≤sin? 4? ? 4 4 6 2 24 3 2 ?3 ∴ ≤f(x)≤ 2+ .??????????????????????12 分 2 2

18.解: (I)由条件知 PDAQ 为直角梯形 因为 QA⊥ 平面 ABCD,QA ? 平面 PDAQ 所以平面 PDAQ⊥ 平面 ABCD,????? 2 分 因为平面 PDAQ∩ 平面 ABCD=AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥ AD, 所以 DC⊥ 平面 PDAQ,????? 4 分 可得 PQ⊥ DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 又 DC∩ QD=D 所以 PQ⊥ 平面 DCQ. (II)设 AB=a.

2 PD,则 PQ⊥ QD 2
????????????? 6 分

由题设知 AQ 为棱锥 Q—ABCD 的高,所以棱锥 Q—ABCD 的体积 V1 ? 由(I)知 PQ 为棱锥 P—DCQ 的高,而 PQ= 2a ,

1 3 a . ??? 8 分 3

2 2 a ,?????????????????????10 分 2 1 所以棱锥 P—DCQ 的体积为 V2 ? a 3 . ?????????????????11 分 3
△ DCQ 的面积为
故棱锥 Q—ABCD 的体积与棱锥 P—DCQ 的体积的比值为 1????????12 分 19. (本小题满分 12 分)

20.(本小题满分 12 分) 解 (1) 因为 F ( ?1,0) 为椭圆的焦点,所以 c 分 (2) 因为直线的倾斜角为 45 ,所以直线方程为 y ? x ? 1
?

? 1 ,又 b 2 ? 3 ,所以 a 2 ? 3 ,

x2 y2 ? ? 1 ?3 4 3

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 由? 消去 y,得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 ? y ? x ?1
所以 ? ? 288 ,设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? 所以 | CD |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |?

8 7

8 7

24 ??????????????????7 分 7

21(本小题满分 12 分) (1)解 1 f(x)的定义域是(0,+∞), f′(x)=a+ (x>0),?????????????1 分 x

k ? f ?(1) ? a ? 1 ? 3

? a ? 3 ? 1 ????????????2 分

f (1) ? 3 ? 1
切线为 y ?

????????????3 分

(2)解 由题意:e <

3 x ? 1 ????????????4 分 x x?m x

x

有解, 即 e x<x+m 有解,

因此只需 m> ex x-x,x∈(0,+∞)有解即可.???????????? ??5 分 ex 1 设 h(x)=ex x-x, h′(x)=ex x+ -1=ex( x+ )-1,?????6 分 2 x 2 x 1 1 因为 x+ ≥2 = 2>1,且 x∈(0,+∞)时 ex>1, 2 2 x 1 所以 ex( x+ )-1>0,即 h′(x) >0, 故 h(x)在(0,+∞)上单调增函数,????7 分 2 x ∴h(x)>h(0)=0,故 m>0. ?????????????????????????8 分 (3)证明 当 a=0 时,f(x)=ln x,f(x)与 g(x)的公共定义域为(0,+∞), |f(x)-g(x)|=|ln x-ex|=ex-ln x=ex-x-(ln x-x),?????????????9 分 设 m(x)=ex-x,x∈(0,+∞). 因为 m′(x)=ex-1>0,m(x)在(0,+∞)上单调递增,m(x)>m(0)=1,?????10 分 1 又设 n(x)=ln x-x,x∈(0,+∞), n′(x)= -1, x 当 x∈(0,1)时,n′(x)>0,n(x)单调递增, 当 x∈(1,+∞)时,n′(x)<0,n(x)单调递减, 所以 x=1 为 n(x)的极大值点,即 n(x)≤n(1)=-1,?????????????11 分

故|f(x)-g(x)|=m(x)-n(x)>1-(-1)=2. 即公共定义域内任一点差值都大于 2. ?????????????????12 分 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (1) CF / / AB , DF / / BC ? CF / /BD / / AD ? CD ? BF

CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD …………5 分 BC / / GF ? ?GDE ? ?BGD ? ?DBC ? ?BDC ?
△BCD∽△GDB.??10 分

23.(本小题共 10 分)选修 4—4 坐标系与参数方程:
2 (1)由 ? ? 6 cos ? 得 ? ? 6 ? cos ? ,

所以 C2 的直角坐标方程是 x ? y ? 6 x ? 0 ??????????????2分
2 2

x2 ? y 2 ? 1 ???????????????3 分 2 a 当 ? ? 0 时射线与曲线 C1 , C2 交点的直角坐标为 ? a, 0 ? , ? 6, 0 ? ???????4 分
由已知得 C1 的直角坐标方程是

x2 AB ? 4,? a ? 2 ?????5分 ? C1 的直角坐标方程是 ? y 2 ? 1 .① 4 1 ? x ?1? t ? 2 ? (t 为参数)② (2)m 的参数方程为 ? ??????????????7 分 ?y ? 3 ? 2 ? 2 将② 带入① 得 13t ? 4t ? 12 ? 0 ,设 D, E 点的参数是 t1,t2 ,又△>0 则
4 12 , t1t 2 ? ? ? 0 ?????????????????????9 分 13 13 4 ?????????????????????10分 ?|| PD | ? | PE ||?| t1 ? t 2 |? 13 t1 ? t 2 ? ?
24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ )由|x-a|≤m 得 a-m≤x≤a+m, 所以 ?

?a ? m ? ?1 ?a ? 2 解之得 ? 为所求.????????????4分 ?a ? m ? 5 ?m ? 3

(Ⅱ )当 a=2 时,f(x)=|x-2|, 所以 f(x)+t ≥f(x+t) 即|x|-|x-2|≤t,

?2, x ? 2 ? 令 h( x) ?| x | ? | x ? 2 |? ?2 x ? 2,0 ? x ? 2 ????????????6 分 ?? 2, x ? 0 ?
所以,当 t ? 2 时,不等式① 恒成立,解集为 R;????????????8 分 当 0 ? t ? 2 时,解集为 {x | x ?

t ? 1} ????????????10 分 2


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