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向量


平面向量基本定理 A级 (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 合肥二模)设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b=( A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) ). 满分:60 分)

解析 依题意得 a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3). 答案 A 2.已知平面向

量 a=(x,1),b=(-x,x2),则向量 a+b( A.平行于 x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 解析 由题意得 a+b=(x-x,1+x2)=(0,1+x2),易知 a+b 平行于 y 轴. 答案 C 3.(2011· 宁波十校联考)已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a +3b=( ). B.(-3,-6) ).

A.(-2,-4)

C.(-4,-8) D.(-5,-10) 解析 由 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,得 1×m=2×(-2)?m=-4,从而 b=(-2,-4),那么 2a+3b=2×(1,2)+3×(-2,-4)=(-4,-8). 答案 C → → 4.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD, 则顶点 D 的坐标为( 7? ? A.?2,2? ? ? C.(3,2) ).

1? ? B.?2,-2? ? ? D.(1,3)

→ → 解析 设 D(x,y),AD=(x,y-2),BC=(4,3), x=2, ? → → ? ?4=2x, 又BC=2AD,∴? ∴? 7 y= . ?3=2?y-2?, ? ? 2 答案 A 5.(2011· 广东)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb)∥c, 则 λ=( 1 A.4 1 B.2 ). C.1 D.2

故选 A.

解析 ∵a+λb=(1+λ,2),c=(3,4)且(a+λb)∥c, 1+λ 2 1 ∴ 3 =4,∴λ=2. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 北京)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3),若 a-2b 与 c 共线,则 k=________. 解析 a-2b=( 3,3),∴3k-3=0,∴k=1. 答案 1 1 1 7.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则a+b的值为________. → → 解析 AB=(a-2,-2),AC=(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0, 1 1 1 即 ab-2a-2b=0,所以a+b=2. 1 答案 2 8.(2011· 湖南)设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________. 解析 设 a=λb(λ<0),则|a|=|λ||b|, |a| ∴|λ|=|b|, 又|b|= 5,|a|=2 5.

∴|λ|=2,∴λ=-2. ∴a=λb=-2(2,1)=(-4,-2). 答案 (-4,-2) 三、解答题(共 23 分) → → → → 1 1 9.(11 分)已知点 A(-1,2),B(2,8)以及AC=3AB,DA=-3BA,求点 C,D 的坐 → 标和CD的坐标. 解 设点 C,D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), → → 由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6), → → DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6). → → → → 1 1 因为AC=3AB,DA=-3BA,所以有 ?x1+1=1, ?-1-x2=1, ? 和? ?y1-2=2, ?2-y2=2. ?x1=0, ?x2=-2, 解得? 和? ?y1=4, ?y2=0. → 所以点 C,D 的坐标分别是(0,4)、(-2,0),从而CD=(-2,-4). 10.(12 分)已知向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k. 解 (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 5 m=9, ? ? - m + 4 n = 3 , ? 所以? 得? 8 ?2m+n=2, ?n=9. ? (2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a),

16 ∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,∴k=-13. B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) → → 1 1.已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y=2ax 与线段 AB 交于 C,且AC=2 CB,则实数 a 等于( ). 4 5 D. 5 3 满分:40 分)

A.2 B.1 C.

→ → 解析 设 C(x,y),则AC=(x-7,y-1),CB=(1-x,4-y), → → ?x-7=2?1-x?, ?x=3, ∵AC=2CB,∴? 解得? ?y-1=2?4-y?, ?y=3. 1 ∴C(3,3).又∵C 在直线 y=2ax 上, 1 ∴3=2a· 3,∴a=2. 答案 A m ? ? 2.(2012· 绍兴模拟)设两个向量 a=(λ+2,λ2-cos2 α)和 b=?m, 2 +sin α?,其中 ? ? λ λ,m,α 为实数.若 a=2b,则m的取值范围是( A.[-6,1] B.[4,8] D.[-1,6] ).

C.(-∞,1]

?λ+2=2m, 解析 由 a=2b, ,得? 2 2 ?λ -cos α=m+2sin α. 由 λ2-m=cos2α+2sin α=2-(sin α-1)2,得 -2≤λ2-m≤2,又 λ=2m-2,
2 ?4m -9m+2≤0, 则-2≤4(m-1) -m≤2,∴? 2 ?4m -9m+6≥0. 2

1 λ 2m-2 2 解得4≤m≤2,而m= m =2-m,

λ 故-6≤m≤1,即选 A. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.设 e1,e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示为另一组基向量 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b. 解析 由题意,设 e1+e2=ma+nb. 又因为 a=e1+2e2, b=-e1+e2, 所以 e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1 +(2m+n)e2. ?m-n=1, 由平面向量基本定理,得? ?2m+n=1, 2 答案 3 1 -3 2 ? ?m=3, 所以? 1 ?n=-3. ?

4.(2011· 海南质检)在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD ∥BC.已知点 A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则 D 点的坐标为________. 解析 由条件中的四边形 ABCD 的对边分别平行,可以判断该四边形 ABCD 是 → → 平行四边形.设 D(x,y),则有AB=DC,即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),解得 (x,y)=(0,-2). 答案 (0,-2) 三、解答题(共 22 分) → → → 5.(10 分)已知向量OA=(3,4),OB=(6,-3),O C =(5-m,-3-m).若点 A, B,C 能构成三角形,求实数 m 满足的条件. → → → 解 ∵AB=OB-OA=(3,-7), → → → AC=OC-OA=(2-m,-7-m), → → 又 A,B,C 能构成三角形,故点 A,B,C 不共线,即AB,AC不共线, ∴3×(-7-m)-(-7)×(2-m)≠0,

7 7 得 m≠-10,故 m 应满足 m≠-10. → → → 6.(12 分)已知 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,求 (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明 理由. → → → 2 解 (1)OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).若 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,∴t=-3; ?1+3t<0, 1 若 P 在 y 轴上,只需 1+3t=0,∴t=-3;若 P 在第二象限,则? ?2+3t>0. 2 1 ∴-3<t<-3. → → → → (2)因为OA=(1,2),PB=(3-3t,3-3t).若 OABP 为平行四边形,则OA=PB,∵ ?3-3t=1, ? 无解.所以,四边形 OABP 不能成为平行四边形. ?3-3t=2


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