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2016-2017学年高中数学 第一章 空间几何体 1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征课时作业


课时作业 1

棱柱、棱锥、棱台的结构特征
——基础巩固类——

1.四棱柱有几条侧棱,几个顶点( A.四条侧棱、四个顶点 C.四条侧棱、八个顶点

) B.八条侧棱、四个顶点 D.六条侧棱、八个顶点

解析:四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得). 答案:C 2.下列说法中,

正确的是( )

A.有一个底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几 何体是棱锥 B.用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C.棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形 D.棱台的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形 答案:A 3.观察如图所示的四个几何体,其中判断不正确的是( )

A.①是棱柱 C.③不是棱锥

B.②不是棱锥 D.④是棱台

1

解析:结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥, 故 B 错误. 答案:B 4. 如图所示, 在三棱台 A′B′C′-ABC 中, 截去三棱锥 A′-ABC, 则剩余部分是( )

A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体 解析:余下部分是四棱锥 A′-BCC′B′. 答案:B 5.下列说法错误的是( A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有 9 条侧棱,9 个侧面,侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 解析: 多面体至少应有四个顶点组成(否则至多 3 个顶点, 而 3 个顶点只围成一个平面图 形),而四个顶点围成四个面,所以 A 正确;棱柱侧面为平行四边形,其侧棱和侧面的个数与 底面多边形的边数相等,所以 B 正确;长方体、正方体都是棱柱,所以 C 正确;三棱柱的侧 面是平行四边形,不是三角形,所以 D 错误,故选 D. 答案:D 6.如图,正方形 ABCD 中,E,F 分别为 CD,BC 的中点,沿 AE,AF,EF 将其折成一个多 面体,则此多面体是________. )

2

解析:此多面体由四个面构成,故为三棱锥,也叫四面体. 答案:三棱锥(也可答四面体) 7.下列说法正确的有________. ①棱柱的侧面都是平行四边形; ②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共点; ③棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯形; ④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点; ⑤多面体至少有四个面. 解析:棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体,因而侧面是平行四边 形,故①对.棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体,因而其侧面均是三角 形,且所有侧面都有一个公共点,故②对.棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后,截面与 底面之间的部分,因而其侧面均是梯形,且所有的侧棱延长后均相交于一点 (即原棱锥的顶 点),故③错④对.⑤显然对.因而正确的有①②④⑤. 答案:①②④⑤ 8.如图,在边长为 2a 的正方形 ABCD 中,E,F 分别为 AB,BC 的中点,沿图中虚线将 3 个三角形折起,使点 A、B、C 重合,重合后记为点 P.

问:(1)折起后形成的几何体是什么几何体? (2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点? (3)每个面的三角形面积为多少?
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解:(1)如图,折起后的几何体是三棱锥.

(2)这个几何体共有 4 个面,其中△DEF 为等腰三角形,△PEF 为等腰直角三角形,△DPE 和△DPF 均为直角三角形. 1 2 (3)S△PEF= a , 2 1 2 S△DPF=S△DPE= ×2a×a=a , 2 S△DEF=S 正方形 ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE 1 2 3 2 2 2 2 =(2a) - a -a -a = a . 2 2 9.如图,在三棱锥 V-ABC 中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点 A 作截面△AEF,求△AEF 周长的最小值.

解:将三棱锥沿侧棱 VA 剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段 AA1 的长 为所求△AEF 周长的最小值.

4

∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°. 又 VA=VA1=4,∴AA1=4 2. ∴△AEF 周长的最小值为 4 2. ——能力提升类—— 10.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图),则这个正方体礼品盒的表 面展开图应该为( )

解析:两个

不能并列相邻,B、D 错误;两个

不能并列相邻,C 错误,故选 A.也可

通过实物制作检验来判定. 答案:A 11. 在正五棱柱中, 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个正五棱柱对角线的条数共有( A.20 C.12 ) B.15 D.10

解析:正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面,每个平面可得到正五棱柱的两 条对角线,5 个平面共可得到 10 条对角线,故选 D. 答案:D

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12.长方体的三个面的面积分别为 12,6,8,则长方体的体对角线长为________. ab=12, ? ? 解析:设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,则?bc=6, ? ?ac=8, ∴abc=24.分别除以 bc,ac,ab,得 a=4,b=3,c=2. ∴体对角线长为 4 +3 +2 = 29. 答案: 29 13.给出两块正三角形纸片(如图所示),要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的 三棱锥模型,另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型,请设计一种剪拼方案,分别 用虚线标示在图中,并作简要说明.
2 2 2

解: 如图(1)所示, 沿正三角形三边中点连线折起, 可拼得一个底面为正三角形的三棱锥.

如图(2)所示, 正三角形三个角上剪出三个相同的四边形, 其较长的一组邻边边长为三角 1 形边长的 ,有一组对角为直角,余下部分按虚线折成,可成为一个缺上底的底面为正三角形 4 的三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.

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