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5.3.2平面向量基本定理


教学相长
课题

教研共进
课 一、自主探究

高 中 数 学 教
时 1 课时 课 型 新授课 师 生 活 动


授课时间 及 主 要 语 言 授 课 人

杨克军

5.3.2 平面向量基本定理

王新敞
奎屯 新疆

学 目



1 了解平面向量基本定 理; 2 掌握平面里的任何一 个向量都可以用两个不共线 的向量来表示,理解这是应 用向量解决实际问题的重要 思想方法; 3 能够在具体问题中适 当地选取基底,使其他向量 都能够用基底来表达。
王新敞
奎屯 新疆

? ? 问题 1:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是什么?(有且只有一个非零实 A.不共线

数λ ,使 b =λ a )

问题 5:已知矢量 a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c=6e1-2e2 的关系 B.共线? C.相等 D.无法确定

?

?

问题 6:已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于?? A.3 ? B. -3 C .0 ? D. 2 ,μ = .



问题 2:平面向量基本定理是什么?

如果 e1 , e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一 问题 7:若 a、b 不共线,且λ a+μ b=0(λ ,μ ∈R)则λ =

王新敞
奎屯

新疆



向量 a ,有且只有一对实数λ 1,λ 2 使 a =λ 1 e1 +λ 2 e 2

?

?

问题 8:已知 a、b 不共线,且 c=λ 1a+λ 2b(λ 1,λ 2∈R),若 c 与 b 共线,则λ 1= 问题 9:已知λ 1>0,λ 2>0,e1、e2 是一组基底,且 a=λ 1e1+λ 2e2,则 a 与 e1_____, a 与 e2_________(填共线或不共线) 参考答案:1.D 2.B 3.A 4. 0 0 5. 0 学点二、将平面中的向量用基底表示 6.不共线 不共线?


教学重点:平面内任一向量 都可以用两个不共线非零向 量表示。 教学难点:平面向量基本定 理的理解。

问题 3 基底是什么?基底是唯一的吗? (1)把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不惟一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式惟一。λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e 2 唯一确定的数量。

问题 10:平行四边形 ABCD 中, AB =a, AD =

?

b,H、M 是 AD、DC 之中点,F 使 BF= BC,
以a、b为基底分解向量 AM 与 HF 学点三、利用唯一性求向量系数的值 问题 11: 已知两向量 e1、 2 不共线,a=2e1+e2,b=3e1-2λ e2,若 a 与 b 共线,求实数λ . e 四、互动评价 五、教师小结、学生自我总结

1 3

二、学点互动突破(合作探究 交流展示)
学点一、正确理解平面向量基本定理 问题 4:设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有? A.e1、e2 一定平行?

B 。e1、e2 的模相等?

C.同一平面内的任一向量 a 都有 a=λ e1+μ e2(λ 、μ ∈R)? D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a=λ e1+ue2(λ 、u∈R) 注意图形语言的应用: 用向量法解平面几何问 题,实质上是将平面几 何问题的代数化处理, 在解题中应注意进行向 量语言与图形语言的互 译. 平面向量基本定理,其实质:同一平面

六、巩固作业:5. 3.2 高效课时作业

课 后 反 思

平面向量基本定理体现了数学化归思想,在几何题目中可以将条件和结论化归成一组向量的线性组合形式,方便解 决问题.另外,还为向量的坐标表示提供了理论依据.

学 法 指 导

规 律 方 法 提 炼

内任一向量都可以表示为两个不共线 向量的线性组合.

没有思路就没有出路——杨克军


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