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2015.4高三文科一模试题答案1


海淀区高三年级第二学期期中练习

数学(文)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)A (5)C (2)C (6)B (3)D (7)D

2015.4

(4)B (8)D

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一

空 2 分,第二空 3 分) (9) 1 (12) y ? x (10)0 (13) [0,1] (11)12;-54 (14)100110;4

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 an?1 ? 2an (n ? N*) , 所以 S2 ? a1 ? a2 ? a1 ? 2a1 ? 3a1 . 因为 a2 是 S2 与 1 的等差中项, 所以 2a2 ? S2 ? 1 , 所以 a1 ? 1 . 所以 {an } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. 所以 an ? 1? 2n?1 ? 2n?1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可得: ………………6 分 即 2 ? 2a1 ? 3a1 ? 1 . ………………3 分 ………………1 分

1 1 ? ( )n?1 . an 2

所以

1 ?1, a1

1 1 1 ? ? (n ? N*) . an ?1 2 an
………………9 分

所以 {

1 1 } 是以 1 为首项, 为公比的等比数列. 2 an

1 1? n 1 2 ? 2(1 ? 1 ) . 所以 数列 { } 的前 n 项和 Tn ? 1 an 2n 1? 2 1 因为 n ? 0 , 2
高三数学(文)试题答案 第 1 页 共 9 页

………………11 分

1 )?2. 2n 2 ) 时, Tn ? b . 若 b ? 2 ,当 n ? log 2 ( 2?b
所以 Tn ? 2(1 ? 所以 若对 ?n ? N * , Tn ? ? 恒成立,则 ? ? 2 . 所以 实数 ? 的最小值为 2. ………………13 分

(16) (共 13 分) 解:(Ⅰ) a ? 0.015 ; ………………2 分

………………6 分
2 2 (Ⅱ)s1 . ? s2

………………9 分

(Ⅲ)乙种酸奶平均日销售量为:

x ? 5 ? 0.20 ? 15 ? 0.10 ? 25 ? 0.30 ? 35 ? 0.15 ? 45 ? 0.25 ? 26.5(箱). ………………11 分
乙种酸奶未来一个月的销售总量为: 26.5 ? 30 ? 795 (箱). ………………13 分

(17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)方法一:因为 sin A ? sin B sin C, 且
2

a b c ? ? , sin A sin B sin C
………………2 分

所以 a ? bc .
2

又因为 a ? b ? c ? 2bc cos A,
2 2 2

?A ?

π , 3

………………4 分

所以 a ? b ? c ? 2bc ?
2 2 2

1 ? b 2 ? c 2 ? bc . 2
第 2 页 共 9 页

高三数学(文)试题答案

所以 (b ? c) ? 0 .
2

所以 b ? c . 因为 ?A ?

………………6 分

π , 3

所以 ?ABC 为等边三角形. 所以 ?B ? 方法二:

π . 3

………………7 分

因为 A ? B ? C ? π , 所以 sin C ? sin( A ? B) . ………………1 分

因为 sin B sin C ? sin A , ?A ?
2

π , 3

所以 sin B sin(

π π ? B) ? sin 2 . 3 3
………………3 分

所以 sin B(

3 1 3 cos B ? sin B) ? . 2 2 4

所以

3 1 1 ? cos 2 B 3 sin 2 B ? ? ? . 4 2 2 4 3 1 sin 2 B ? cos 2 B ? 1 . 2 2

所以

所以 sin(2 B ? ) ? 1 . 因为 B ? (0, π) , 所以 2 B ?

π 6

………………5 分

π π 11 ? (? , π) . 6 6 6 π π π ? ,即 ?B ? . 6 2 3 a b c ? ? , sin A sin B sin C
………………7 分

所以 2 B ?

(Ⅱ)因为 sin A ? sin B sin C, bc ? 1 ,且
2

所以 a ? bc ? 1.
2

高三数学(文)试题答案

第 3 页 共 9 页

所以 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? 1 ? 2bc 2
2bc ? 1 1 ? (当且仅当 b ? c ? 1 时,等号成立). 2 2

………………9 分

?

………………11 分

因为 A ? (0, π) , 所以 A ? (0, ] .

π 3

所以 sin A ? (0,

3 ]. 2

所以 S?ABC ?

1 1 3 . bc sin A ? sin A ? 2 2 4 3 . 4
………………13 分

所以 当 ?ABC 是边长为 1 的等边三角形时,其面积取得最大值

(18) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)因为 四边形 ABE1 F 1 为矩形, 所以 BE1 ? AB . 因为 平面 ABCD ? 平面 ABE1 F 1 ,且平面 ABCD 平面 ABE1 F1 ? AB ,

BE1 ? 平面 ABE1 F1 ,
所以 BE1 ? 平面 ABCD . 因为 DC ? 平面 ABCD , 所以 BE1 ? DC . (Ⅱ)证明:因为 四边形 ABE1 F 1 为矩形, 所以 AM / / BE1 . 因为 AD / / BC , AD ………………5 分 ………………3 分

AM ? A , BC

BE1 ? B ,
………………7 分
第 4 页 共 9 页

所以 平面 ADM / / 平面 BCE1 .
高三数学(文)试题答案

因为 DM ? 平面 ADM , 所以 DM / / 平面 BCE1 . (Ⅲ)直线 CD 与 ME1 相交,理由如下: 取 BC 的中点 P , CE1 的中点 Q ,连接 AP , PQ , QM . 所以 PQ / / BE1 ,且 PQ ? ………………9 分 ………………10 分

1 BE1 . 2

M 为 AF1 的中点, 在矩形 ABE1F 1 中,
所以 AM / / BE1 ,且 AM ?

1 BE1 . 2

所以 PQ / / AM ,且 PQ ? AM . 所以 四边形 APQM 为平行四边形. 所以 MQ / / AP , MQ ? AP . 因为 四边形 ABCD 为梯形, P 为 BC 的中点, BC ? 2 AD , 所以 AD / / PC , AD ? PC . 所以 四边形 ADCP 为平行四边形. 所以 CD / / AP ,且 CD ? AP . 所以 CD / / MQ 且 CD ? MQ . 所以 CDMQ 是平行四边形. 所以 DM / / CQ ,即 DM / / CE1 . 因为 DM ? CE1 , 所以 四边形 DME1C 是以 DM , CE1 为底边的梯形. 所以 直线 CD 与 ME1 相交. ………………14 分 ………………12 分

(19) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 椭圆 M 过点 A(0, ?1) ,
高三数学(文)试题答案 第 5 页 共 9 页

所以 b ? 1 . 因为 e ?

………………1 分

c 3 2 ? , a ? b2 ? c 2 , a 2

所以 a ? 2 . 所以 椭圆 M 的方程为 (Ⅱ)方法一: 依题意得 k ? 0 . 因为 椭圆 M 上存在点 B, C 关于直线 y ? kx ? 1 对称, 所以 直线 BC 与直线 y ? kx ? 1 垂直,且线段 BC 的中点在直线 y ? kx ? 1 上. 设直线 BC 的方程为 y ? ?

x2 ? y 2 ? 1. 4

………………3 分

1 x ? t , B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) . k
………………5 分

1 ? ? y ? ? x ? t, k 由? 得 (k 2 ? 4) x2 ? 8ktx ? 4k 2t 2 ? 4k 2 ? 0 . ? x2 ? 4 y 2 ? 4 ?
由 ? ? 64k 2t 2 ? 4(k 2 ? 4)(4k 2t 2 ? 4k 2 ) ? 16k 2 (4 ? k 2t 2 ? k 2 ) ? 0 , 得 k 2t 2 ? k 2 ? 4 ? 0 .(*) 因为 x1 ? x2 ?

8kt , k2 ? 4

………………7 分

4kt k 2t 所以 BC 的中点坐标为 ( 2 , ). k ? 4 k2 ? 4
又线段 BC 的中点在直线 y ? kx ? 1 上,

所以

k 2t 4kt ?k 2 ?1 . 2 k ?4 k ?4

所以

3k 2t ?1. k2 ? 4

………………9 分

代入(*) ,得 k ? ?

2 2. 或k ? 2 2
2 2 ,或k ? }. 2 2
………………11 分

所以 S ? {k | k ? ?

因为

k 2t 1 ? , 2 k ?4 3
高三数学(文)试题答案 第 6 页 共 9 页

所以 对于 ?k ? S ,线段 BC 中点的纵坐标恒为

1 1 ,即线段 BC 的中点总在直线 y ? 上. 3 3
………………13 分

方法二: 因为 点 A(0, ?1) 在直线 y ? kx ? 1 上,且 B, C 关于直线 y ? kx ? 1 对称, 所以 AB ? AC ,且 k ? 0 . 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ( y1 ? y2 ) , BC 的中点为 ( x0 , y0 )( x0 ? 0) .
2 2 2 2 则 x1 ? ( y1 ? 1) ? x2 ? ( y2 ? 1) .

………………6 分

又 B, C 在椭圆 M 上,
2 2 2 2 所以 x1 ? 4 ? 4 y1 , x2 ? 4 ? 4 y2 . 2 2 2 2 所以 4 ? 4 y1 ? ( y1 ? 1) ? 4 ? 4 y2 ? ( y2 ? 1) .

化简,得 3( y1 ? y2 ) ? 2( y1 ? y2 ) .
2 2

所以 y0 ?

y1 ? y2 1 ? . 2 3

………………9 分

又因为 BC 的中点在直线 y ? kx ? 1 上, 所以 y0 ? kx0 ?1 . 所以 x0 ?

4 . 3k

? x2 ? y 2 ? 1, ? ?4 4 2 . 由? 可得 x ? ? 1 3 ?y ? ? 3 ?
所以 0 ?

2 4 4 2 4 2 4 2 . ,或 ? ,或 k ? ? ? ? 0 ,即 k ? ? 2 3k 3 3 3k 2

所以 S ? {k | k ? ?

2 2 ,或k ? }. 2 2

………………12 分

所以 对于 ?k ? S ,线段 BC 中点的纵坐标恒为

1 1 ,即线段 BC 的中点总在直线 y ? 上. 3 3
………………13 分

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ) f '( x ) ?

a 1 ax ? 1 ? ? 2 ( x ? 0) . x x2 x
高三数学(文)试题答案 第 7 页 共 9 页

………………1 分

当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,则函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ??) . 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ?

………………2 分

1 . a

当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下:

x
f '( x)
f ( x)

1 (0, ) a

1 a
0
极小值

1 ( , ??) a

?


?


所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ) , 单调递增区间是 ( , ??) . ………………4 分 (Ⅱ)因为 存在两条直线 y ? ax ? b1 , y ? ax ? b2 (b1 ? b2 ) 都是曲线 y ? f ( x) 的切线, 所以 f '( x) ? a 至少有两个不等的正实根. 令 ………………5 分

1 a

1 a

ax ? 1 ? a 得 ax2 ? ax ? 1 ? 0 ,记其两个实根分别为 x1 , x2 . x2
………………7 分

?? ? a 2 ? 4a ? 0, ? 则 ? 解得 a ? 4 . 1 x x ? ? 0. ? 1 2 a ?

当 a ? 4 时 , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( x1 , f (1 处( 的 ) 切 x ))x , ( f ,2 x )线 分 别 为 2

y ? ax ? f ( x1 ) ? ax1 , y ? ax ? f ( x2 ) ? ax2 .
令 F ( x) ? f ( x) ? ax( x ? 0) . 由 F '( x) ? f '( x) ? a ? 0 得 x ? x1 , x ? x2 ( 不 妨 设 x1 ? x2 ) , 且 当 x1 ? x ? x2 时 ,

F ' (x )? 0 ,即 F ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上是单调函数.
所以 F ( x1 ) ? F ( x2 ) . 所以 y ? ax ? f ( x1 ) ? ax1 , y ? ax ? f ( x2 ) ? ax2 是曲线 y ? f ( x) 的两条不同的切线. 所以 实数 a 的取值范围为 (4, ??) . (Ⅲ)当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 是 (0, ??) 内的减函数. 因为 f (e
? 1 a

………………9 分

) ? a ln(e ) ?

?

1 a

1 e
? 1 a

? ?1 ?

1 e
? 1 a

? e ?1 ? 0 ,

1 a

高三数学(文)试题答案

第 8 页 共 9 页

而e

?

1 a

? (0,1) ,不符合题意.
1 a

………………11 分

当 a ? 0 时,由(Ⅰ)知: f ( x ) 的最小值是 f ( ) ? ? a ln a ? a ? a ? ?1 ? ln a ? . (ⅰ)若 f ( ) ? 0 ,即 0 ? a ? e 时, {x | f ( x) ? 0} ? ? ? (0,1) , 所以, 0 ? a ? e 符合题意. (ⅱ)若 f ( ) ? 0 ,即 a ? e 时, {x | f ( x) ? 0} ? { } ? (0,1) . 所以, a ? e 符合题意. (ⅲ)若 f ( ) ? 0 ,即 a ? e 时,有 0 ?

1 a 1 a

1 e

1 a

1 ? 1. a

因为 f (1) ? 1 ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( , ??) 内是增函数, 所以 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 . 又因为 函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , 所以

1 a

?x

f ( x) ? 0? ? (0,1) .

所以 a ? e 符合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围为 {a | a ? 0} . ……………… 14 分

高三数学(文)试题答案

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