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河南省周口市商水县2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


2014-2015 学年河南省周口市商水县高一(上)期中数学试卷
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)全集为实数集 R,M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x<1},则(?RM)∩N=() A.{x|x<﹣2} B.{x|﹣2<x<1} C.{x|x<1} D.{x|﹣2≤x<1} 2. (5 分)已知 a=log20.3,b=2 ,c=0.3

,则 a,b,c 三者的大小关系是() A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a
0.3 0.2

3. (5 分)设函数 f(x)=

,则 f(f(3) )=()

A.

B. 3

C.

D.

4. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,下列四组函数中表示相等函数的是() A.y=logax 与 y=(logxa) 2x C. y=2x 与 y=logaa
﹣1

B. y=alogax 与 y=x 2 D.y=logax 与 y=2logax

5. (5 分)下列函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函数的是() 2 x A.y=x B.y=x C.y=2 6. (5 分)f(x)=x ﹣3x﹣3 有零点的区间是() A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) 7. (5 分)函数 y=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是()
x 3

D.y=﹣x

2

D.(2,3)

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)给出以下结论: ①f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|是奇函数; 数也不是偶函数; ③F(x)=f(x)f(﹣x) (x∈R)是偶函数; 其中正确的有()个. ④ 是奇函数. ② 既不是奇函

A.1 个

B. 2 个
2

C. 3 个

D.4 个

9. (5 分)若函数 f(x)=|4x﹣x |+a 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣4,0] B.(﹣4,0) C.[0,4] D.(0,4) 10. (5 分)若函数 () A.(0,1) 在区间(﹣∞,1]上为减函数,则 a 的取值范围是

B.[2,+∞)

C.[2,3)

D.(1,3) ,且在(0,+∞)上单调递减,则

11. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,满足 xf(x)>0 的解集为() A. C. B. D.

12. (5 分)若定义在区间[﹣2014,2014]上的函数,f(x)满足:对于任意的 x1,x2∈[﹣2014, 2014],都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2012,且 x>0 时,有 f(x)>2012,若 f(x)的 最大值、最小值分别为 M,N,则 M+N 的值为() A.4024 B.2013 C.2012 D.4026

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 f(x)= +lg(2x+1)的定义域是.

14. (5 分)用二分法求 f(x)=0 的近似解,已知 f(1)=﹣2,f(3)=0.625,f(2)=﹣0.984, 若要求下一个 f(m) ,则 m=. 15. (5 分)若函数 f(x)=(x+a) (bx+2a) (常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(﹣∞, 4],则该函数的解析式 f(x)=. 16. (5 分)已知 f(x)=x﹣ ,若对于任意的 x1,x2∈[2,3],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤a 成立, 则 a 的取值范围是.

三.解答题(共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分) (1)log2.56.25+lg +ln +2 ;

(2) (

×

) +(

6



﹣4(





×8

0.25

+(﹣2014) .

0

18. (12 分)已知 A={x|a≤x≤2a+3},B={x|x +5x﹣6>0}. (Ⅰ)若 A∩B={x|1<x≤3},求 a 的值; (Ⅱ)若 A∪B=B,求 a 的取值范围. 19. (12 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的函数,对于任意的 x∈R,f(﹣x)+f(x)=0,且 当 x≥0 时,f(x)=2x﹣x . (1)求 y=f(x)的解析式; (2)画出函数 y=f(x)的图象,并指出 f(x)的单调区间及在每个区间上的增减性; (3)若函数 f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增,试确定 a 的取值范围.
2

2

20. (12 分)某地上年度电价为 0.8 元,年用电量为 1 亿千瓦时.本年度计划将电价调至 0.55 元~0.75 元之间,经测算,若电价调至 x 元,则本年度新增用电量 y(亿千瓦时)与(x﹣0.4) 元成反比例.又当 x=0.65 时,y=0.8. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)若每千瓦时电的成本价为 0.3 元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年 增加 20%?[收益=用电量×(实际电价﹣成本价)]. 21. (12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=a﹣ (a∈R)是奇函数.

(1)求 a 的值; (2)判断函数 f(x)在 R 上的单调性,并证明你的结论; (3)求函数 f(x)的值域. 22. (12 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx+4,集合 A={x|f(x)=x}. (1)若 A={1},求 f(x) ; (2)若 1∈A,且 1≤a≤2,设 f(x)在区间 (a)=M﹣m,求 g(a)的最小值. 上的最大值、最小值分别为 M、m,记 g
2

2014-2015 学年河南省周口市商水县高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)全集为实数集 R,M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x<1},则(?RM)∩N=() A.{x|x<﹣2} B.{x|﹣2<x<1} C.{x|x<1} D.{x|﹣2≤x<1} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由已知中全集为实数集 R,M={x|﹣2≤x≤2},我们可以确定 CRM,再根据 N={x|x< 1},结合集合交集的运算法则,可以求出(CRM)∩N 的值. 解答: 解:∵M={x|﹣2≤x≤2}, ∴CRM={x|x<﹣2,或 x>2}, 又∵N={x|x<1}, ∴(CRM)∩N={x|x<﹣2} 故选 A 点评: 本题考查的知识点是集合的交,并,补的混合运算,其中根据已知条件求出 CRM 是 解答本题的关键. 2. (5 分)已知 a=log20.3,b=2 ,c=0.3 ,则 a,b,c 三者的大小关系是() A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a 考点: 对数值大小的比较. 专题: 计算题. 分析: 由 a=log20.3<log21=0,b=2 >2 =1,0<c=0.3 <0.3 =1,知 b>c>a. 解答: 解:∵a=log20.3<log21=0, 0.3 0 b=2 >2 =1, 0.2 0 0<c=0.3 <0.3 =1, ∴b>c>a. 故选 C. 点评: 本题考查对数值和指数值大小的比较,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答, 注意函数函数和指数函数性质的应用.
0.3 0 0.2 0 0.3 0.2

3. (5 分)设函数 f(x)=

,则 f(f(3) )=()

A.

B. 3

C.

D.

考点: 函数的值.

专题: 计算题. 分析: 由条件求出 f(3)= ,结合函数解析式求出 f(f(3) )=f( )= +1,计算求得结 果.

解答: 解:函数 f(x)=

,则 f(3)= ,

∴f(f(3) )=f( )= +1=



故选 D. 点评: 本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法,体现了分类讨论的数学思想,求出 f (3)= ,是解题的关键,属于基础题.

4. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,下列四组函数中表示相等函数的是() A.y=logax 与 y=(logxa) 2x C. y=2x 与 y=logaa
﹣1

B. y=alogax 与 y=x 2 D.y=logax 与 y=2logax

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用函数的定义域是否相同,对应法则是否相同,即可判断是否是相同的函数. 解答: 解: 选项 A 中函数 y=logax 的定义域为 (0,+∞) ,函数 y=(logxa) 的定义域为(0, 1)∪(1,+∞) ,故 A 错; 选项 B 中函数 y=alogax 的定义域为(0,+∞) ,函数 y=x 的定义域为 R,故 B 错; 2x 选项 C 中的函数 y=logaa 可化为 y=2x,且定义域相同,故 C 正确; 2 选项 D 中函数 y=logax 定义域为{x|x≠0},函数 y=2logax 的定义域为(0,+∞) ,故 D 错. 所以正确答案为 C. 故选:C 点评: 本题考查函数的基本知识,两个函数相同的判断方法. 5. (5 分)下列函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函数的是() 2 x A.y=x B.y=x C.y=2
﹣1

D.y=﹣x

2

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据一次函数,二次函数,指数函数的图象和性质,逐一分析四个答案中四个函数 的奇偶性及在[0,+∞)上的单调性,可得答案. 解答: 解:函数 y=x 的一次项系数 1>0,故数 y=x 在[0,+∞)上为增函数,但函数为奇函 数; 2 y=x 的图象是开口朝上且以 y 轴为对称轴的抛物线,故函数为偶函数且在[0,+∞)上为增函 数; x y=2 在[0,+∞)上为增函数,但函数为非奇非偶函数;

函数 y=﹣x 的图象是开口朝下且以 y 轴为对称轴的抛物线,故函数为偶函数,但在[0,+∞) 上为减函数; 故选 B 点评: 本题考查的知识点是函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明,熟练掌握基本 初等函数的奇偶性和单调性是解答的关键. 6. (5 分)f(x)=x ﹣3x﹣3 有零点的区间是() A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2)
3

2

D.(2,3)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由函数零点存在的定理知,可验证区间端点的符号,两两端点函数值的符号相反则 存在零点,利用此规律验证,找出正确选项 解答: 解:由题意,知 当 x=﹣1,0,1,2,3 时,y 的值是﹣1,﹣3,﹣5,﹣1,15 3 由零点判定定理知,f(x)=x ﹣3x﹣3 有零点的区间是(2,3) 故选 D 点评: 本题考查函数零点的判定定理,解题的关键是理解定理,掌握零点判官的规则与步 骤,本题是基本概念考查题,考查了转化的思想.
x

7. (5 分)函数 y=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 讨论 a 与 1 的大小,根据函数的单调性,以及函数恒过的定点进行判定即可. 解答: 解:函数 y=a ﹣ (a>0,a≠1)的图象可以看成把函数 y=a 的图象向下平移 个单 位得到的. 当 a>1 时,函数 y=a ﹣ 在 R 上是增函数,且图象过点(﹣1,0) ,故排除 A,B. 当 1>a>0 时,函数 y=a ﹣ 在 R 上是减函数,且图象过点(﹣1,0) ,故排除 C, 故选 D. 点评: 本题主要考查了指数函数的图象变换,指数函数的单调性和特殊点,体现了分类讨 论的数学思想,属于基础题. 8. (5 分)给出以下结论:
x x x x

①f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|是奇函数; 数也不是偶函数; ③F(x)=f(x)f(﹣x) (x∈R)是偶函数; 其中正确的有()个. A.1 个 B. 2 个



既不是奇函



是奇函数.

C. 3 个

D.4 个

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的定义,先分析函数的定义域是否关于原点对称,进而分析 f(﹣x) 与 f(x)的关系,分析出四个答案中对应函数的奇偶性后,综合讨论结果可得答案. 解答: 解:∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|,∴f(﹣x)=|﹣x+1|﹣|﹣x﹣1|=|x﹣1|﹣|x+1|=﹣f(x) , 故 f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|为奇函数;故①正确; ∵函数 的定义域为[﹣1,0)∪(0,1]关于原点对称,此时

=

,∴g(﹣x)=

=﹣g(x) ,故函数

为奇函数,故②错误; ∵F(x)=f(x)f(﹣x) ,∴F(﹣x)=f(﹣x)f(x)=F(x) ,故 F(x)=f(x)f(﹣x)为 偶函数,即③正确; ∵ ﹣h(x) ,故 的定义域(﹣1,1)关于原点对称,且 是奇函数,即④正确; =﹣ =

故选 C 点评: 本题考查的知识点是函数的奇偶性,熟练掌握函数奇偶性的定义及判定方法是解答 的关键. 9. (5 分)若函数 f(x)=|4x﹣x |+a 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣4,0] B.(﹣4,0) C.[0,4] D.(0,4) 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 函数 f(x)=|4x﹣x |+a 零点的个数,即为函数 y=|4x﹣x |与函数 y=﹣a 交点个数,结 合图象可得实数 a 的取值范围. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=|4x﹣x |+a 有 4 个零点 2 函数 y=|4x﹣x |与函数 y=﹣a 有 4 个交点,如图所示:
2

结合图象可得 0<﹣a<4, ∴﹣4<a<0 故选 B 点评: 本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,解答关键是运用 数形结合的思想,属于中档题. 10. (5 分)若函数 () A.(0,1) 在区间(﹣∞,1]上为减函数,则 a 的取值范围是

B.[2,+∞)

C.[2,3)

D.(1,3)

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 先确定 a>1,再转化为 t=x ﹣ax+2 在区间(﹣∞,1]上为减函数,且 t>0,即可求 得 a 的取值范围. 解答: 解:若 0<a<1,则函数 符合题意; 若 a>1,则 t=x ﹣ax+2 在区间(﹣∞,1]上为减函数,且 t>0 ∴ ,2≤a<3
2 2

在区间(﹣∞,1]上为增函数,不

即 a 的取值范围是[2,3) 故选 C. 点评: 本题考查函数的单调性,考查对数函数,考查学生分析转化问题的能力,属于中档 题.

11. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,满足 xf(x)>0 的解集为() A. C. B. D.

,且在(0,+∞)上单调递减,则

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中 f ( )=0,且在(0,+∞)上单调递减,可得 f (﹣ )=0,且在区间(﹣ ∞,0)上单调递减,分类讨论后,可得 xf(x)>0 的解集 解答: 解:∵函数 f(x)是奇函数,在(0,+∞)上单调递减,且 f ( )=0, ∴f (﹣ )=0,且在区间(﹣∞,0)上单调递减, ∵当 x<0,当﹣ <x<0 时,f(x)<0,此时 xf(x)>0 当 x>0,当 0<x< 时,f(x)>0,此时 xf(x)>0 综上 xf(x)>0 的解集为 故选 B 点评: 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用,体现了转化的数学思想,判断出 f (﹣ )=0,且在区间(﹣∞,0)上单调递减是解题的关键.

12. (5 分)若定义在区间[﹣2014,2014]上的函数,f(x)满足:对于任意的 x1,x2∈[﹣2014, 2014],都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2012,且 x>0 时,有 f(x)>2012,若 f(x)的 最大值、最小值分别为 M,N,则 M+N 的值为() A.4024 B.2013 C.2012 D.4026 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据:对于任意的 x1,x2∈[﹣2014,2014],都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2012, 得出 f(0)=2012,f(x)+f(﹣x)=4024,x∈[﹣2014,2014]恒成立,可判断 f(x)的图象 关于(0,2012)对称,运用函数图象的特殊性可以判断出答案. 解答: 解:∵对于任意的 x1,x2∈[﹣2014,2014],x1<x2,x2﹣x1>0, 都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2012, ∴f(x2﹣x1)>2012, f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1+x1)﹣f(x1) =f(x2﹣x1)+f(x1)﹣f(x1)﹣2012 =f(x2﹣x1)﹣2012>0,即 f(x1)<f(x2) ∴f(x)在区间[﹣2014,2014]上单调递增, ∴M=f,N=f(﹣2014) , ∵对于任意的 x1,x2∈[﹣2014,2014], ∴f(0)=2f(0)﹣2012,即 f(0)=2012, ∴f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)﹣2012 即 f(x)+f(﹣x)﹣2012=f(0) , f(x)+f(﹣x)=4024 ∴M+N 的值为 4024,

故选:A 点评: 本题综合考察了函数的性质,思维量较大,属于难题. 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)函数 f(x)= +lg(2x+1)的定义域是(﹣ ,2) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件,即可求出函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则 ,



,即﹣ <x<2,

故函数的定义域为(﹣ ,2) , 故答案为: (﹣ ,2) 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 14. (5 分)用二分法求 f(x)=0 的近似解,已知 f(1)=﹣2,f(3)=0.625,f(2)=﹣0.984, 若要求下一个 f(m) ,则 m= .

考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 用二分法求方程的近似解的步骤和方法,m 应为区间(2,3)的中点,由此可得 m 的值. 解答: 解:用二分法求 f(x)=0 的近似解,已知 f(1)=﹣2,f(3)=0.625,f(2)=﹣0.984, 若要求下一个 f(m) , 则 m 应为区间(2,3)的中点,故 m= , 故答案为 .

点评: 本题主要考查用二分法求方程的近似解的步骤和方法,属于基础题. 15. (5 分)若函数 f(x)=(x+a) (bx+2a) (常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(﹣∞, 2 4],则该函数的解析式 f(x)=﹣2x +4. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题.

分析: 利用函数的定义域、值域的特点得到函数是二次函数;据函数是偶函数关于 y 轴对 称及二次函数的对称轴公式得到方程求出 a,b 的值;将求出的值代入二次函数解析式求其值 域验证值域是否是(﹣∞,4]. 解答: 解:由于 f(x)的定义域为 R,值域为(﹣∞,4], 可知 b≠0,∴f(x)为二次函数, 2 2 f(x)=(x+a) (bx+2a)=bx +(2a+ab)x+2a . ∵f(x)为偶函数, ∴其对称轴为 x=0,∴﹣ =0,

∴2a+ab=0,∴a=0 或 b=﹣2. 2 若 a=0,则 f(x)=bx 与值域是(﹣∞,4]矛盾,∴a≠0, 若 b=﹣2,又其最大值为 4, ∴ =4,∴2a =4,
2 2

∴f(x)=﹣2x +4. 2 故答案为﹣2x +4 点评: 本题考查偶函数的图象特点、二次函数的对称轴公式、二次函数值域的求法. 16. (5 分)已知 f(x)=x﹣ ,若对于任意的 x1,x2∈[2,3],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤a 成立, 则 a 的取值范围是 a .

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 因为|f(x1)﹣f(x2)|≤a 恒成立,所以只需|f(x1)﹣f(x2)|max≤a 即可,因为 x1, x2∈[2,3],且是同一个函数,所以只需研究函数 f(x)在区间[2,3]上的最值即可.利用单调 性容易解决问题. 解答: 解:因为 f(x)=x﹣ ,所以 f′(x)=1+ 上单调递增, 所以 . 恒成立,所以函数 f(x)在[2,3]

因为|f(x1)﹣f(x2)|≤a 恒成立,所以只需|f(x1)﹣f(x2)|max≤a 即可,因为 x1,x2∈[2,3], 且是同一个函数, 所以只需 即a . . . . .

故答案为 a

点评: 本题考查了不等式的恒成立问题,主要是转化为函数的最值问题来解. 三.解答题(共 6 小题,共 70 分)

17. (10 分) (1)log2.56.25+lg

+ln

+2



(2) (

×

) +(

6



﹣4(





×8

0.25

+(﹣2014) .

0

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用对数的运算法则即可得出; (2)利用指数幂的运算法则即可得出. 解答: 解: (1)原式= =2﹣2+ +2×3 = . +lg10 +
﹣2

+2×

(2)原式= =2 ×3 +2﹣4× ﹣2+1
2 3

+

﹣4×



+1

=108﹣7+1 =102. 点评: 本题考查了对数与指数幂的运算法则,属于基础题. 18. (12 分)已知 A={x|a≤x≤2a+3},B={x|x +5x﹣6>0}. (Ⅰ)若 A∩B={x|1<x≤3},求 a 的值; (Ⅱ)若 A∪B=B,求 a 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)根据 A={x|a≤x≤2a+3},B={x|x<﹣6,或 x>1},再由 A∩B={x|1<x≤3}可得 ,由此求得 a 的值. (Ⅱ)由 A∪B=B 得 A?B,分 A=?和 A≠?两种情况,分别求出 a 的取值范围,再取并集,即 得所求. 2 解答: 解:∵A={x|a≤x≤2a+3},B={x|x +5x﹣6>0}=[x|x<﹣6,或 x>1}.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) (Ⅰ)依题意 A∩B={x|1<x≤3}可得 ,∴a=0.﹣﹣﹣﹣(5 分)
2

(Ⅱ)由 A∪B=B 得 A?B.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ①当 A=?时满足题意,此时,a>2a+3,解得 a<﹣3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

②当 A≠?时,有

,解得 a>1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分)

综上,a 的取值范围为:a<﹣3 或 a>1,即 (﹣∞,﹣3)∪(1,+∞) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 点评: 本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题,一元二次不等式的解法,体现了分 类讨论的数学思想,属于中档题. 19. (12 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的函数,对于任意的 x∈R,f(﹣x)+f(x)=0,且 2 当 x≥0 时,f(x)=2x﹣x . (1)求 y=f(x)的解析式; (2)画出函数 y=f(x)的图象,并指出 f(x)的单调区间及在每个区间上的增减性; (3)若函数 f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增,试确定 a 的取值范围.

考点: 奇偶性与单调性的综合;函数解析式的求解及常用方法;函数的图象;二次函数的 性质. 专题: 综合题. 分析: (1)根据当 x≥0 时,f(x)=2x﹣x .利用函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 可求 x<0 时的解析式,从而可得 y=f(x)的解析式; (2)根据函数的解析式,分段作出函数的图象,从而可得 f(x)的单调区间 (3)利用函数的单调增区间,结合函数 f(x)在区间[﹣1,a﹣2]上单调递增,可建立不等式 组,从而可确定 a 的取值范围. 解答: 解: (1)当 x<0 时,﹣x>0, 2 ∵当 x≥0 时,f(x)=2x﹣x . 2 ∴f(﹣x)=﹣2x﹣x , 又对于任意的 x∈R,有 f(﹣x)=﹣f(x) , 2 2 ∴﹣f(x)=﹣2x﹣x ∴x<0 时,f(x)=2x+x ;﹣﹣﹣﹣(2 分) ∴f(x)的解析式为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)
2

(2)f(x)的图象如右图: f(x)在(﹣∞,﹣1]和[1,+∞)上是减函数,f(x)在[﹣1,1]上是增函数﹣﹣﹣(8 分) (3)由图象可知,f(x)在[﹣1,1]上单调递增,

要使 f(x)在[﹣1,a﹣2]上单调递增,只需 ∴1<a≤3﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题重点考查函数的解析式,考查函数的单调性,考查函数单调性的运用,考查数 形结合的数学思想,属于中档题 20. (12 分)某地上年度电价为 0.8 元,年用电量为 1 亿千瓦时.本年度计划将电价调至 0.55 元~0.75 元之间,经测算,若电价调至 x 元,则本年度新增用电量 y(亿千瓦时)与(x﹣0.4) 元成反比例.又当 x=0.65 时,y=0.8. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)若每千瓦时电的成本价为 0.3 元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年 增加 20%?[收益=用电量×(实际电价﹣成本价)]. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)设出函数解析式,代入 x=0.65 时,y=0.8,即可求得函数解析式; (2)利用收益=用电量×(实际电价﹣成本价) ,建立方程,即可求得结论. 解答: 解: (1)∵y 与(x﹣0.4)成反比例,∴设 把 x=0.65,y=0.8 代入上式,得 k=0.2,∴ 即 y 与 x 之间的函数关系式为 (2)根据题意,得(
2

. ,

. ) (x﹣0.3)=1×(0.8﹣0.3)×(1+20%) .

整理,得 x ﹣1.1x+0.3=0,解得 x1=0.5,x2=0.6. 经检验 x1=0.5,x2=0.6 都是所列方程的根. ∵x 的取值范围是 0.55~0.75,故 x=0.5 不符合题意,应舍去.∴x=0.6. 答:当电价调至 0.6 元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加 20%. 点评: 本题考查函数解析式的确定,考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能 力,属于基础题.

21. (12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)=a﹣

(a∈R)是奇函数.

(1)求 a 的值; (2)判断函数 f(x)在 R 上的单调性,并证明你的结论; (3)求函数 f(x)的值域. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值域;函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题(1)利用函数的奇偶性的定义得到关于 x 的恒等式,从而求出参数 a 的值,或 者利用特殊情况求出参数的值,再用函数奇偶性定义法进行证明; (2)本题可以运用函数单调 性定义证明,得到本题结论; (3)利用已知指数函数的值域,求出原函数的值域,得到本题结 论. 解答: 解: (1)若存在实数 a 使函数 f(x)为 R 上的奇函数,则 f(0)=0, ∴a=1. 下面证明 a=1 时 f(x)=1﹣ 是奇函数,

∵f(﹣x)=1﹣ ∴f(x)=1﹣

=

=﹣1+

=﹣f(x) ,

是 R 上的奇函数.

∴存在实数 a=1,使函数 f(x)为 R 上的奇函数. (2)函数 f(x)在 R 上的增函数. 证明:设 x1,x2∈R 且设 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)=
x

=



∵y=3 在 R 上是增函数,且 x1<x2, ∴ 且(3 +1) (3 +1)>0,

则 f(x1)<f(x2) . ∴f(x)是 R 上的增函数. (3)f(x)=1﹣ ∵3 +1∈(1,+∞) , ∴ ∴1﹣ , ∈(﹣1,1) .
x



∴函数 f(x)的值域为: (﹣1,1) . 点评: 本题考查了函数的奇偶性、单调性和函数的值域,本题难度不大,属于基础题. 22. (12 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx+4,集合 A={x|f(x)=x}. (1)若 A={1},求 f(x) ;
2

(2)若 1∈A,且 1≤a≤2,设 f(x)在区间 (a)=M﹣m,求 g(a)的最小值. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数的值. 专题: 函数的性质及应用.

上的最大值、最小值分别为 M、m,记 g

分析: (1)可得 ax +(b﹣1)x+4=0 有两等根为 1,故 代入可得; (2)由题意可得 b=﹣3﹣a 代入解析式配方可得∴f(x)= 合范围可得 M,m,可得 g(a) ,由函数的单调性可得答案. 2 解答: 解: (1)∵A={1},∴ax +(b﹣1)x+4=0 有两等根为 1.…(2 分) ∴
2

2

,解之

,结

,解得



∴f(x)=4x ﹣7x+4.…(4 分) (2)∵1∈A,∴a+(b﹣1)+4=0,∴b=﹣3﹣a.…(5 分) ∴f(x)=ax ﹣(a+3)x+4= ∵1≤a≤2,∴对称轴为 ∵ ∴ ,∴M= . ,m= .…(8 分)
2



,由 g(a)在[1,2]单调递减 .…(10 分)

可得当 a=2 时,函数取最小值

点评: 本题考查二次函数在闭区间的最值,涉及二次方程与二次函数的关系,以及分式函 数的单调性,属中档题.


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