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2015高中数学 第1部分 2.4第2课时 等比数列的性质课件 新人教A版必修5


2.4

突破常 考题型

第 二 章

第二 课时 等比 数列 的性 质

题型一 题型二 题型三

跨越高分障碍 应用落 实体验 随堂即时演练 课时达标检测

第二课时

等比数列的性质

等比数列性质的应用
[例 1] (2012· 广东高考)(1)若等比数列{an}满足 a2a4=

1 ,则 a1a2 3a5=________. 2 (2)已知数列 {an}是等比数列, a3+a7=20,a1a9=64,求 a11 的值.

(1)[解析]

1 2 等比数列{an}中,因为 a2a4= ,所以 a3 = 2

1 1 2 a1a5=a2a4= ,所以 a1a3a5= . 2 4

[答案]
(2)[解]

1 4
∵{an}为等比数列,

∴a1· a9=a3· a7=64. 又∵a3+a7=20, ∴a3,a7 是方程 t2-20t+64=0 的两个根.

∵t1=4,t2=16, ∴a3=4,a7=16 或 a3=16,a7=4. ①当 a3=4,a7=16 时, a7 =q4=4,此时 a11=a3q8=4×42=64. a3 ②当 a3=16,a7=4 时,
?1? a7 1 4 8 =q = ,此时 a11=a3q =16×?4?2=1. a3 4 ? ?

[类题通法] 等比数列常用性质 (1)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am· an=ap· aq. 特例:若 m+n=2p(m,n,p∈N*),则 am· an=a2 p. an - (2)a =qn m(m,n∈N*). m (3)在等比数列{an}中,每隔 k 项取出一项,取出的项,按 原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列. (4)数列{an}为等比数列,则数列{λan}(λ 为不等于 0 的常 1 数){a }仍然成等比数列. n

[活学活用] 1.(1)在等比数列{an}中,若 a2=2,a6=12,则 a10= ________. (2)在等比数列{an}中, 若 a7=-2, 则此数列的前 13 项之积等 于________.
? ?a1q=2, q,则? 5 ? ?a1q =12,

解析:(1)法一:设{an}的公比为 解得 q4=6,

∴a10=a1q9=a1q· (q4)2=2×36=72.

法二:∵{an}是等比数列,
2 ∴a6 = a2 · a10, 2 a2 12 144 6 于是 a10= = = =72. a2 2 2

(2)由于{an}是等比数列, ∴a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=a2 7,
? 2? ∴a1a2a3?a13=??a7??6· a7=a13 7 ,

而 a7=-2. ∴a1a2a3?a13=(-2)13=-213.

答案:(1)72

(2)-213

灵活设元求解等比数列
[例 2] 已知三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的

平方和为 91,求这三个数.
[解] 法一:设三个数依次为 a,aq,aq2,

2 ? a · aq · aq =27, ? 由题意知? 2 2 2 2 4 ? a + a q + a q =91, ? 3 ? ??aq? =27, ∴? 2 2 4 ? ?a ?1+q +q ?=91.

? ?aq=3, 即? 2 2 4 ? a ? 1 + q + q ?=91. ?

q2 9 解得 = , 1+q2+q4 91

1 得 9q -82q +9=0,即得 q =9 或 q = , 9
4 2 2 2

1 ∴ q= ± 3 或 q=± , 3 若 q=3,则 a1=1;若 q=-3,则 a1=-1; 1 1 若 q= ,则 a1=9;若 q=- ,则 a1=-9. 3 3 故这三个数为:1,3,9 或-1,3,-9 或 9,3,1 或-9,3,-1.

a 法二:设这三个数分别为q,a,aq. ?a a· aq=27, ?q· ? 2 ?a2+a2+a2q2=91 ?q a=3, ? ? ?? 2 1 a ? 2+1+q2?=91, ? ? q

得 9q4-82q2+9=0, 1 即得 q = 或 q2=9. 9
2

1 ∴q=± 或 q=± 3. 3 故这三个数为:1,3,9 或-1,3,-9 或 9,3,1 或-9,3,-1.

[类题通法] 三个数或四个数成等比数列的设元技巧: a (1)若三个数成等比数列, 可设三个数为 a, aq, aq 或q,
2

a,aq; (2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四 a a 个数均为正(负)数,可设 3,q,aq,aq3. q

[活学活用] 2.在 2 和 20 之间插入两个数,使前三个数成等比数列, 后三个数成等差数列,则插入的两个数的和为( 1 A.-4 或 17 2 C.4 1 B.4 或 17 2 1 D.17 2 )

a2 解析: 设插入的第一个数为 a, 则插入的另一个数为 . 2 a2 a2 由 a, ,20 成等差数列得 2× =a+20. 2 2 ∴a2-a-20=0,解得 a=-4 或 a=5. a2 当 a=-4 时,插入的两个数的和为 a+ =4. 2 a2 1 当 a=5 时,插入的两个数的和为 a+ =17 . 2 2

答案:B

等比数列的实际应用
[例 3] 某工厂 2011 年 1 月的生产总值为 a 万元,计划

从 2011 年 2 月起,每月生产总值比上一个月增长 m%,那 么到 2012 年 8 月底该厂的生产总值为多少万元? [解] 设从 2011 年 1 月开始,第 n 个月该厂的生产总
an+1 值是 an 万元,则 an+1=an+anm%,∴ a =1+m%. n ∴数列{an}是首项 a1=a,公比 q=1+m%的等比数列. ∴an=a(1+m%)n 1.


∴2012 年 8 月底该厂的生产总值为 a20=a(1+m%)20 =a(1+m%)19(万元).

-1

[类题通法] 数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体 事件相联系,建立数学模型是解决这类问题的核心,常用 的方法有:①构造等差、等比数列的模型,然后用数列的 通项公式或求和公式解;②通过归纳得到结论,再用数列 知识求解.

[活学活用] 3.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB,然后每 3 分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的 2 倍, 那么开机后________分钟, 该病毒占据内存 64 MB(1 MB =210 KB).

解析:由题意可得每 3 分钟病毒占的内存容量构成一个 等比数列,令病毒占据 64 MB 时自身复制了 n 次,即 2×2n =64×210=216,解得 n=15,从而复制的时间为 15×3=45 分钟.

答案:45

3.等差数列和等比数列的性质对比

等差数列和等比数列从文字看,只是一字之差,但定义和 性质相差甚远,下面对两类数列的性质作一比对,若等差数列 {an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q.

【性质 1】 等差数列{an},当 d=0 时,数列为常数列,当 d >0 时,数列为递增数列,当 d<0 时,数列为递减数列;等比数 列{bn},当 q>1,b1>0 或 0<q<1,b1<0 时,数列{an}是递增数 列,当 q>1,b1<0 或 0<q<1,b1>0 时,数列{bn}是递减数列, 当 q=1 时,数列{bn}是常数列.

[例 1]

设{an}是首项大于零的等比数列,且 a1<a2<a3,

则数列 {an} 是 ________ 数列 ( 填“递增”、“递减”、“摆 动”).

[解析]

设数列{an}的公比为 q(q≠0),因为 a1<a2<a3,

所以 a1<a1q<a1q2,解得 q>1,且 a1>0,所以数列{an}是 递增数列.

[答案]

递增
等差数列{an}满足 an=am+(n-m)d(m,n∈

【性质 2】

N*),等比数列{bn}满足 bn=bm· qn-m(m,n∈N*). (当 m=1 时,上述式子为通项公式).

[例 2]

已知{an}为等差数列,且 a3=-6,a6=0,则{an}

的通项公式为________.
[解析] 因 a6=a3+3d,则 0=-6+3d,得 d=2,

∴an=a3+(n-3)d=-6+(n-3)×2=2n-12.

[答案]

2n-12

【性质 3】

若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),等差数

列{an}满足 am+an=ap+aq,特别地,若数列{an}是有穷等差 数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末 两项之和,即 a1+an=a2+an-1=?=ai+1+an-i=?(n∈N*). 等比数列{bn}满足 bmbn=bpbq 特别地,数列{bn}是有穷数 列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项 之积,即 b1· bn=b2· bn-1=b3· bn-2=?=bm· bn-m+1.

[例 3]

(1)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 若 a3+a17=10, ) B.95 D.105

则 S19 的值是( A.55 C.100

(2)在等比数列{an}中,若 a2· a8=36,a3+a7=15,则公比 q 值的个数可能为( A.1 个 C.3 个 ) B. 2 个 D.4 个

[解析]

19?a1+a19? 19?a3+a17? 19×10 (1)S19= = = =95. 2 2 2

(2)∵a2· a8=a3· a7,
? a7=36, ?a3· ∴由? ? ?a3+a7=15,

解得 a3=3,a7=12,或 a3=12,a7=3. 若 a3=3,a7=12,则有 12=3×q4,∴q4=4, ∴q2=2,q=± 2.若 a3=12,a7=3,则有 3=12×q4, 1 1 2 2 ∴q = ,q = ,q=± . 4 2 2
4

∴q 的值可能有 4 个.

[答案]

(1)B (2)D.

【性质 4】 在等差(比)数列中,每隔 k 项取出一项,按 原来的顺序排列,所得新数列仍为等差 (比 )数列,公差为 (k +1)d,(公比为 qk 1),若两个数列分别成等差(比)数列,则两


数列对应项和(积)构成等差(比)数列. [例 4] 在 1 和 16 之间插入三个正数 a, b, c 使 1, a, b,

c,16 成等比数列,求 a+b+c 的值.
[解] ∵1,a,b,c,16 成等比数列,

∴1,b,16 为等比数列.∴b=4. ∴1,a,b 也成等比数列,b,c,16 也成等比数列. ∴a=2,c=8. ∴a+b+c=2+4+8=14.

[随堂即时演练] 1. 将公比为 q 的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列
a1a2,a2a3,a3a4,?.此数列是( A.公比为 q 的等比数列 ) B.公比为 q2 的等比数列

C.公比为 q3 的等比数列 D.不一定是等比数列 anan+1 an an+1 解析:由于 = × a =q· q=q2,n≥2 且 n∈N*, an-1an an-1 n

∴{anan+1}是以 q2 为公比的等比数列,故选 B.

答案:B

2.若 1,a1,a2,4 成等差数列;1,b1,b2,b3,4 成等比数列, a1-a2 则 的值等于( b2 1 A.- 2 ) 1 B. 2

1 1 C.± D. 2 4 解析:∵1,a1,a2,4 成等差数列,∴3(a2-a1)=4-1,
∴a2-a1=1.又∵1,b1,b2,b3,4 成等比数列,设其公比为 q,
2 则 b2 =1×4=4,且 b2=1×q2 >0,

a1-a2 -?a2-a1? 1 ∴b2=2,∴ = =- . b2 b2 2

答案:A

3.在等比数列{an}中,a888=3,a891=81,则公比 q=________.

解析:∵a891=a888q891 a891 81 ∴q = = =27. a888 3
3

-888

=a888q3,

∴q=3.
答案:3

4. 在等比数列{an}中, 各项都是正数, a6a10+a3a5=41, a4a8 =4,则 a4+a8=________.
2 解析:∵a6a10=a2 8,a3a5=a4, 2 ∴a4 +a2 8=41,

又 a4a8=4,
2 ∴(a4+a8)2=a4 +a2 8+2a4a8=41+8=49,

∵数列各项都是正数, ∴a4+a8=7.

答案:7

5.已知数列{an}为等比数列. (1)若 a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求 an; (2)若 a3a5=18,a4a8=72,求公比 q. 解:(1)∵a1a2a3=a3 2=216,∴a2=6,∴a1a3=36.

又∵a1+a3=21-a2=15, ∴a1,a3 是方程 x2-15x+36=0 的两根 3 和 12. a2 当 a1=3 时,q= =2,an=3· 2n-1; a1
?1? - 1 ? ?n 1 . 当 a1=12 时,q= ,an=12· 2 ?2?
“课时达标检测”见“课 时跟踪检测(十一)”

(2)∵a4a8=a3q· a5q3=a3a5q4=18q4=72, ∴q4=4,∴q=± 2.


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