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椭圆题型总结


椭圆题型总结
定义:PA+PB=2a>2c

一、

椭圆的定义和方程问题

1. 命题甲:动点 P 到两点 A, B 的距离之和 PA ? PB ? 2a(a ? 0, 常数); 命题乙: P 的轨 迹是以 A、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( A.充分不必要条件 2. B.必要不充分条件 C.充要条件 ) D.既不充分又不必要条件

已知 F1 、 F2 是两个定点,且 F1F2 ? 4 ,若动点 P 满足 PF 1 ? PF 2 ? 4 则动点 P 的轨迹 是( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段

3.

已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1 P 到 Q ,使得

PQ ? PF2 ,那么动点 Q 的轨迹是(
A.椭圆 4. B.圆 C.直线 D.点

)

已知 F1 、 F2 是平面 ? 内的定点,并且 F1 F2 ? 2c(c ? 0) , M 是 ? 内的动点,且

MF1 ? MF2 ? 2a ,判断动点 M 的轨迹.
5. 椭圆

x2 y2 O 是椭圆的中心, N 为 MF1 的中点, ? ? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2, 25 9


则 ON 的值是

标准方程求参数范围
x2 y2 1.若方程 ? ? 1 表示椭圆,求 k 的范围.(3,4)U(4,5) 5?k k ?3

mx ? ny ? 1表示焦点在 y轴上的椭圆”的( 1. “m ? n ? 0”是“方程
2 2

)

A.充分而不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 .

x2 y2 2. 已知方程 ? ? 1 表示焦点在 Y 轴上的椭圆,则实数 m 的范围是 5 ? 2m m ? 1
3. 已知方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 Y 轴上的椭圆,则实数 k 的范围是
2 2

.

4. 5. 6.

2 方程 x ? 1 ? 3 y 所表示的曲线是

.

已知椭圆 mx2 ? 3 y 2 ? 6m ? 0 的一个焦点为 (0,2) ,求 m 的值。 已知方程 x 2 ? ky2 ? 2 表示焦点在 X 轴上的椭圆,则实数 k 的范围是 .

待定系数法求椭圆的标准方程
1. 根据下列条件求椭圆的标准方程:

5)和(0,-5) (1 两个焦点的坐标分别为(0, , 椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26; (2)长轴是短轴的 2 倍,且过点(2,-6) ; ,求 (3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 P 1 ( 6 ,1), P 2 (? 3,? 2 ) 椭圆方程. 2. 3. 4. 以 F1 (?2,0) 和 F2 (2,0) 为焦点的椭圆经过点 A(0,2) 点,则该椭圆的方为 如果椭圆: 4 x 2 ? y 2 ? k 上两点间的最大距离为 8,则 k 的值为 。 。

已知中心在原点的椭圆 C 的两个焦点和椭圆 C2 : 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 的两个焦点一个正方 形的四个顶点,且椭圆 C 过点 A(2,-3) ,求椭圆 C 的方程。

5.

已知 P 点在坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离为 作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点,求椭圆方程。

4 5 2 5 和 ,过点 P 3 3

6.

求适合下列条件的椭圆的标准方程

1.长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 (2,?6) ; 2.在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为 6.

与椭圆相关的轨迹方程
1. 已知动圆 P 过定点 A(?3,0) ,并且在定圆 B : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 64 的内部与其相内切,求 动圆圆心 P 的轨迹方程. 2. 一动圆与定圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 32 ? 0 内切且过定点 A(0,2) ,求动圆圆心 P 的轨迹方程. 3. 已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 100, 动圆 P 与 C1 外切, 与 C2 内切, 求动圆圆心 P 的轨迹方程.

4.

2 2 已知 A( ? ,0) , B 是圆 F : ( x ? ) ? y ? 4 ( F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平

1 2

1 2

分线交 BF 于 P ,则动点 P 的轨迹方程为

BC 、AC 的长成等差数列, C 的坐标 (?1,0) 、 5. 已知 ?ABC 三边 AB 、 且 AB ? CA , 点 B 、

(1,0) ,求点 A 的轨迹方程.
6. 一条线段 AB 的长为 2 a ,两端点分别在 x 轴、 y 轴上滑动 ,点 M 在线段 AB 上,且

AM : MB ? 1 : 2 ,求点 M 的轨迹方程.
7. 已知椭圆的焦点坐标是 (0,?5 2 ) , 直线 l : 3x ? y ? 2 ? 0 被椭圆截得线段中点的横坐标 为

1 ,求椭圆方程. 2

8. 若 ?ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0,6) 和 C (0,?6) ,另两边 AB 、 AC 的斜率的乘积 是?

4 ,顶点 A 的轨迹方程为 9



9.

P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的任意一点, F1 、 F2 是它的两个焦点, O 为坐标原点, ,求 a2 b2

动点

的轨迹方程。

10. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 9 ,从这个圆上任意一点 P 向 x 轴引垂线段 PP' ,垂足为 P' ,点 M 在 PP' 上,并且,求点的轨迹。 11. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 1,从这个圆上任意一点向轴引垂线段,则线段的中点的轨迹方程 是 12. 已知, 。 ,的周长为 6,则的顶点 C 的轨迹方程是 。 13. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,A、B 分别是长轴的左右两个端点,P 为椭圆上一个动点,求 AP 52 4 2

中点的轨迹方程。

焦点三角形 4a 1. 已知 F1 、 F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A 、 B 两点。若 25 9

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ?
2. 已知 F1 、 F2 为椭圆



x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F2 且斜率不为 0 的直线交椭圆于 A 、 25 9


B 两点,则 ?ABF 1 的周长是
3. 已知 ?AB C 的顶点 B 、C 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的 3


另外一个焦点在 BC 边上,则 ?AB C 的周长为

焦点三角形的面积:
1 设 M 是椭圆

? x2 y2 求 ?F1MF2 的面积。 ? ? 1 上的一点,F1 、F2 为焦点,?F1 MF2 ? , 6 25 16
x2 ,求点 P 到 x ? y 2 ? 1 上的一点, F1 、 F2 为焦点, PF 1 ? PF 2 ?0 4

1.

已知点 P 是椭圆 轴的距离。

2.

已知点 P 是椭圆 的面积为

PF1 ? PF2 1 x2 y2 ? , 若 则 ?PF ? ? 1 上的一点,F1 、F2 为焦点, 1 F2 PF1 ? PF2 2 25 9


3.

椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点为 F1 、 F2 ,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个 4
。 为椭圆的右焦点,则的面积的最大值

交点为 P ,则 PF2 ? 4. 已知 AB 为经过椭圆的中心的弦, 为 。

焦点三角形
x2 y2 ? ? 1 的两焦点分别为 F1 和 F2 , P 为椭圆上一点,求 PF 1 ? PF 2 的最大值, 9 4

设椭圆

并求此时 P 点的坐标。

1.

椭圆

x2 y2 点 P 在椭圆上, 若 PF 则 PF2 ? ? ? 1 的焦点为 F1 、F2 , 1 ? 4, 9 2




?F1 PF2 ?
2. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 , P 为其上一动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点 P 的 9 4


横坐标的取值范围为 3. P 为椭圆

x2 y2 (1)若 PF1 的中点 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点。 25 16
1 PF1 ; (2)若 ?F1 PF2 ? 60? ,求 PF 1 ? PF 2 的值。 2

是 M ,求证: MO ? 5 ?

椭圆的简单几何性质
1. 求下列椭圆的标准方程 (1) c ? 8, e ?

2 ; 3

(2) e ?

5 ,一条准线方程为 x ? 3 。 3 6 ,求椭圆的标准方程。 3

2. 椭圆过(3,0)点,离心率为 e ?

3. 椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3,则椭圆的标 准方程为? 4. 椭圆的对称轴为坐标轴,离心率为

2 ,两准线间的距离为 4,则此椭圆的方程为? 2

5. 根据下列条件,写出椭圆的标准方程: (1) 椭圆的焦点为 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) ,其中一条准线方程是 x ? ?4 ; (2) 椭 圆 的 中 心 在 原 点 , 焦 点 在

y 轴上,焦距为 4 3 ,并且椭圆和直线

2 7 x ? 3 y ? 16 ? 0 恰有一个公共点;

(3) 椭圆的对称轴为坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到 椭圆的最近距离是 3 。 6. 已知椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率为 2 2
2 2

a

b

2 ,右准线 2

方程为 x ? 2 。求椭圆的方程。

求离心率
1. 过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点, a2 b2


若 ?F1 PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为( 2. 在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,以 O 圆心,a 为半径 a2 b2


作圆,过点 (

a2 ,0) 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = c

3. 若椭圆的两个焦点把长轴分成三等份,则椭圆的离心率为? 4. 椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为 F1,则满足 ?ABF 1 为等边三角形的椭圆的离心率 是? 5. 设椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过 F1 且垂直于 x 轴的 a2 b2


弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是 6. 已知点 A(0, b) , B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线与 x 轴的交点,若线段 AB a2 b2


的中点 C 在椭圆上,则该椭圆的离心率为

(一) 椭圆系
x2 y2 ? ?1 25 9
椭圆 A.相同的焦点 与

1.

x2 y2 ? ? 1(0 ? k ? 9) 9 ? k 25 ? k
的关系为( ) D。有相等的焦距

B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴

二、 直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系

1. 当 m 为何值时,直线 l : y ? x ? m 和椭圆 9 x 2 ? 16y 2 ? 144 (1)相交;(2)相切;(3)相离。

2. 若直线 y ? kx ? 2 与椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 有两个公共点,则实数 k 的取值范围为



(二)弦长问题 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆的右焦点,交椭圆于 A、B 两点, 求 AB 的弦长
. 3. 设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右两个焦点分别为 F1 、 F2 ,过右焦点 F2 且与 x a2 b2

轴垂直的直线 l 与椭圆 C 相交,其中一个交点为 M ( 2 ,1) 。 (1) 求椭圆的方程; -b) 设椭圆 C 的一个顶点为 B (0, , 直线 BF2 交椭圆 C 于另一点 N, 求 ?F1 BN 的面积。

(2)

(三)点差法

1.

已知一直线与椭圆 4 x 2 ? 9 y 2 ? 36 相交于 A 、 B 两点,弦 AB 的中点坐标为 (1,1) ,求 直线 AB 的方程.

2.

Q 两点, 5) 椭圆 C 以坐标轴为对称轴, 并与直线 l:x+2y=7 相交于 P、 点 R 的坐标为 (2, , 若 ?PQR 为等腰三角形, ?PQR ? 90? ,求椭圆 C 的方程。

3.

(四)向量结合
1.

(五)对称问题
C:
1. 已知椭圆 线 2.

x2 y2 ? ?1 4 3
对称。

,试确定 m 的取值范围,使得椭圆上有两个不同的点关于直

y ? 4x ? m


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