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2014年文数高考母题题源系列 07利用导数探求参数取值范围、证明不等式 Word版含解析]


【母题来源】2014 高考陕西卷文-21 【母题原题】设函数

f ( x) ? ln x ?

m ,m? R. x

(1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 (2)讨论函数 g ( x) ?

f ( x) 的最小值;

x f '( x) ? 零点的个数; 3 f (b) ? f (a) ? 1 恒成立,求 m 的取值范围. b?a

(3)若对任意 b ? a

? 0,

【命题意图】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、含参数的不等式恒成立问题等基础 知识,意在考查学生运用转化与划归思想,分析问题解决问题的能力,运算求解能力. 【方法技巧】函数 f ( x) 在区间 I 上单调递增等价于 f ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立;函数 f ( x) 在 区间 I 上单调递减等价于 f ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立.但要注意取等号时,是否为常函数. 利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证 明问题.比如要证明对任意 x ? [a , b]都有 f ( x) ? g ( x) ,可设 h ( x) = f ( x)- g ( x) 只要利用导数 说明 h( x) 在 [a , b]上的最小值为 0 即可.解题技巧总结如下: (1)树立服务意识:所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决 出来) ,如函数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式; (2)强化变形技巧:所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手,可考 虑对不等式进行必要的等价变形后, 再去证明. 例如采用两边取对数 (指数) , 移项通分等等. 要 注意变形的方向:因为要利用函数的性质,力求变形后不等式一边需要出现函数关系式; (3)巧妙构造函数:所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征,构造函数,利用函 数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样,注意积累经验,体现一个“巧妙” . 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法:①函数性质法;②主参换位法;③分 离参数法;④数形结合法;⑤消元转化法.从集合观点看,含参不等式 f ? x ? ? k ? f ? x ? ? k ? 在

区间 D 上恒成立 ? D ? ?x f ? x ? ? k? ? f ? x ?max ? k ? D ? ?x f ? x ? ? k ? ? f ? x ?min ? k , 而含参 不 等 式 f ? x? ? k

?

?

? f ? x? ? k ? 在 区 间 D 上 能 成 立 ? 至 少 存 在 一 个 实 数 x 使 不 等 式

f ? x? ? k
?D

? f ? x? ? k ?
? ?




x ?n.

?

?

? x ?m

?? D

?

?

? ?

i

f

?

?

? x ?m

?

?

a

f

? k

?

1 【2014 高考湖南卷文第 9 题】若 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则(



A. e 2 ? e 1 ? ln x2 ? ln x1
x x

B. e 2 ? e 1 ? ln x2 ? ln x1
x x

C. x2e 1 ? x1e
x

x2

D. x2e 1 ? x1e
x

x2

2.【2014 高考辽宁卷文第 12 题】当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实
3 2

数 a 的取值范围是( A. [?5, ?3]



B. [ ?6, ? ]

9 8

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3]

3 2 3. 【2014 高考全国 1 卷文第 12 题】 已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 , 若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,

且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是(

) (C) ? ??, ?2? (D) ? ??, ?1?

? 2, ???

(B) ?1, ?? ?

4.【2014 高考全国 2 卷文第 11 题】若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的 取值范围是( (A) ? ??, ?2? ) (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ? (D) ?1, ?? ?

?? x ? a, x ? 0, ? 5.【2014 高考上海卷文第 9 题】设 f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x ) 的最小值,则 a 的 1 x ? , x ? 0, ? x ?
取值范围是 .

6.【2014 高考安徽卷文第 20 题】设函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x2 ? x3 ,其中 a ? 0 (1)讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性; (2)当 x ? [0,1] 时,求 f ( x ) 取得最大值和最小值时的 x 的值.

7.【2014 高考大纲卷文第 21 题】函数 f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若函数 f(x)在区间(1,2)是增函数,求 a 的取值范围.

8.【2014 高考广东卷文第 21 题】已知函数 f ? x ? ? (1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,试讨论是否存在 x0 ? ? 0,

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1 ? a ? R ? . 3

? ?

1? ?1 ? ?1? ? ? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? f ? ? . 2? ?2 ? ?2?

9.【2014 高考湖北卷文第 21 题】 ? 为圆周率, e ? 2.71828 ? ? ? 为自然对数的底数. (1)求函数 f ( x) ?

ln x 的单调区间; x
3

(2)求 e 3 , 3e , e ? , ? e , 3? , ? 这 6 个数中的最大数与最小数; (3)将 e 3 , 3e , e ? , ? e , 3? , ? 这 6 个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.
3

10.【2014 高考湖南卷文第 21 题】已知函数 (1)求

f ( x) ? x cos x ? sin x ? 1( x ? 0) .

f ( x) 的单调区间;

(2)记

xi 为 f ( x) 的 从 小 到 大 的 第 i( i? N*)个 零 点 , 证 明 : 对 一 切 n ? N * , 有
? 1 2 ? . xn 2 3

1 1 ? ? x12 x22

11.【2014 高考江苏第 19 题】已知函数 f ( x) ? e ? e
x

?x

,其中 e 是自然对数的底数.

(1)证明: f ( x ) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x) ? e? x ? m ?1 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围;
3 (3) 已知正数 a 满足: 存在 x0 ? (1, ??) , 使得 f ( x0 ) ? a(? x0 试比较 e ? 3x0 ) 成立,
a ?1

与a

e ?1

的大小,并证明你的结论.

12.【2014 高考江西文第 18 题】 已知函数 f ( x) ? (4x 2 ? 4ax ? a 2 ) x ,其中 a ? 0 . (1)当 a ? ?4 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值为 8,求 a 的值.

2 【答案】 (1) (0, ) 和 (2, ??) , (2) ?10. 5
【解析】

13.【2014 高考辽宁文第 21 题】已知函数 f ( x) ? ? ( x ? cos x) ? 2sin x ? 2 ,

g ( x) ? ( x ? ? )

1 ? sin x 2 x ? ? 1 .证明: 1 ? sin x ?

(Ⅰ)存在唯一 x0 ? (0, (Ⅱ)存在唯一 x1 ? (

?
2

) ,使 f ( x0 ) ? 0 ;

?
2

, ? ) ,使 g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0 ? x1 ? ? .

14.【2014 高考四川文第 21 题】已知函数 f ( x) ? e ? ax ? bx ? 1,其中 a, b ? R ,
x 2

e ? 2.71828

为自然对数的底数.

(Ⅰ)设 g ( x) 是函数 f ( x ) 的导函数,求函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上的最小值; (Ⅱ)若 f (1) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有零点,证明: e ? 2 ? a ? 1 .

15.【2014 高考天津文第 19 题】已知函数 f ( x) ? x ?
2

2 3 ax (a ? 0), x ? R 3

(1)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)若对于任意的 x1 ? (2, ??) ,都存在 x2 ? (1, ??) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,求 a 的取值范 围

16.【2014 高考浙江文第 21 题】已知函数 小值记为 g (a) . (1)求 g (a) ;

f ? x ? ? x3 ? 3| x ? a | (a ? 0)

,若 f ( x) 在 [ ?1,1] 上的最

(2)证明:当 x ? [?1,1] 时,恒有 f ( x) ? g (a ) ? 4 .

综上所述,当 x ? [?1,1] 时恒有 f ( x) ? g (a) ? 4 .


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