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第8讲 函数的应用


第8讲
基础诊断

函数的应用
? 夯基释疑
? 考点一:函数与方程

概 要

考点突破

? 考点二:二次函数的零点问题 ? 考点三:函数模型的应用

课堂小结

? 思想方法 ? 易错防范

夯基释疑

r />
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.( ) (2)函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续 不断),则 f(a)· f(b)<0.( ) (3)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)存在一个正零 点、一个负零点的充要条件为 ac<0.( ) (4)幂函数增长比直线增长更快.( ) (5)当 x>0 时,函数 y=2x 与 y=x2 的图象有两个交 点.( )

第2页

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考点突破 考点一 函数与方程 [微题型1] 函数零点所在区间的判断
【例 1-1】(1)(2016· 唐山一模)设 f(x)=ex+x-4,则函数 f(x)的零 点位于区间( )A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) (2)见下页

解析 (1)∵f(x)=ex+x-4, 根据零点存在性定理, x ∴f′(x)=e +1>0, 或画出图象判断 ∴函数f(x)在R上单调递增, 简答 - 1 - 1 对于A项,f(-1)=e +(-1)-4=-5+e <0, f(0)=-3<0,f(-1)f(0)>0,A不正确; 同理可验证B,D不正确, 对于C项,∵f(1)=e+1-4=e-3<0, f(2)=e2+2-4=e2-2>0,f(1)f(2)<0. 故f(x)的零点位于区间(1,2).
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考点突破 考点一 函数与方程 [微题型1] 函数零点所在区间的判断
【例 1-1】(2)(2015· 长沙模拟)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a) (x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( ) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

(2)令y1=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c) y =(x-b)· [2x-(a+c)], y2=-(x-c)(x-a), 由a<b<c作出函数y1,y2的图象, 由图可知两函数图象的两个交点分别位于 0 区间(a,b)和(b,c)内, 即函数f(x)的两个零点 分别位于区间(a,b)和(b,c)内. 答案 (1)C (2)A
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y1

a

a+c b 2

c

x
y2

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考点突破 考点一 函数与方程 [微题型1] 函数零点所在区间的判断

规律方法 判断函数在某个区间上是否存在零点,要根据具体题目灵活

处理.当能直接求出零点时,就直接求出进行判断;当不能
直接求出时,可根据零点存在性定理判断,当用零点存在性 定理也无法判断时可画出图象判断.

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考点突破 考点一 函数与方程 [微题型2] 判断函数零点个数
1 2
x 1 ? 的零点个数为( 【例 1-2】(1)函数 f(x)=x -? ?2? A.0 B.1 C.2 D.3 (2)见下页

)

解析

(1)因为 y=x 在 x∈[0,+∞)上单调递增,

1 2

x 1 ? 在 x∈R 上单调递减, y=? ?2?
x 1 ? 在 x∈[0,+∞)上单调递增, 所以 f(x)=x -? ?2?

1 2

1 又 f(0)=-1<0,f(1)= >0, 2
x 1 ? 在定义域内有唯一零点. 所以 f(x)=x -? ?2?
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1 2

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考点突破 考点一 函数与方程 [微题型2] 判断函数零点个数
2 ? ?ln x-x +2x,x>0, 【例 1-2】(2)(2016· 郑州一模)函数 f(x)=? ?4x+1,x≤0 ?

的零点个数是________.
(2)当x>0时,令g(x)=ln x,h(x)=x2-2x. 画出g(x)与h(x)的图象如图: 故当x>0时,f(x)有2个零点.

1 当 x≤0 时,由 4x+1=0,得 x=- , 4
综上函数f(x)的零点个数为3. 答案 (1)B
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(2)3
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考点突破 考点一 函数与方程 [微题型2] 判断函数零点个数 规律方法 函数零点个数的判断方法:(1)直接求零点,令f(x)=0,有几 个解就有几个零点. (2)零点存在性定理,要求函数在区间[a,b]上是连续不断的

曲线,且f(a)· f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零
点个数. (3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即 得零点个数.
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考点突破 考点一 函数与方程 [微题型3] 根据函数零点的存在情况,求参数 3 ? ?x ,x≤a, 【例 1-3】(2015· 湖南卷)已知函数 f(x)=? 2 若存在实数 ? ?x ,x>a, b, 使函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点, 则 a 的取值范围是________. 解析 当a<0时,若x∈(a,+∞),则f(x)=x2, 当b∈(0,a2)时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点, 分别是 x1=- b,x2= b. 当0≤a≤1时,f(x)的图象如图所示. 易知函数y=f(x)-b最多有一个零点. 当a>1时,f(x)的图象如图所示. 当b∈(a2,a3]时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点, 3 分别是 x1= b,x2= b. 综上,a∈(-∞,0)∪(1,+∞). 答案 (-∞,0)∪(1,+∞)
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考点突破 考点一 函数与方程 [微题型3] 根据函数零点的存在情况,求参数 规律方法 已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路: (1)直接法,直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确 定参数范围;

(2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值域问题加以
解决; (3)数形结合,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中, 画出函数的图象,然后观察求解.
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考点突破 考点一 函数与方程
【训练 1】(1)(2014· 湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时, f(x)=x2-3x.则函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2- 7,1,3} D.{-2- 7,1,3}

解析 (1)当x≥0时,f(x)=x2-3x, 令g(x)=x2-3x-x+3=0,得x1=3,x2=1. 当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)2-3(-x), ∴-f(x)=x2+3x, ∴f(x)=-x2-3x. 令g(x)=-x2-3x-x+3=0, 得 x3=-2- 7,x4=-2+ 7>0(舍), ∴函数 g(x)=f(x)-x+3 的零点的集合是{-2- 7,1,3}, 故选D.
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考点突破 考点一 函数与方程
【训练 1】(2)(2015· 安徽皖北四校联考)已知函数 x ? ?2 -a,x≤0, f(x)=? (a∈R),若函数 f(x)在 R 上有两个零点,则 a ?2x-1,x>0 ? 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-∞,1] C.[-1,0) D.(0,1]

(2)当x>0时,由f(x)=0, 1 即2x-1=0, 解得 x=2. 当x≤0时,由题意可得f(x)有一个零点,故a=2x, 因为x≤0,所以2x∈(0,1], 所以a的取值范围为(0,1],所以选D. 答案 (1)D (2)D
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考点突破 考点二 二次函数的零点问题
【例 2】已知函数 f(x)=x2+ax+2,a∈R. (1)若不等式 f(x)≤0 的解集为[1,2],求不等式 f(x)≥1-x2 的解集; (2)若函数 g(x)=f(x)+x2+1 在区间(1,2)上有两个不同的零点,求 实数 a 的取值范围.



(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2],

所以a=-3,于是f(x)=x2-3x+2.
由f(x)≥1-x2,得2x2-3x+1≥0,
1 解得 x≤ 或 x≥1, 2
? ? 1 ? 所以不等式 f(x)≥1-x 的解集为?x?x≤2 或x≥1 ?. ? ?
2

第13页

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考点突破 考点二 二次函数的零点问题
【例 2】已知函数 f(x)=x2+ax+2,a∈R. (1)若不等式 f(x)≤0 的解集为[1,2],求不等式 f(x)≥1-x2 的解集; (2)若函数 g(x)=f(x)+x2+1 在区间(1,2)上有两个不同的零点,求 实数 a 的取值范围.



? ?g(2)>0, 则? a 1<- <2, 4 ? ?Δ=a -24>0,
2

(2)函数g(x)=2x2+ax+3在区间(1,2)上有两个不同的零点, g(1)>0, a+5>0,

? ?2a+11>0, 即? -8<a<-4, ? ?a<-2 6或a>2

6,

解得-5<a<-2 6.
所以实数 a 的取值范围是(-5, -2 6).
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考点突破 考点二 二次函数的零点问题

规律方法

解决与二次函数有关的零点问题: (1)可利用一元二次方程的求根公式;

(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系;
(3)利用二次函数的图象列不等式组.

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考点突破 考点二 二次函数的零点问题
【训练 2】已知 f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比 1 大,一 个零点比 1 小,求实数 a 的取值范围.



法一

设方程

法二

函数图象大致如图,

x2+(a2-1)x+(a-2)=0
的两根分别为x1,x2(x1<x2), 则(x1-1)(x2-1)<0,

∴x1x2-(x1+x2)+1<0,
由根与系数的关系, 得(a-2)+(a2-1)+1<0, 即a2+a-2<0, ∴-2<a<1.
第16页

则有f(1)<0, 即1+(a2-1)+a-2<0,

得a2+a-2<0,
∴-2<a<1. 故实数a的取值范围是(-2,1).
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考点突破 考点三 函数模型的应用
【例 3】某旅游景点预计 2017 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 1 p(x)(单位:万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈ 2 N*,且 x≤12).已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位:元)与 x 的近 35-2x (x∈N*,且1≤x≤6), ? ? 似关系是 q(x)=?160 (1)写出 2017 年第 * (x∈N ,且7≤x≤12). ? x ? x 个月的旅游人数 f(x)(单位:人)与 x 的函数关系式;(2)试问 2017 年 第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元?

解 (1)当x=1时,f(1)=p(1)=37, 当2≤x≤12,且x∈N*时,f(x)=p(x)-p(x-1) 1 1 = x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x)=-3x2+40x, 2 2 验证x=1也满足此式,所以f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且1≤x≤12).
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考点突破 考点三 函数模型的应用
【例 3】某旅游景点预计 2017 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 1 p(x)(单位:万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈ 2 N*,且 x≤12).已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位:元)与 x 的近 35-2x (x∈N*,且1≤x≤6), ? ? 似关系是 q(x)=?160 (2)试问 2017 年 * (x∈N ,且7≤x≤12). ? x ? 第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元?

(2)第x个月旅游消费总额为 2 * ( - 3 x + 40 x )(35 - 2 x ) ( x ∈ N ,且1≤x≤6), ? ? g(x)=? 160 2 * ( - 3 x + 40 x )· ( x ∈ N ,且7≤x≤12), ? ? x 3 2 * ? ?6x -185x +1 400x (x∈N ,且1≤x≤6), 即 g(x)=? ?-480x+6 400 (x∈N*,且7≤x≤12). ?
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考点突破 考点三 函数模型的应用
【例 3】某旅游景点预计 2017 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 1 p(x)(单位:万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈ 2 N*,且 x≤12).已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位:元)与 x 的近 35-2x (x∈N*,且1≤x≤6), ? ? 似关系是 q(x)=?160 (2)试问 2017 年 * (x∈N ,且7≤x≤12). ? x ? 第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元?

①当1≤x≤6,且x∈N*时,g′(x)=18x2-370x+1 400, 140 令 g′(x)=0,解得 x=5 或 x= (舍去). 9 当1≤x<5时,g′(x)>0, 当5<x≤6时,g′(x)<0, ∴当x=5时,g(x)max=g(5)=3 125(万元).
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考点突破 考点三 函数模型的应用
【例 3】某旅游景点预计 2017 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 1 p(x)(单位:万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈ 2 N*,且 x≤12).已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位:元)与 x 的近 35-2x (x∈N*,且1≤x≤6), ? ? 似关系是 q(x)=?160 (2)试问 2017 年 * (x∈N ,且7≤x≤12). ? x ? 第几个月旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为多少元?

②当7≤x≤12,且x∈N*时,g(x)=-480x+6 400是减函数,

∴当x=7时,g(x)max=g(7)=3 040(万元).
综上,2017年5月份的旅游消费总额最大, 最大旅游消费总额为3 125万元.
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考点突破 考点三 函数模型的应用

规律方法 (1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,

这时就需要构建分段函数模型,如出租车的票价与路程的函
数就是分段函数. (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性 等方法.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值, 然后比较得最大值、最小值.

第21页

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考点突破 考点三 函数模型的应用 【训练3】(2016· 武汉检测)某汽车销售公司在A,B两地销售同 一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x- 0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量 (单位:辆),若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车,则能 获得的最大利润是( ) A.10.5万元 B.11万元 C.43万元 D.43.025万元 (2)见下页

解析 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆, 则在B地销售该品牌的汽车(16-x)辆, 所以可得利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x) 2 21 21 =-0.1x2+2.1x+32 =-0.1(x- )2+0.1× +32. 2 4 因为x∈[0,16]且x∈N, 所以当 x=10或11时,总利润取得最大值43万元. 答案 C
第22页

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课堂小结

思想方法 1.判定函数零点的常用方法有: (1)解方程f(x)=0;(2)零点存在性定理;(3)数形结合. 2.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交 点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数 值域问题. 3.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次 函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值. 4.解函数应用题的四个步骤: ①审题;②建模;③解模;④还原.

第23页

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课堂小结

易错防范 1.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不 是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性 或结合函数图象. 2.在解应用题建模后一定要注意定义域,建模的关键是注

意寻找量与量之间的相互依赖关系.
3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.

第24页

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(见教辅)

第25页

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考点突破 考点二 二次函数的零点问题
2 e 备用题 已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). x (1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; 利用数形结合 (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

e2 解 (1)法一 ∵g(x)=x+ ≥2 e2=2e, x 故g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需m≥2e,

则y=g(x)-m就有零点. e2 法二 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象 x 如图. 可知若使y=g(x)-m有零点,

y=m

则只需m≥2e.
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考点突破 考点二 二次函数的零点问题
2 e 备用题 已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). x (1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; 利用数形结合 (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异实根, m-1+e2 即y=g(x)与y=f(x)的图象有两个不同的交点, e2 作出 g(x)= x+ (x> 0)的大致图象,如图. x y=f(x) ∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2. ∴其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2. 故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时, g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. ∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
第27页

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