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3.2一元二次不等式及其解法②恒成立


曹县三桐中学高二数学导学提纲 必修 5

导学提纲编号 GAOERSHUXUEBIXIU5-32 版面 A5

§3.2 一元二次不等式及其解法 ——不等式的恒成立问题导学提纲 2017.10.18
学习目标: 能够求解不等式恒成立问题. 重难点: 不等式恒成立问题灵活解答. 导:一元二次不等式的解法. 思:思考下面的问题: ★对于二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在实数集 R 上恒成立问题可利用判别式直接求

?a ? 0 ?a ? 0 解,即 f ( x) ? 0恒成立 ? ? ; f ( x) ? 0恒成立 ? ? . ?? ? 0 ?? ? 0
1.不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(≥0,<0,≤0) 的解是全体实数的条件是什么? [尝试解答]

2.设函数 f ( x) ? mx2 ? mx ?1. (1)若对于一切实数 x , f ( x) ? 0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x ??1,3? , f ( x) ? ?m ? 5 恒成立,求 m 的取值范围. [尝试解答]

数学必修 5 导学提纲 3.2 不等式的恒成立问题

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3.利用二次函数的图像与性质: 任何一个一元二次不等式总可以化为 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的形式,由二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图像和性质,我们不难得出以下结论:不等式
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 在区间 ?m, n? 上恒成立的等价条件是
? ? ??≥0 ??≥0 ? ? ? f (n) ? 0, 或 ? f (m) ? 0, 或? ? 0 . ? b ? b ?? ?? ?n ?m ? 2a ? 2a

如:已知 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ???2, 2? , f ( x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围. [尝试解答]

4.高考命题角度一构造函数法 在解决不等式恒成立问题时,一种最重要的思想方法就是构造适当的函数,即构造函 数法,然后利用相关函数的图象和性质解决问题,同时注意在一个含多个变量的数学问题 中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题面目更加清晰明了,一般来 说,已知存在范围的量视为变量,而待求范围的量视为参数.例如; 例 1. 已知不等式 2 x ? 1 ? m ? x 2 ? 1? 对任意的 m ???2,2? 都成立,求 x 的取值范围. [尝试解答]
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5.(选做)高考命题角度二分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中,当不等式中的参数(或关于参数的代数式)能够与其 它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数(或代数式)的最值或范围可求 时,常用分离参数法. 例 2. 已知函数 f ( x) ? ln ? e x ? a ? ( a 为常数) 是实数集 R 上的奇函数, 函数 g ( x) ? ? x ? cos x
? ? 2? ? 在区间 ? , ? 上是减函数. ?3 3 ?

(1)求 a 的值与 ? 的范围;
? ? 2? ? (2)若对(1)中所得的任意实数 ? 都有 g ( x)≤?t ? 1 在 ? , ? 上恒成立,求实数 t 的取值范 ?3 3 ?

围. [尝试解答]

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议:对议思中的内容 展:展台展示思中的内容 评:

检: 1.若关于 m 的不等式 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ?1 ≥0 的解集为空集,求 m 的取值范围. 改(1):解集非空 改(2):解集为一切实数 涉及的知识点: (一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系(掌握并应用) ) 2.(1)若关于 x 的不等式 ax 2 ? 2 x ? 2 ? 0 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围. (2)不等式 ax2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2 x 2 对一切 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围. 涉及的知识点: (一元二次不等式的解法(掌握) 、一元二次不等式、一元二次函数及一元 二次方程的关系(掌握并应用) )

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