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2013届高三理科数学高考专题训练10 三角函数的图象与性质 Word版含答案]


高考专题训练十
班级_______ 姓名_______

三角函数的图象与性质
时间: 45 分钟 分值: 75 分 总得分________

一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小 题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项填在答题卡上. 1.(2011· 黑龙江省哈六中一模)设 ω>0,函数 y=sin(ωx+φ)(- π π<φ<π)的图象向左平移 个单位后,得到下面的图象,则 ω,φ 的值 3 为( )

A.ω=1,φ=

2π 3 π 3

B.ω=2,φ=

2π 3

C.ω=1,φ=-

π D.ω=2,φ=- 3

? 2π? π 解析: 由图象可得 y = sin ?2x- 3 ? ,向右平移 个单位为 y = 3 ? ? ? 2π? 2π sin?2x+ 3 ?,与 y=sin(ωx+φ)对照可得 ω=2,φ= . 3 ? ?

答案:B 2. (2011· 济南市 2 月高三模拟)为了得到函数 y=sin2x+cos2x 的 图象,只需把函数 y=sin2x-cos2x 的图象( π A.向左平移 个长度单位 4 π B.向右平移 个长度单位 4 )

π C.向左平移 个长度单位 2 π D.向右平移 个长度单位 2
? π? 解析:y=sin2x+cos2x= 2sin?2x+4?, ? ? ? π? y= sin2x- cos2x= 2sin?2x-4? ,只需把函数 y= sin2x- cos2x ? ?

π 的图象向左平移 个长度单位,即可得到 y=sin2x+cos2x 的图象. 4 答案:A 3.(2011· 南昌一模)若 f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数 t 都有
?π ? ?π ? ?π? f?8+t?=f?8-t?,且 f?8?=-3,则实数 m 的值等于( ? ? ? ? ? ?

)

A.-1 C.-5 或-1

B.± 5 D.5 或 1

π 解析:依题意得,函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称,于是当 x 8 π = 时,函数 f(x)取得最值,因此有± 2+m=-3,m=-3?2,m=- 8 5 或 m=-1,选 C. 答案:C 4. (2011· 陕西省高考摸底试题)将函数 y=sinx 的图象上的所有的 点向右平行移动 π 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 10 )
? ? ?

2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是(
? π? A.y=sin?2x-10? ? ? ? ? ?1 π? C.y=sin?2x-10?

? π? B.y=sin?2x-5? ?1 π? D.y=sin?2x-20? ?

解析:

答案:C 5. (2011· 济宁市高三 2 月模拟)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG 是边长 为 2 的等边三角形,则 f(1)的值为( )

A.- C. 3

3 2

B.-

6 2

D.- 3

解析:由函数为奇函数,且 0<φ<π, π 可知 φ= ,则 f(x)=-Asinωx, 2 由图可知 A= 3,T=4,故 ω= π 2

π 所以 f(x)=- 3sin x,f(1)=- 3. 2 答案:D

6 . (2011· 江西师大附中、临川一中联考 ) 已知简谐振动 f(x) =
? π? 3 Asin(ωx+φ)?|φ|<2?的振幅为 ,其图象上相邻的最高点和最低点间的 2 ? ? ? 3? 距离是 5,且过点?0,4?,则该简谐振动的频率和初相是( ? ?

)

1 π A. , 8 6 1 π C. , 8 3

1 π B. , 6 6 π π D. , 6 3
?T?2 ? ? +32 ?2?

3 解析: 记 f(x)的最小正周期为 T, 则依题意得 A= , 2

1 1 3 3 1 π =5,∴T=8,频率为T= .又 f(0)= sinφ= ,∴sinφ= ,而|φ|< , 8 2 4 2 2 π 因此 φ= .故选 A. 6 答案:A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在题中横线上. 7 . (2011· 重庆市调研第二次抽测试卷 ) 有一学生对函数 f(x) = 2xcosx 进行了研究,得到如下四条结论: ①函数 f(x)在(-π,0)上单调递增,在(0,π)上单调递减; ②存在常数 M>0,使|f(x)|≤M|x|对一切实数 x 均成立;
?π ? ③函数 y=f(x)图象的一个对称中心是?2,0?; ? ?

④函数 y=f(x)图象关于直线 x=π 对称. 其中正确结论的序号是________.(写出所有你认为正确的结论 的序号)

?π? π π 3π ?π? π π 解析:对于①,注意到 f?6?=2× cos = ,f?3?=2× cos = 6 6 6 3 3 ? ? ? ? ?π? ?π? π π π ,0< < <π,且 f?6?<f?3?,因此函数 f(x)在(0,π)上不是减函数,① 3 6 3 ? ? ? ?

不正确.对于②,注意到|f(x)|=|2xcosx|≤2|x|,因此②正确.对于③,
?π ? 若 f(x)的图象的一个对称中心是?2,0?,由 f(0)=0,点(0,0)关于点 ? ? ?π ? ? ,0?的对称点是(π,0),由 f(π)=2πcosπ=-2π≠0,即点(π,0)不 ?2 ? ?π ? 在函数 f(x)的图象上,因此?2,0?不是函数 f(x)的图象的对称中心, ? ?

③不正确.对于④,若 f(x)的图象关于直线 x=π 对称,则 f(0)=0, 点(0,0)关于直线 x=π 的对称点是(2π,0),f(2π)=4πcos2π=4π≠0, 即点(2π,0)不在函数 f(x)的图象上,因此直线 x=π 不是函数 f(x)的 图象的对称轴,故④不正确.综上所述,其中正确命题的序号是②. 答案:② 8.(2010· 河北省石家庄市高三调研考试)已知定义域为 R 的函数
?π? f(x)对任意实数 x, y 满足 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy, 且 f(0)=0, f?2? ? ?

=1.给出下列结论:
?π? 1 ①f?4?= ;②f(x)为奇函数;③f(x)为周期函数; ? ? 2

④f(x)在(0,π)内单调递减.其中正确结论的序号是________.
?π? ?π? ?π? π π 2 解析: 在原式中令 x=y= , 得 f?2?+f(0)=2f?4?cos , ∴f?4?= , 4 4 2 ? ? ? ? ? ?

故①错误;在原式中令 x=0,得 f(y)+f(-y)=0,∴函数 f(x)为奇函
? π? ? π? π 数, 故②正确; 在原式中令 y= , 得 f?x+2?+f?x-2?=0, ∴f(x+2π) 2 ? ? ? ?

+f(x+π)=0,即 f(x+π)=-f(x+2π),在原式中再令 y=π,得 f(x

+π)+f(x-π)=-2f(x), ∴ f(x + 2π) + f(x) =- 2f(x + π) ,∴ f(x + 2π) + f(x) =- 2[ - f(x + 2π)], 即 f(x+2π)=f(x), ∴f(x)是以 2π 为周期的周期函数, 故③正确;
?π? 2 ?π? ④由 f?4?= , f? ?=1 即可知 f(x)在(0, π)内不是减函数, 故④错误. 2 ?2? ? ?

答案:②③ 9.(2011· 江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+φ),(A,ω,φ 是常数,A>0, ω>0)的部分图象如图所示,则 f(0)=________.

?7π π? 解析:由图象知 A= 2,T=4?12-3?=π, ? ?

∴ω=2, π π 则 f(x)= 2sin(2x+φ),由 2× +φ= ,得 12 2
? π? π φ= ,故 f(x)= 2sin?2x+3? 3 ? ?

π 6 ∴f(0)= 2sin = . 3 2 答案: 6 2
? ?

? π? 10. (2011· 辽宁)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?, y=f(x) ?π? 的部分图象如下图,则 f?24?=________. ? ?

π π π 解析:从图可看出周期 T= ,∴ω= ,ω=2. 2 2 又 f(x)=Atan(2x+φ)
?3 ? 3 x= π 时,Atan?4π+φ?=0 8 ? ? ?3 ? π π tan?4π+φ?=0,|φ|< ,∴φ= . 2 4 ? ? ? π? π ∴f(x)=Atan?2x+4?.取 x=0,Atan =1, 4 ? ? ? π? ∴A=1,∴f(x)=tan?2x+4?. ? ? ?π? ? π π? π f?24?=tan?12+4?=tan = 3. 3 ? ? ? ?

答案: 3 三、解答题:本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 11.(12 分)(2011· 潍坊 2 月模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+
? π? φ)?x∈R,A>0,ω>0,0<φ<2?的部分图象如图所示. ? ?

(1)求 f(x)的解析式;
?? π ?? ? π π? (2)设 g(x)=?f?x-12??2,求函数 g(x)在 x∈?-6,3 ?上的最大值, ?? ?? ? ?

并确定此时 x 的值. 2π π 3 T π 解:(1)由图知 A=2, = ,则 ω =4× ,∴ω= . 4 3 3 2
?3 ? π? ? ? π? 又 f?-6?=2sin?2×?-6?+φ? ? ? ? ? ? ? ? π ? =2sin?-4+φ?=0, ? ? ? π? ∴sin?φ-4?=0, ? ?

π π π π ∵0<φ< ,- <φ- < , 2 4 4 4 π π ∴φ- =0,即 φ= , 4 4
?3 π? ∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+4?. ? ? ?3? π ? π? ? π? (2)由(1)可得 f?x-12?=2sin?2?x-12?+4? ? ? ? ? ? ? ?3 π? =2sin?2x+8?, ? ?

? π? 1-cos?3x+4? ?? π ?? ? ? ∴g(x)=?f?x-12??2=4× 2 ?? ?? ? π? =2-2cos?3x+4?, ? ? ? π π? ∵x∈?-6,3?, ? ?

π π 5π ∴- ≤3x+ ≤ , 4 4 4 π π ∴当 3x+ =π,即 x= 时,g(x)max=4. 4 4 12. (13 分)(2011· 合肥市高三第二次质检)将函数 y=f(x)的图象上 1 π 各点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变),再向左平移 个单位后, 2 12 得到的图象与函数 g(x)=sin2x 的图象重合. (1)写出函数 y=f(x)的图象的一条对称轴方程;
?A? 1 (2)若 A 为三角形的内角,且 f(A)= ,求 g? 2 ?的值. 3 ? ?

解:(1)由题意可知,将函数 g(x)=sin2x 的图象向右平移

π 个单 12

位,再将横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,即可得到函数 f(x) 的图象,
? π? ∴f(x)=sin?x-6?. ? ?

π π 2π 由 x- =kπ+ ,得 x=kπ+ (k∈Z). 6 2 3 故函数 f(x)的对称轴方程为 x=kπ+ (只要写出一个对称轴方程即可) 2π (k∈Z). 3

? π? 1 1 (2)由 f(A)= ,得 sin?A- 6?= . 3 ? ? 3

π π 5π ∵0<A<π,∴- <A- < , 6 6 6
? π? 1 1 又 0<sin?A- 6?= < , ? ? 3 2 ? π? 2 2 π π ∴0<A- < ,∴cos?A- 6?= . 6 2 3 ? ? ?? π? π? 1 ?A? 3 2 2 1 2 2+ 3 ∴g? 2 ?=sinA=sin??A- 6?+6?= × + × = . ? 2 3 2 6 ? ? ?? ? 3


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