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力学竞赛辅导---压杆稳定


材 料 力 学

第九章
压 杆 稳 定

2015年7月15日

1

第九章

压杆稳定

本章内容: 1 压杆稳定的概念 2 两端铰支细长压杆的临界压力 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 4 欧拉公式的适用范围 经验公式 5 压杆的稳定校核



6 提高压杆稳定性的措施
2

?

平衡的稳定性

?
?

稳定平衡

?

不稳定平衡

?

随遇平衡

压杆的平衡 稳定性
当 P ? Pcr 当 P ? Pcr
3

?

压杆的平衡 稳定性 当 F ? Pcr
当 F ? Fcr

当 F ? Fcr时, 压杆的直线平衡状态是稳定的。 直线平衡状态转变为不稳定的, ? 当 F ? Fcr时, 受干扰后成为微弯平衡状态。 ? 临界压力 Pcr 使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力, 也是在微弯平衡状态下的最小压力。 4
?

§9. 2 两端铰支细长压杆的临界压力
?

?

两端铰支杆受压 力F作用 考察微弯平衡状态

? EI ? 欧拉公式 Fcr ? 2
2

l

5

§9. 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
1 一端固支一端自由的压杆

由两端铰支压杆的临界 压力公式

Fcr ?

? EI
2

(2l )

2

6

2 一端固支一端滑动固支 (简称为两端固支) 拐点处弯矩为零。 由两端铰支压杆的临界 压力公式 拐点 2

Fcr ?

? EI
?l? ? ? ?2?
2

3 一端固支一端铰支
7

3 一端固支一端铰支 由两端铰支压杆的临界 压力公式

Fcr ?

? EI
2

(0.7l )
2

2

4 欧拉公式的普遍形式

? EI Fcr ? 2 (? l )
? l ?? 相当长度; ? ?? 长度系数。
拐点
8

4 欧拉公式的普遍形式

? EI Fcr ? 2 (? l )
2

? l ?? 相当长度; ? ?? 长度系数。

表14.1 压杆的长度系数 ?
压杆的约束条件 两端铰支 一端固支一端自由 两端固支 一端固支一端铰支 长度系数

?=1 ?=2 ? = 1/2 ? ? 0.7

9

§9. 4 欧拉公式的适用范围 经验公式
1 临界应力 ? 临界压力

? EI F cr ? 临界应力 ? ? cr ? 2 A (? l ) A 2 将惯性矩写为 i ? 惯性半径 I ?i A 2 2 2 ? Ei A ? E ? cr ? ? 2 2 (? l ) A ? ? l ? ? ? ? i ?
2
10

? EI Fcr ? 2 (? l )
2

i ? 惯性半径 I ?i A 2 2 2 ? Ei A ? E ? cr ? ? 2 2 (? l ) A ? ? l ? ? ? ? i ? ?l ? 柔度 (长细比) ?? i 将惯性矩写为
2

柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数,它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。
11

?

柔度 (长细比)

??

?l
i

柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数,它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。 则临界应力为

2 欧拉公式的适用范围

? E ? cr ? 2 ?
2

?? 欧拉公式

导出欧拉公式用了挠曲线近似微分方程
要求材料满足胡克定律

? cr ? ? p
12

2 欧拉公式的适用范围

? E ?1 ? ?P
2

则欧拉公式成立的条件为:

可以看出:?1 只与材料的性质有关。

? ? ?1

13

记:

? E ?1 ? ?P
2

则欧拉公式成立的条件为:

可以看出:?1 只与材料的性质有关。 ? 对A3钢:E = 206 GPa,?p = 200 Mpa 3 直线经验公式 对于 ?cr ? ?p 的情况,欧拉公式不成立。 工程上使用经验公式。
?

? ? ?1

? 1 ? 100

直线经验公式

? cr ? a ? b?

14

3 直线经验公式 对于 ?cr ? ?p 的情况,欧拉公式不成立。 工程上使用经验公式。
?

直线经验公式

? cr ? a ? b?
a(MPa) b(MPa)
304 461 332.2 28.7 1.12 2.568 1.454 0.190

式中, a, b是与材料有关的常数(表14.2, p162)。 材料
A3钢 ?s=235MPa 优质碳钢?s=306MPa 铸铁 松木

?1
102 95 70 80
15

?

直线经验公式

? cr ? a ? b? ? cr ? a ? b? ? ? s

式中,a, b 是与材料性质有关的常数。
?

直线经验公式的适用范围 用直线经验公式时,应有

记:

a ??s ?? b a ??s ?2 ? b

则直线经验公式的适用范围为:
?

当 ? ? ?2 时,就发生强度失效,而不是失稳。 16

? 2 ? ? ? ?1

记:

a ??s ?2 ? b

则直线经验公式的适用范围为:
?

当 ? ? ?2 时,就发生强度失效,而不是失稳。

? 2 ? ? ? ?1

所以应有:

4 压杆分类 不同柔度的压杆,需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类 (1) 大柔度杆(细长杆) (2) 中柔度杆

F ? cr ? ? ? s A

? ? ? 1 的压杆 ? 2 ? ? ? ? 1 的压杆

17

4 压杆分类 不同柔度的压杆,需应用不同的临界应力的公 式。可根据柔度将压杆分为三类 (1) 大柔度杆(细长杆) (2) 中柔度杆 (3) 小柔度杆(短粗杆) 5 临界应力总图

? ? ? 1 的压杆 ? 2 ? ? ? ? 1 的压杆 ? ? ? 2 的压杆

18

5 临界应力总图

小柔度杆

中 柔 度 杆

大柔度杆
19

?

临界应力计算的小结 ? 对 ? ? ? 1 的大柔度压 杆,临界应力公式为

?

? 1 ? ? ? ? 2 的中柔度压杆,临界应力公式为

? E ? cr ? 2 ?
2

? cr ? a ? b?
?

? 2 ? ? 的小柔度压杆,临界应力公式为

P ? cr ? A

20

?

? 1 ? ? ? ? 2 的中柔度压杆,临界应力公式为
? 2 ? ? 的小柔度压杆,临界应力公式为

? cr ? a ? b?
F ? cr ? A

?

6 抛物线经验公式 抛物线经验公式为

? cr ? a1 ? b1?

2

式中,a1 , b1 是与材料性质有关的常数。
?

说明 若压杆的局部有截面被削弱的情况,则:
21

6 抛物线经验公式 抛物线经验公式为

? cr ? a1 ? b1?

2

式中,a1 , b1 是与材料性质有关的常数。
?

说明 若压杆的局部有截面被削弱的情况,则: 进行稳定性计算时,可忽略若压杆的局部削 弱,仍用原来截面的面积和惯性矩计算临界 应力; ? 进行强度计算时,应按削弱后的面积计算。
?
22

§9. 5 压杆的稳定校核
?
? ?

工作安全系数
稳定安全系数

Fcr n? P nst Fcr n? ? nst F

稳定校核 满足稳定性要求时,应有:

?

稳定安全系数与强度安全系数的取值

强度安全系数取值 1.2 ~ 2.5,有时可达 3.5; ? 稳定安全系数取值 2 ~ 5,有时可达 8 ~10。
?
23

?

稳定安全系数与强度安全系数的取值

强度安全系数取值 1.2 ~ 2.5,有时可达 3.5; ? 稳定安全系数取值 2 ~ 5,有时可达 8 ~10。 ? 压杆稳定问题的解题步骤 1 稳定校核问题 1) 计算 ? 1 ,? 2,? ; 2) 确定属于哪一种杆(大柔度,中柔度, 小柔度) ; 3) 根据杆的类型求出 ?cr 和 Fcr ; 4) 计算杆所受到的实际压力 F; 5) 校核 n = Fcr /F ? nst 是否成立。 24
?

1 稳定校核问题 1) 计算 ? 1 ,? 2,? ; 2) 确定属于哪一种杆(大柔度杆,中柔度杆, 小柔度杆) ; 3) 根据杆的类型求出 ?cr 和 Fcr ; 4) 计算杆所受到的实际压力 F; 5) 校核 n = Fcr /P ? nst 是否成立。 2 确定许可载荷 前3步同稳定校核问题; 4) F ? Fcr / nst 。
25

2 确定许可载荷 前3步同稳定校核问题; 4) P ? Pcr / nst 。

3 截面设计问题 1) 计算实际压力 P ; 2) 求出 Pcr: Pcr = nst P; 3) 先假设为大柔度杆,由欧拉公式求出 I, 进一步求出直径 d (若为圆截面杆) ; 4) 计算 ? 1 和 ? ; 5) 检验 ? ? ? 1 是否成立。若成立,则结束;
26

? EI Pcr ? 2 (? l )
2

3) 先假设为大柔度杆,由欧拉公式求出 I, 进一步求出直径 d (若为圆截面杆) ; 4) 计算 ? 1 和 ? ; 5) 检验 ? ? ? 1 是否成立。若成立,则结束; 6) 若 ? ? ? 1 不成立,则设为中柔度杆,按经 验公式求出直径 d (若为圆截面杆) ;

? cr ? a ? b?

7) 计算 ? 2 ; 8) 检验 ? ? ? 2 是否成立。 若成立,则结束。
27

Pcr ?l ? a ?b A i

d

6) 若 ? ? ? 1 不成立,则设为中柔度杆,按经 验公式求出直径 d (若为圆截面杆) ;

? cr ? a ? b?

7) 计算 ? 2 ; 8) 检验 ? ? ? 2 是否成立。 若成立,则结束。
?

Pcr ?l ? a ?b A i

d

稳定性计算的折减系数法

N 按静强度设计的方法设计受压杆 ?? ? f A 这里,? 称为稳定系数,与材料、截面形状及
柔度有关;f 为强度设计值,与材料有关。 28

§9. 6 提高压杆稳定性的措施
1 选择合理的截面形状

? EI Fcr ? , 2 (? l )
2

?l ? E ? cr ? 2 , ? ? i ?
2

截面的惯性矩 I 越大,或惯性半径 i 越大, 就越不容易失稳,即稳定性越好。 所以,应选择合理的截面形状,使得:
?

在截面积相等的情况下,使 I 或 i 较大;
29

所以,应选择合理的截面形状,使得:
?

在截面积相等的情况下,使 I 或 i 较大;

?

各纵向平面内的约束情况相同时, 应使对各形心轴的 I 或 i 接近相等。 两纵向对称平面内的约束情况不相同时, 应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等。 30

?

?

两纵向对称平面内的约束情况不相同时 应使在两个形心主惯性平面内的柔度接近相等.

31

2 改变压杆的约束条件 ? 约束越强,越不容易失稳

32

3 合理选择材料
?

对大柔度杆 选用E大的材 料,可提高临 界压力值。 钢压杆比铜、 铸铁或铝压杆 的临界压力大。

?s E

但优质钢与普通钢的E差别不大。 ? 对中柔度杆 提高 ?s 可提高临界压力值。

33

34


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