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2014年干一镇初级中学数学竞赛及优录培训19


试题来源:数学备课室

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “ 《数学周报》杯”2010 年全国初中数学竞赛试题
题 得 号 分 一 二 三 总 分

(C) 4 ? 6

(D) 2 ? 2 6

(第 6 题)

7.在一列数 x1,x2,x3, ……中,已知 x1

? 1 ,且当 k≥2 时,
? ? k ? 1? ? k ? 2 ? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 4 ? ? ??? ?? ?? 4 ? ? 4 ??

评卷人 一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 每道小题均给出了代号为 A, B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填 入题后的括号里,不填、多填或错填都得 0 分)
1.下列函数: 小的函数有

(取整符号 ? a ? 表示不超过实数 a 的最大整数, 例如 ? 2.6? ? 2 , , 则 x2010 等 ? 0.2? ? 0 ) 于( ) . (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 8.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(1,1) ,B(2,-1) ,C(-2,-1) , D(-1,1) .y 轴上一点 P(0,2)绕点 A 旋转 180° 得点 P1,点 P1 绕点 B 旋转 180° 得点 P2,点 P2 绕点 C 旋转 180° 得点 P3,点 P3 绕点 D 旋转 180° 得点 P4,……,重复操作依 (D) ? ?a 2 ? 1? 次得到点 P1,P2,…, 则点 P2010 的坐标是( ) . (D) (0,2)
(第 8 题)

1 y ? ?x ; y ? 2 x ; y ? ? ; y ? x 2 .当 x ? 0 时, y 随 x 的增大而减 x

(A)1 个

(B)2 个

(C)3 个

(D)4 个

2.如果 a, b 是任意的两个实数,下列各式的值一定是负数的是

(A) ? b ? 1

(B) ? ?a ? b ?

2

(C) ? a 2 ? b 2

a b a?b 3.若 ? 20, ? 10 ,则 的值为( ) . b c b?c 110 11 21 (A) (B) (C) 21 21 11

(A) (2010,2) (B) (2010, ?2 ) (C) (2012, ?2 ) 二、填空题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

(D)

210 11

4.某超市销售一种计数器,每个售价 48 元。后来,计数器的进价降低了 4%,但售价未 变,从而使超市销售这种计数器的利润提高了 5%,则这种计数器原来每个进价为

(B)38 元; (C) 40 元; (D) 42 元 1 5.若实数 a,b 满足 a ? ab ? b 2 ? 2 ? 0 ,则 a 的取值范围是 ( ) . 2 (A)a≤ ?2 (B)a≥4 (C)a≤ ?2 或 a≥4 (D) ?2 ≤a≤4 6.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=135° , ∠C=120° ,AB= 2 3 ,BC= 4 ? 2 2 ,CD= 4 2 , 则 AD 边的长为( (A) 2 6 ) . (B) 4 6
1

(A) 36 元;

9.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取 8 件产品,对其使用寿命跟踪调查, 结果如下: (单位:年) 甲:3,4,5,6,8,8,8,10 乙:4,6,6,6,8,9,12,13 丙:3,3,4,8,8,10,11,12 三个厂家在广告中都称自己产品的使用寿命是 8 年, 请根据结果判断厂家在广告中分别运 用了平均数、众数、中位数中的哪一个?甲: ,乙: , 丙: 。 10.若 x ? xy ? 2 y ? 1 , y ? xy ? 2 x ? 1 ,则 x ? y 的值为
2 2



11.若 a, b, c 为 ?ABC 的三边长,且 a?a ? b? ? b?b ? c ? ? c?c ? a ? ? 0 ,则此 ?ABC 的 形状是

. .

12.已知 a= 5 -1,则 2a3+7a2-2a-12 的值等于

试题来源:数学备课室

13.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速 行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过 了 10 分钟,小轿车追上了货车;又过了 5 分钟,小轿车追上了客车;再过 t 分钟, 货车追上了客车,则 t= . 14.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O(0,0) ,A(0,6) ,B(4,6) ,C(4,4) ,D(6,4) ,E(6,0) .若直线 l 经过点 M(2,3) ,且将多边形 OABCDE 分割成面积相等的两部分,则直线 l 的 函数表达式是 .

(2)过抛物线上点 A 作直线 AC∥x 轴,交抛物线于另一点 C,求所有满足 △EOC∽△AOB 的点 E 的坐标.

18. 设实数 a, b 满足: 3a2 ? 10ab ? 8b2 ? 5a ? 10b ? 0 , 求 u ? 9a2 ? 72b ? 2 的最小值.

19.如图,△ABC 为等腰三角形,AP 是底边 BC 上的高,点 D 是线段 PC 上的一 点,BE 和 CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径,连接 EF. 求证:
(第 14 题) (第 15 题)

15.如图,射线 AM,BN 都垂直于线段 AB,点 E 为 AM 上一点,过点 A 作 BE 的垂线 AC 分别交 BE, BN 于点 F, C, 过点 C 作 AM 的垂线 CD, 垂足为 D. 若 CD=CF,则
AE ? AD

tan ?PAD ?

EF . BC



16.对于 i=2,3,…,k,正整数 n 除以 i 所得的余数为 i-1.若 n 的最小值 n 0 满足 2000 ? n 0 ? 3000 ,则正整数 k 的最小值为 . 20.实数 a,b 使得关于 x,y 的方程组
2 ? ? xy ? x ? 1 , ? 2 2 ? ? xy ? ax ? bx ? a ? 0

① ②

三、解答题(共 4 题,17、18 每题 15 分,19、20 每题 20 分,共 70 分)
k 17.如图,抛物线 y ? ax 2 ? bx (a ? 0)与双曲线 y ? 相交于点 A,B. 已知点 x

有实数解(x,y). (1)求证: y ≥2; (2)求 a2+b2 的最小值.

A 的坐标为(1,4) ,点 B 在第三象限内,且△AOB 的面积为 3(O 为坐标原点).

(1)求实数 a,b,k 的值;
2


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