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湖北省示范高中宜都一中2008届高三12月周练试题(数学12.9)


湖北省示范高中宜都一中 2008 届高三数学周练试题
班级 学号 姓名 2007-12-09 ( )

0 1.已知直角 ?ABC 中, ?C ? 90 , 2 sin A sin B ? 1 ,则 tan A 的值为

A.

3 3

B.

1

>C.

2 2
M 的值为 N

D.

3
( )

2. 2 loga (M ? 2N ) ? loga M ? loga N ,则 A.

1 4

B.4

C.1

D .4 或 1

b、 c 是常数,则“ a ? 0 且 b2 ? 4ac ? 0 ”是“对任意 x ? R ,有 a x2 ? b x ? c ? 0 ” 3.若 a 、

的 A. 充分不必要条件. C. 充要条件. B. 必要不充分条件. D. 既不充分也不必要条件





3 2 4.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,其导数 f ' ( x) 的图象如右图, 则函数 f ( x) 的极小值是

y
( )

A. a ? b ? c

B. 8a ? 4b ? c

C. 3a ? 2b

D. c

1 0 1 2 5.数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a n ?1 ? a n ? a n ? 1 ,则 a7 =( ) 4 3337 3841 257 777 (第 4 题图) A. 3 B. 3 C. 4 D. 4 4096 4096 4096 4096 4 6. 已知 y ? f ( x) 是偶函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? , 且当 x ? [?3,?1] 时,n ? f ( x) ? m x
恒成立,则 m ? n 的最小值是 A.1 B. ( C. )

x

2 2 7. 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 则 x ? Sn ( ? S2 n ,y ? Sn ( S2 n ? S3n ) 的大小关系是

2 3

1 3

D.

4 3



A.

x? y

B.

x? y

C.

x? y

D. 不确定

2 8.若不等式 x( x ? 8)(8 ? x ) ? ? ( x ? 1) 对于一切实数 x ? ?0,2? 都成立,则实数 ? 的取值

范围是 A.





?1 ? ? ,?? ? ?4 ?

B.

?1 ? ? 4 ,?? ? ? ?

C.

?4,???

D.

?4,???


9.已知实数 a,b 均不为零,

a sin ? ? b cos ? ? b ? tan ? , 且? ? ? ? , 则 等于( a cos ? ? b sin ? 6 a

A. 3

B.

3 3

C.- 3

D.-

3 3

10.数列 ?an ? 满足: a1 ? 整数 n 成立,则 A. 5032

1 1 , a 2 ? ,且 a1a2 ? a2 a3 ? ... ? an an?1 ? na1an?1 对于任何的正 4 5
( C. 5048 .
2

1 1 1 的值为 ? ? .... ? a1 a 2 a97
B. 5044



D. 5050

2 11.若 tan ? ? 2 ,则 2 sin ? ? 3 sin ? cos? =

12.已知 a ? b ? 0 ,而 sin ? 是一元二次方程 ax ? bx ? b ? 0 的根,则 sin ? 的最大值 为 13.已知复数 z ? x ? yi ( x, y ? R) ,且 z ? 2 ? 3 ,则 14.给出下列四个命题: ①函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )与函数 y ? loga a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域相同; ②函数 y ? x3 与 y ? 3x 的值域相同;

y 的最大值 x

1 1 (1 ? 2 x ) 2 ? x 与y? 都是奇函数; 2 2 ?1 x ? 2x ④函数 y ? ( x ?1)2 与 y ? 2x?1 在区间 [0,??) 上都是增函数,
③函数 y ? 其中正确命题的序号是 15. 对于函数 f ( x) ? .(把你认为正确的命题序号都填上)

1 3 a 2 | x | ? x ? (3 ? a) | x | ?b, , 3 2

(1)若 f (2) ? 7 ,则 f (?2) =______。 (2)若 f ( x) 有六个不同的单调区间,则 a 的取值范围为______。

?x ?x (sin ? cos ? a )? ? ( a0 ?, 的 周 0) 期为 ? ,使: 2 2 2 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? m 对任意 x1 , x2 ? R 恒成立的 m 的最小值为 8. (1)求 ? , a 的值;
16 . 设 函 数 f ( x) ? 2a c o s (2)若 f ( x) ? k 在区间 ? 0,

?x

? ?? 内有解,求 k 的值。 ? 3? ?

17.某工厂组织工人参加上岗测试,每位测试者最多有三次机会,一旦某次测试通过,便可 上岗工作,不再参加以后的测试;否则就一直测试到第三次为止。设每位工人每次测试通过 的概率依次为 0.2,0.5,0.5。 (1)求工人甲在这次上岗测试中参加考试次数 ? 的分布列及期望; (2)若有 4 位工人参加这次测试,求至少有一人不能上岗的概率。

18.为庆祝我校 70 周年,教师足球队与学生足球队进行一场足球对抗赛. 学生甲带着球, 以 9 米/秒的速度向正南方向走,看到学生乙正好在他的正南方 21 米处,此时学生乙以 6 米/秒的速度向南偏东 60 ? 方向走, 学生甲想离学生乙最近的时候把球传给他.问经过多少时 间后,两位学生相距最近,并求出两位学生的最近距离.

19. (2~11 班学生做)设定义在 ?0,??? 上的函数 f ( x) 满足:①对于任意的 a、b,都有

f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? p ,其中: p 为正实数;② f (2) ? p ? 1 ;③当 x ? 1 时,总有 f ( x) ? p .
(Ⅰ)求 f (1) 及 f ( ) 的值; (用含 p 的式子表示) ; (Ⅱ)求证: f ( x) 在 ?0,??? 上为减函数; (Ⅲ)设 an ? f (2 n )(n ? N * ) ,数列 ?an ? 的前 n 项的和为 S n ,当且仅当 n =5 时, S n 取得最大值,求 p 的取值范围。 (1 班学生做)设函数 f ( x) ? x | x ? a | ?b 。 (Ⅰ)求证: f ( x) 为奇函数的充要条件是 a ? b ? 0 ;
2 2

1 2

(Ⅱ)设常数 b ? 2 2 ? 3 ,且对任意 x ? [0,1], f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

20. (本小题满分 13 分) (2~11 班学生做)设函数 f ( x) ? x | x ? a | ?b 。 (Ⅰ)求证: f ( x) 为奇函数的充要条件是 a ? b ? 0 ;
2 2

(Ⅱ)设常数 b ? 2 2 ? 3 ,且对任意 x ? [0,1], f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 (1 班学生做)在直角坐标平面上,O 为原点,M 为动点,| OM |? 5 , ON ?

2 5 OM . 过 5

点 M 作 MM1⊥y 轴于 M1,过 N 作 NN1⊥x 轴于点 N1, OT ? M1 M ? N1 N . 记点 T 的轨 迹为曲线 C,点 A(5,0) 、B(1,0) ,过点 A 作直线 l 交曲线 C 于两个不同的点 P、Q(点 Q 在 A 与 P 之间). (1)求曲线 C 的方程;

(2)证明不存在直线 l,使得|BP|=|BQ|; (3)过点 P 作 y 轴的平行线与曲线 C 的另一交点为 S,若 AP ? t AQ ,证明 SB ? t BQ.

21、已知函数 f ( x) ? ln( x ? ) ? (I)求函数 f(x)的单调区间;

3 2

2 , g ( x) ? ln x . x

(II)如果关于 x 的方程 g ( x) ?

1 x ? m 有实数根,求实数 m 的取值集合; 2

(Ⅲ)是否存在正数 k,使得关于 x 的方程 f ( x) ? kg( x) 有两个不相等的实数根?如果 存在,求 k 满足的条件;如果不存在,说明理由.

参考答案
1~10:BBADB ABDBB

2 5 ?1 ;12、 ; 13、 3 ; 14、①③; 15、 (1)7, (2) (2,3) 5 2 16. (1) ? ? 2, a ? 2 2 ; (2) k ? 6 ? 2 1 17. (1) ? 的取值为 1、2、3。 P ?? ? 1? ? 5 ? 1? 1 2 ? 1 ?? 1 ? 2 P?? ? 2? ? ?1 ? ? ? ? P?? ? 3? ? ?1 ? ??1 ? ? ? ? 5? 2 5 ? 5 ?? 2 ? 5 故工人甲在这次上岗测试参加考试次数 g 的分布列
11、

?
P

1

2

3

1 5
5 5 5

2 5

2 5
(6 分) (8 分)

? E? ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 11
5
(2)每位工人通过测试的概率为 1 ? ?1 ? 每位工人不能通过测试的概率为

? ?

1 ?? 1 ?? 1 ? 4 ??1 ? ??1 ? ? ? 5 ?? 2 ?? 2 ? 5

1 5

至少有一人不能通过测试的概率 1 ? ? ? ?

?4? ?5?

4

369 625

(12 分)

18、解:设甲现在所在位置为 A,乙现在所在位置为 B,运动 t 秒后分别到达位置 C、D,如 图可知 CD 即为甲乙的距离. AC ? 9t , BD ? 6t , AB ? 21 ――1 分

7 时, BC ? 21 ? 9t, BD ? 6t, ?CBD ? 120 3 ?CD2 ? BC 2 ? BD2 ? 2BC BD cos120 1 ? (21 ? 9t ) 2 ? (6t ) 2 ? 2 ? (21 ? 9t ) ? 6t ? ( ? ) 2 2 2 ? 63t ? 252t ? 441 ? 63(t ? 2) ? 189
1 当t ?

――2 分 ――3 分

――5 分 ――6 分

? t ? 2 时, CDmin ? 189 ? 3 21 7 7 2 当 t ? 时,C、B 重合, ? CD ? BD ? 6 ? ? 14 ? 3 3 3 7 3 当 t ? 时, BC ? 9t ? 21, BD ? 6t , ?CBD ? 60 3 2 ?CD ? BC 2 ? BD2 ? 2BC BD cos 60 1 ? (9t ? 21) 2 ? (6t ) 2 ? 2 ? (9t ? 21) ? 6t ? ( ) 2 2 2 ? 63t ? 252t ? 441 ? 63(t ? 2) ? 189 ? 189

21

――9 分

――12 分

?CDmin ? 3 21
综上所述:经过 2 秒后两人距离最近为 3 21m .
2 2

――12 分

19、解: (I)充分性:若 a ? b ? 0时,即a ? b ? 0, 所以f ( x) ? x | x | . ? f (? x) ? ? x | ? x |? ? x | x |? ? f ( x) ,对一切 x∈R 恒成立,

? f ( x) 是奇函数 ??????????????????????????2 分 必要性:若 f ( x) 是奇函数,则对一切 x∈R, f (? x) ? ? f ( x) 恒成立,即 ? x | ? x ? a | ?b ? ? x | x ? a | ?b. 令 x ? 0, 得b ? ?b, 所以b ? 0. ??????????????????? 4 分
再令 x ? a, 得2a | a |? 0,? a ? 0,即a 2 ? b 2 ? 0. ????????????5 分 (II)解法一:? b ? 2 2 ? 3 ? 0,?当x ? 0时, a 取任意实数不等式恒成立,

时, 原不等式变为 | x ? a |? ? 故考虑 x ? ?0,1?

b b b ,即x ? ? a ? x ? . x x x

b ? a ? ( x ? ) max , ? ? x ? 只需对x ? ?0,1?, 满足? ?a ? ( x ? b ) . min ? x ?

(1)
????????????7 分

(2)
b 为增函数, x

对(1)式,由 b < 0 时,在 ?0,1?上, f ( x) ? x ?

b ? ( x ? ) max ? f (1) ? 1 ? b. x ? a ? 1 ? b.

(3)??????????????8 分

对(2)式,当 ? 1 ? b ? 0时, 在?0,1?上, x ?

b ?b ? x? ? 2 ? b. x x

当x ?

? b时, x ?

b b ? 2 ? b ,? ( x ? ) min ? 2 6 . x x
(4)

? a ? 2 ? b.
由(3) 、 (4) ,要使 a 存在,必须有 ?

?1 ? b ? 2 ? b , 即 ? 1 ? b ? ?3 ? 2 2 . ? 1 ? b ? 0 . ?

∴当 ? 1 ? b ? ?3 ? 2 2时,1 ? b ? a ? 2 ? b. ?????????????10 分 当 b ? ?1时, 在?0,1?上, f ( x) ? x ?

b 为减函数, (证明略) x

b ? ( x ? ) min ? f (1) ? 1 ? b. x ?当b ? ?1时,1 ? b ? a ? 1 ? b.
综上所述,当 ? 1 ? b ? 2 2 ? 3时, a 的取值范围是 (1 ? b,2 ? b ) ; 当 b ? ?1 时, a 的取值范围是 (1 ? b,1 ? b). ??????????????13 分 解法二: f ( x) ? x | x ? a | ?b ? 0, x ?[0,1],b ? 2 2 ? 3恒成立 ,即x | x ? a |? ?b. 由于 b 是负数,故 x 2 ? ax ? ?b, 且x 2 ? ax ? b. (1) x 2 ? ax ? ?b在x ?[0,1],b ? 2 2 ? 3恒成立 , 设g ( x) ? x 2 ? ax ? b ,

? ? g (0) ? 0, ?b ? 0, (1) ? ? 则 ? g (1) ? 0, 即?1 ? a ? b ? 0, (2) ? 4b ? a 2 ?a 2 ? 4b. (3) ? ? 0. ? ? 4 其中(1) , (3)显然成立,由(2) ,得 a ? 1 ? b. (*)??????????7 分 2 (2) x ? ax ? b ? 0在x ?[0,1],b ? 2 2 ? 3恒成立 , 设h( x) ? x 2 ? ax ? b , ?a ? ? 0, ① ?2 即a ? 0. ? ?h(0) ? 0,
综合(*) ,得 b ? ?1 时,1 ? b ? a ? 0;?1 ? b ? 2 2 ? 3时, a 值不存在 ???8 分

a ? 0 ? ? 1, ? ?0 ? a ? 2, ? 2 即 . ②? ? 2 ? ? 4b ? a ? 0. ?? 2 ? b ? a ? 2 ? b ? 4 ? 综合(*) ,得 b ? ?1 时,0 ? a ? 2;?1 ? b ? 2 2 ? 3时, b ? 1 ? a ? 2 ? b. ??10 分 ?a ?a ? 2, ? ? 1, ③ ?2 即? ?a ? 1 ? b. ? ?h(1) ? 0.
综合(*) ,得 b ? ?1 时,2 ? a ? 1 ? b;?1 ? b ? 2 2 ? 3时, a 不存在 20.解:解、 (Ⅰ)令 a=b=1,则 f (1) ? 2 f (1) ? p ? f (1) ? p 又 f (1) ? f (2 ? ) ? f (2) ? f ( ) ? p ? f ( ) ? p ? 1 ???12 分 ……..1 分 …….3 分 综上,得 ? 1 ? b ? 2 2 ? 3时, b ? 1 ? a ? 2 ? b; b ? ?1 时, b ? 1 ? a ? 1 ? b. ??13 分

1 2

1 2

1 2

x2 x ?1? f ( 2 ) ? p x1 x1 x x 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) ? p ? f ( x1 ) x1 x1 x 即 f ( x) 在 ?0,??? 上为减函数 ……….7 分 ? f( 2)? p ?0 x1
(Ⅱ)设 0 ? x1 ? x2 ,则 (Ⅲ)由 an?1 ? f (2n?1 ) ? f (2n ) ? f (2) ? p ? an ? p ? 1 ? p ? an ? 1 所以数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? p ? 1 ……….10 分

? a n ? ?n ? p

?a5 ? ?5 ? p ? 0 ………..12 分 ?5 ? p ? 6 ?a6 ? ?6 ? p ? 0 20(1)设点 T 的坐标为 ( x, y ) ,点 M 的坐标为 ( x ?, y ?) ,则 M1 的坐标为(0, y ? ) ,
由题意 ?

2 5 2 5 2 5 2 5 OM ? ( x ?, y ?) ,于是点 N 的坐标为 ( x?, y ?) ,N1 的坐标 5 5 5 5 2 5 2 5 为( x ?,0) ,所以 M 1 M ? ( x?,0), N1 N ? (0, y ?). 5 5 ? x ? x?, 2 5 ? 由 OT ? M 1 M ? N1 N , 有( x, y) ? ( x?,0) ? (0, y ?), 所以? 2 5 5 y ?. ?y ? 5 ? 5 由此得 x ? ? x, y ? ? y. 2 2 5 2 x2 y 2 2 2 由 | OM |? 5 , 有x ? ? y ? ? 5, 所以x ? ( y) ? 5, 得 ? ? 1, 2 5 4 ON ?
即所求的方程表示的曲线 C 是椭圆. ????????3 分 (2)点 A(5,0)在曲线 C 即椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与椭圆 C 无交点,所以直线 l 斜率存在,并设为 k. 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5).

? x2 y2 ? 1, ? ? 由方程组 ? 5 得(5k 2 ? 4) x 2 ? 50k 2 x ? 125k 2 ? 20 ? 0. 4 ? y ? k ( x ? 5) ? 5 5 2 依题意 ? ? 20(16 ? 80k ) ? 0, 得 ? ?k? . 5 5 5 5 ?k? 当? 时,设交点 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ), PQ 的中点为 R( x0 , y0 ) , 5 5 x1 ? x2 50k 2 25k 2 , x ? ? . 则 x1 ? x 2 ? 0 2 5k 2 ? 4 5k 2 ? 4
? y 0 ? k ( x0 ? 5) ? k (
又 | BP |?| BQ |? BR ? l ? k ? k BR ? ?1,

25k 2 ? 20k ? 5) ? 2 . 2 5k ? 4 5k ? 4

20k 2 20k 2 k ? k BR ? k ? 5k ? 4 ? ? ?1 ? 20k 2 ? 20k 2 ? 4, 25k 2 4 ? 20k 2 1? 2 5k ? 4 2 2 而 20k ? 20k ? 4 不可能成立,所以不存在直线 l,使得|BP|=|BQ|.????7 分
(3)由题意有 S ( x1 ,? y1 ), AP ? ( x1 ? 5, y1 ), AQ ? ( x2 ? 5, y2 ) ,则有方程组

? x1 ? 5 ? t ( x 2 ? 5), (1) ? y ? ty , ( 2) 2 ? 1 ? x12 y12 ? ? ? 1, (3) 4 ?5 ? x2 y2 ? 2 ? 2 ? 1. ( 4) 4 ?5

由(1)得 x1 ? t ( x2 ? 5) ? 5

( 5)

2 将(2) , (5)代入(3)有 4[t ( x2 ? 5) ? 5]2 ? 5t 2 y2 ? 20.

整理并将(4)代入得 (t 2 ? 1) ? 2(1 ? t )tx2 ? 5(1 ? t ) 2 ? 0 , 易知 t ? 1, 解得 x 2 ?

3t ? 2 . t

因为 B(1,0) ,S ( x1 , y1 ) ,故 SB ? (1 ? x1 , y1 ), BQ ? ( x2 ? 1, y2 ) ,所以

SB ? t BQ ? (1 ? x1 , y1 ) ? t ( x2 ? 1, y 2 ) ? (1 ? x1 ? t ( x2 ? 1), y1 ? ty 2 ) ? (1 ? t ( x2 ? 5) ? 5 ? t ( x2 ? 1),0) ? (?4 ? t (2 x2 ? 6),0) ? (?4 ? t ( 6t ? 4 ? 6),0) ? (0,0), t
????13 分

? SB ? t BQ.
21.解(I)函数 f(x)的定义域是 (?

3 ,0) ? (0,?? ) 2 1 2 ( x ? 1)(x ? 3) 对 f ( x)求导得f ?( x) ? ????????????2 分 ? 2 ? 3 x 3 2 x? x (x ? ) 2 2 3 由 f ?( x) ? 0, 得 ? ? x ? ?1或x ? 3;由f ?( x) ? 0, 得 ? 1 ? x ? 0或0 ? x ? 3 2 3 因此 (? ,?1)和(3,?? )是函数 f ( x)的增区间 ; (?1,0)和(0,3)是函数 f ( x)的减区间 2
?????????????????5 分

1 1 1 (II)因为 g ( x) ? x ? m ? ln x ? x ? m ? m ? ln x ? x 2 2 2 1 所以实数 m 的取值范围就是函数 ? ( x) ? ln x ? x 的值域 ????????6 分 2 1 1 对 ? ( x)求导得 ? ?( x) ? ? .令? ?( x) ? 0, 得x ? 2, 并且当 x ? 2时, ? ?( x) ? 0; x 2 当0 ? x ? 2时,? ?( x) ? 0,?当x ? 2时? ( x)取得最大值 , 且? ( x) max ? ? (2) ? ln 2 ? 1 1 又当 x 无限趋近于 0 时,lnx 无限趋近于 ? ?,? x 无限趋近于 0, 2

1 x 无限趋近于 ? ? 2 1 因此函数 ? ( x) ? ln x ? x的值域是 ( ?? , ln 2 ? 1] 2 即实数 m 的取值范围是 (??, ln 2 ? 1] ????????????????9 分
进而有 ? ( x) ? ln x ? (Ⅲ)结论:这样的正数 k 不存在 ??????????????????10 分 下面采用反证法来证明: 假设存在正数 k, 使得关于 x 的方程 f ( x) ? kg( x) 有两个不相

3 2 ? ln(x1 ? ) ? ? k ln x1 ? f ( x1 ) ? kg ( x1 ) 2 x1 ? 等的实数根 x 和x , 则? ?? ? 1 2 ? f ( x2 ) ? kg ( x 2 ) ?ln(x ? 3 ) ? 2 ? k ln x 2 2 ? 2 x2 ?
根据对数函数定义域知 x1和x2 都是正数 又由(I)可知,当 x>0 时, f ( x) min ? f (3) ? ln(3 ? ) ?

(1)
??11 分

(2)

3 3 ?0 2 2 3 2 3 2 ? f ( x1 ) ? ln(x1 ? ) ? ? 0, f ( x2 ) ? ln(x2 ? ) ? ?0 2 x1 2 x2 再由 k>0,可得 g ( x1 ) ? ln x1 ? 0, g ( x2 ) ? ln x2 ? 0 ? x1 ? 1, x2 ? 1 3 2 3 2 ln(x1 ? ) ? ln(x2 ? ) ? 2 x1 2 x2 由(1)和(2)可得 ? ln x1 ln x2 3 2 3 2 ln(x1 ? ) ? ? ln x1 ln(x 2 ? ) ? ? ln x 2 2 x1 2 x2 利用比例性质得 ? ln x1 ln x 2 3 2 3 2 ln(1 ? )? ln(1 ? )? 2 x1 x1 2 x2 x2 即 (*) ???????????13 分 ? ln x1 ln x2
由于 lnx 是区间 (1,??) 上的恒正增函数,且 1 ? x1 ? x2 ,? 又由于 ln(1 ?

ln x1 ?1 ln x2

3 2 ) ? 是区间 (1,??) 上的恒正减函数,且 1 ? x1 ? x2 , 2x x 3 2 ln(1 ? )? 2 x1 x1 ? ?1 3 2 ln(1 ? )? 2 x2 x2 3 2 3 2 3 2 ln(1 ? )? ln(1 ? )? ln(1 ? )? ln x1 2 x1 x1 2 x1 x1 2 x2 x2 ? ? ? ? 3 2 ln x 2 ln x1 ln x 2 ln(1 ? )? 2 x2 x2
这与(*)式矛盾.因此满足条件的正数 k 不存在. ????????????14 分


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