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20152016学年浙江省台州中学高三(上)期中数学试卷(文科)


2015-2016 学年浙江省台州中学高三(上)期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合 A={x∈N|0≤x≤5},?AB={1,3,5},则集合 B=( A.{2,4} B.{0,2,4} C.{0,1,3} D.{2,3,4} )

2.若 ab<0,且 a+b>0,则以下不等式中正确的是( A. B. C.a2<b2 D.|a|>|b|



3.A 为三角形 ABC 的一个内角,若 sinA+cosA= ,则这个三角形的形状为( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定



4.函数 f(x)= A.充分不必要

+a(x≠0),则“f(1)=1”是“函数 f(x)为奇函数”的( B.必要不充分

)条件.

C.充要 D.既非充分又非必要

5.已知函数 f(x)=sinωx﹣ 函数 y=f(x)的图象向左平移 ( A. ) B.

cosωx(ω>0)的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于

,若将

个单位得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)是减函数的区间为

C.

D.

6.设向量 , 满足| |=1, 与 ﹣ 的夹角为 150°,则| |的取值范围是( A.[ ,1) B.[ ,+∞) C.[ ,+∞) D.(1,+∞)



7.函数 y=

的大致图象如图所示,则(



A.a∈(﹣1,0) B.a∈(0,1)

C.a∈(﹣∞,1)

D.a∈(1,+∞)

8.定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}, 仍是等比数列,则称 f(x)为“等比函数”.现有定义在(﹣∞),0)∪(0,+∞)上的如下函数: ①f(x)=3x, ②f(x)= , ③f(x)=x3, ④f(x)=log2|x|, 则其中是“等比函数”的 f(x)的序号为( A.①②③④ B.①④ )

C.①②④ D.②③

二、填空题(本大题共 7 小题,9-12 题:每空格 3 分,13-15 题:每小题 3 分,共 36 分) 9.己知 α∈R,sinα+3cosα= ,则 tan2α= .

10.已知首项为 1,公差不为 0 的等差数列{an}的第 2,4,9 项成等比数列,则这个等比数列的公比 q= Sn= ;等差数列{an}的通项公式 an= . ;设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则

11.设二次函数 f(x)=ax2﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则 + 的最小值为 若 ax2﹣4x+c>0 的解集为 (﹣1,2),则 a﹣c= .



12.已知函数 f(x)= =f(x)﹣ 的零点个数为

﹣ 个.

,则 f(x)的递增区间为

,函数 g(x)

13.已知集合 A={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},若存在(x,y)∈A,使不等式 x﹣2y+m≥0 成立,则实数 m 最小值是 .

14.已知△ ABC 中, ,则

, 的取值范围是

,点 M 是线段 BC(含端点)上的一点,且 .

15.已知函数 ft(x)=(x﹣t)2﹣t(t∈R),设 a<b,f(x)= 若函数 y=f(x)+x+a﹣b 有三个零点,则 b﹣a 的值为 .



三、解答题(本大题共 5 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 (Ⅰ)求角 B (Ⅱ)若 b=3,cosA= ,求△ ABC 的面积. =

17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+an=2. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求满足不等式 的 n 的取值范围.

18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,点 M,N 分别为 BC,PA 的中点,且 PA=AD=2,AB=1,AC= (Ⅰ)证明:MN∥平面 PCD; (Ⅱ)求直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值. .

19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(8,﹣4),P(2,t)(t<0)在抛物线 y2=2px(p>0) 上. (1)求 p,t 的值; (2)过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,M 为垂足,直线 AM 与抛物线的另一交点为 B,点 C 在直线 AM 上.若 PA,PB,PC 的斜率分别为 k1,k2,k3,且 k1+k2=2k3,求点 C 的坐标.

20.已知函数 f(x)=﹣x2+2bx+c,设函数 g(x)=|f(x)|在区间[﹣1,1]上的最大值为 M. (Ⅰ)若 b=2,试求出 M; (Ⅱ)若 M≥k 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值.

2015-2016 学年浙江省台州中学高三(上)期中数学试卷(文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合 A={x∈N|0≤x≤5},?AB={1,3,5},则集合 B=( )

A.{2,4}

B.{0,2,4}

C.{0,1,3}

D.{2,3,4}

【考点】补集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】根据题意,先用列举法表示集合 A,进而由补集的性质,可得 B=?A(?AB),计算可得答 案. 【解答】解:根据题意,集合 A={x∈N|0≤x≤5}={0,1,2,3,4,5}, 若 CAB={1,3,5},则 B=?A(?AB)={0,2,4}, 故选 B. 【点评】本题考查补集的定义与运算,关键是理解补集的定义.

2.若 ab<0,且 a+b>0,则以下不等式中正确的是( A. B. C.a2<b2 D.|a|>|b|



【考点】不等式比较大小. 【专题】计算题. 【分析】把不等式 a+b>0 的两边同时除以负数 ab 可得 论. 【解答】解:∵a+b>0,ab<0,∴ 故选 A. 【点评】本题主要考查不等式与不等关系,不等式的基本性质的应用,属于基础题. <0,∴ , <0,化简可得 ,从而得出结

3.A 为三角形 ABC 的一个内角,若 sinA+cosA= ,则这个三角形的形状为( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定



【考点】二倍角的正弦. 【专题】解三角形. 【分析】利用 sinA+cosA= ,两边平方可得 【解答】解:∵sinA+cosA= ,两边平方可得: 化为 , ,进而判断出 A 是钝角. ,

∵A∈(0,π),∴sinA>0,cosA<0. ∴A 为钝角. ∴这个三角形是钝角三角形. 故选:B. 【点评】本题考查了三角函数的平方关系和正弦余弦函数的单调性,属于基础题.

4.函数 f(x)= A.充分不必要

+a(x≠0),则“f(1)=1”是“函数 f(x)为奇函数”的( B.必要不充分

)条件.

C.充要 D.既非充分又非必要 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】首先根据 f(x)是奇函数求出 a 的值,求出 f(x)的表达式,将 x=1 代入 f(x),从而求 出答案. 【解答】解:∵函数 f(x)= +a,(a≠0)为奇函数,



+a=﹣a﹣



解得 a= ,

∴f(x)=

+ ,

∴f(1)=

+ =1,

故“f(1)=1”是“函数 f(x)为奇函数”的充要条件, 故选:C. 【点评】本题主要考查函数的值的知识点,解答本题的关键是根据奇函数的知识求出 a 的值,然后 解方程,本题基础题,比较简单.

5.已知函数 f(x)=sinωx﹣ 函数 y=f(x)的图象向左平移 ( A. ) B.

cosωx(ω>0)的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于

,若将

个单位得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)是减函数的区间为

C.

D.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 【专题】综合题. 【分析】由已知可求出函数 f(x)的解析式,进而根据函数图象的平移变换法则得到函数 y=g(x) 的解析式,根据正弦函数的性质分析出函数的单调性后,比照四个答案即可得到结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=sinωx﹣ 又∵函数 f(x)=sinωx﹣ 故函数的最小正周期 T=π, 又∵ω>0 ∴ω=2 故 f(x)=2sin(2x﹣ ) 个单位可得 y=g(x)=2sin[2(x+ +kπ,k∈Z +kπ],k∈Z )﹣ ]=2sin2x 的图象 cosωx=2sin(ωx﹣ ) =

cosωx(ω>0)的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于

将函数 y=f(x)的图象向左平移 令 +2kπ≤2x≤ +2kπ,即

+kπ≤x≤ +kπ,

故函数 y=g(x)的减区间为[ 当 k=0 时,区间[ 又∵ 故选 A , ?[

]为函数的一个单调递减区间 , ]

【点评】本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,两角和与差的正弦函数,正弦函数 的单调性,熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换法则是解答本题的关键.

6.设向量 , 满足| |=1, 与 ﹣ 的夹角为 150°,则| |的取值范围是( A.[ ,1) B.[ ,+∞) C.[ ,+∞) D.(1,+∞)



【考点】数量积表示两个向量的夹角.

【专题】平面向量及应用. 【分析】作△ OAB,设 的范围可得. 【解答】解:作△ OAB,设 则 = ﹣ = ﹣ , 与 夹角为 150° = , = , = , = ,由题意易得∠OAB=30°,由正弦定理可得| |= ,由∠B

∵ 与 ﹣ 的夹角为 150°,即 ∴在△ OAB 中,∠OAB=30°, 由正弦定理得 =

,0°<B<150°,

∴0<sinB≤1,∴0<2sinB≤2, ∴| |= 故选:B 【点评】本题考查数量积与向量的夹角,涉及正弦定理的应用,属中档题. = ∈[ ,+∞)

7.函数 y=

的大致图象如图所示,则(



A.a∈(﹣1,0) B.a∈(0,1) 【考点】函数的图象.

C.a∈(﹣∞,1)

D.a∈(1,+∞)

【专题】压轴题;函数的性质及应用. 【分析】考查 x>0 时函数的图象特点,结合基本不等式得出关于 a 的不等关系求解即可. 【解答】解:当 x=0 时,y=0,故 a≠0, 当 x>0 时,y= = ≤ 当且仅当 x= 时取等号,

由图知,当 x>0 时,函数取得最大值时相应的 x 的值小于 1, ∴0< <1,

∴0<a<1, 故选:B.

【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数的图象、不等式的解法等基础知识,考查运算求 解能力,考查数形结合思想,属于基础题.

8.定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}, 仍是等比数列,则称 f(x)为“等比函数”.现有定义在(﹣∞),0)∪(0,+∞)上的如下函数: ①f(x)=3x, ②f(x)= , ③f(x)=x3, ④f(x)=log2|x|, 则其中是“等比函数”的 f(x)的序号为( A.①②③④ B.①④ 【考点】数列的应用. 【专题】计算题;阅读型;探究型;函数思想;等差数列与等比数列. 【分析】不妨设等比数列{an}中,an=a1?qn﹣1,从而依次求 即可. 【解答】解:不妨设等比数列{an}中,an=a1?qn﹣1, ①∵f(x)=3x, ,从而判断是否是等比数列 )

C.①②④ D.②③



=

=

=

=

常数,

故当 q≠1 时,{f(an)}不是等比数列, 故 f(x)=3x 不是等比函数; ②∵f(x)= ,



=

=

= ,

故{f(an)}是等比数列,

故 f(x)= 是等比函数; ③∵f(x)=x3, ∴ = ═q3,

故{f(an)}是等比数列, 故 f(x)=x3 是等比函数; ④f(x)=log2|x|, ∴ = = ,

故{f(an)}不是等比数列, 故 f(x)=log2|x|不是等比函数. 故其中是“等比函数”的 f(x)的序号②③, 故选:D. 【点评】本题考查了等比数列的应用及等比函数的判断,同时考查了学生对新知识的接受与应用能 力.

二、填空题(本大题共 7 小题,9-12 题:每空格 3 分,13-15 题:每小题 3 分,共 36 分) 9.己知 α∈R,sinα+3cosα= ,则 tan2α= ﹣ .

【考点】二倍角的正切;同角三角函数基本关系的运用. 【专题】三角函数的求值. 【分析】已知等式两边平方,利用同角三角函数间基本关系化简求出 tanα 的值,再利用二倍角的正 切函数公式化简 tan2α,将 tanα 的值代入计算即可求出值.
2 =5, 【解答】 解: 已知等式两边平方得: (sinα+3cosα) 即 6sinαcosα+8cos2α=

=

=4,

整理得:(tanα﹣2)(2tanα+1)=0, 解得:tanα=2 或 tanα=﹣ ,

tan2α= 当 tanα=2 时,

=

=﹣ ; tan2α= 当 tanα=﹣ 时,

=

=﹣ . 故答案为:﹣ 【点评】此题考查了二倍角的正切函数公式,以及同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握公式及 基本关系是解本题的关键.

10.已知首项为 1,公差不为 0 的等差数列{an}的第 2,4,9 项成等比数列,则这个等比数列的公比 q= ; 等差数列{an}的通项公式 an= 3n﹣2 ; 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 Sn= .

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】由等比数列和等差数列的性质得(1+3d)2=(1+d)(1+8d),从而求出 d=3,由此能求出 这个等比数列的公比 q,等差数列{an}的通项公式 an 和数列{an}的前 n 项和 Sn. 【解答】解:∵首项为 1,公差不为 0 的等差数列{an}的第 2,4,9 项成等比数列, ∴(1+3d)2=(1+d)(1+8d), 解得 d=0(舍)或 d=3, ∴这个等比数列的公比 q= = = .

等差数列{an}的通项公式 an=1+(n﹣1)×3=3n﹣2. 数列{an}的前 n 项和 Sn=n×1+ = .

故答案为: ,3n﹣2,



【点评】本题考查等比数列的公比 q,等差数列{an}的通项公式 an 和数列{an}的前 n 项和 Sn 的求法, 是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列和等比数列的性质的合理运用.

11.设二次函数 f(x)=ax2﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则 + 的最小值为 3 ;若 ax2﹣ 4x+c>0 的解集为 (﹣1,2),则 a﹣c= 12 . 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】(1)根据二次函数的性质求出 ac=4,根据基本不等式的性质求出 + 的最小值即可;(2) 问题转化为﹣1,2 是方程 ax2﹣4x+c=0 的解,求出 a,c 的值即可. 【解答】解:∵二次函数 f(x)=ax2﹣4x+c 的值域为[0,+∞), ∴ ,

解得 a>0,c>0,ac=4, ∴ + ≥2 =2 =3,

若 ax2﹣4x+c>0 的解集为 (﹣1,2), 则﹣1,2 是方程 ax2﹣4x+c=0 的解, ∴ ∴a﹣c=12, 故答案为:3,12. 【点评】本题考查了二次函数的性质,考查基本不等式的性质,是一道基础题. ,解得: ,

12.已知函数 f(x)= (x)=f(x)﹣



,则 f(x)的递增区间为 (﹣∞,1] ,函数 g

的零点个数为 2 个.

【考点】函数的图象;函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先把绝对值函数化为分段函数,再根据每段函数的图象和性质得到函数的单调增区间,画 出函数的图象,通过交点的个数判断零点的个数.

【解答】解:f(x)=



=



∴f(x)的递增区间为(﹣∞,1], 分别画出 y=f(x)和 y= y=f(x)和 y= 的图象,如图所示,

有两个交点, 的零点个数为 2 个.

∴函数 g(x)=f(x)﹣ 故答案为:(﹣∞,1],2

【点评】本题考查了分段函数的图象和性质,以及函数的零点问题,属于基础题.

13.已知集合 A={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},若存在(x,y)∈A,使不等式 x﹣2y+m≥0 成立,则实数 m 最小值是 ﹣3 . 【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合即可得到结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图, 若存在(x,y)∈A,使不等式 x﹣2y+m≥0 成立, 则只需要点 B(1,﹣1)满足不等式 x﹣2y+m≥0 成立即可, 则 1+2+m≥0, 即 m≥﹣3 即可, 故实数 m 最小值是﹣3, 故答案为:﹣3

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.注意本题为存在性问题 的求解.

14.已知△ ABC 中, ,则

, 的取值范围是

,点 M 是线段 BC(含端点)上的一点,且 .

【考点】两向量的和或差的模的最值. 【专题】平面向量及应用. c) C 0) D c) M y) 【分析】 如图所示, 建立直角坐标系. 设B (0, , (b, , (b, , (x, . 由 =2,可得 b2+c2=4.由向量的平行四边形法则可得: (x,y)?(b,c)=bx+cy=1.
2

,可得

=

=

.利用数量积的性质可得(x2+y2)(b2+c2)≥(bx+cy) . 又 , 可得 1= (bx+cy) = ,

, 可得

, 即

于是 x2+y2≤1,进而得出. 【解答】解:如图所示,建立直角坐标系. 设 B(0,c),C(b,0),D(b,c),M(x,y). ∵ ∴b2+c2=4. ∵ ∴ , , = =(x,y)?(b,c)=bx+cy=1. =2,

∵(x2+y2)(b2+c2)≥(bx+cy)2, ∴4(x2+y2)≥1, ∴ 又 , = , ,即 .

∴1=(bx+cy)

∵b>0,c>0,x≥0,y≥0. ∴x2+y2≤1,即 综上可知: 故答案为: . .(当且仅当 x=0 或 y=0 时取等号). .

【点评】本题综合考查了向量的平行四边形法则、数量积的运算性质、不等式的性质等基础知识与 基本技能方法,属于难题.

15.已知函数 ft(x)=(x﹣t)2﹣t(t∈R),设 a<b,f(x)= 若函数 y=f(x)+x+a﹣b 有三个零点,则 b﹣a 的值为 【考点】函数零点的判定定理. 【专题】综合题;数形结合;函数的性质及应用. 2+ .



【分析】解方程 fa(x)=fb(x)得交点坐标,函数 f(x)的图象与直线 l:y=﹣x+b﹣a 有三个不同 的交点,由图象知,点 P 在 l 上,故,由此解得 b﹣a 的取值. 【解答】解:作函数 f(x)的图象,且解方程 fa(x)=fb(x)得, (x﹣a)2﹣a=(x﹣b)2﹣b,解得 x= ,此时 y=( ﹣a)2﹣a=( )2﹣a,

即交点坐标为(

,(

)2﹣a),

若 y=f(x)+x+a﹣b 有三个零点, 即 f(x)+x+a﹣b=0 有三个根, 即 f(x)=﹣x+b﹣a, 分别作出 f(x)与 y=﹣x+b﹣a 的图象如图: 要使函数 y=f(x)+x+a﹣b 有三个零点, 即函数 f(x)的图象与直线 l:y=﹣x+b﹣a 有三个不同的交点. 由图象知,点 P 在 l 上, 所以( 即( )2﹣a=﹣ )2= , +b﹣a,

设 t=b﹣a,则 t>0, 则方程等价为 即 t=2± , ,即 b﹣a=2+ . , ,即 t2﹣4t﹣1=0,

∵t>0,∴t=2+ 故答案为:2+

【点评】本题主要考查根的存在性以及根的个数判断,函数的零点与方程的根的关系,体现了转化 的数学思想,利用数形结合是解决本题的关键.

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 (Ⅰ)求角 B (Ⅱ)若 b=3,cosA= ,求△ ABC 的面积. =

【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】(Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得 a2﹣b2=ac﹣c2,利用余弦定理可求 cosB,又结合范围 0<B<π,即可求得 B 的值; (Ⅱ)由已知及同角三角函数关系式可求 sinA,结合正弦定理可求 a,求得 sinC 后,即可利用三角 形面积公式求解. 【解答】解:(Ⅰ)因为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以 a2﹣b2=ac﹣c2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以 ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,所以 ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又因为 0<B<π,所以 B= .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (Ⅱ)由 b=3,cosA= 可得 sinA= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由 可得 a=2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 而 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以△ ABC 的面积 = . ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式,两角和的正弦函数公式的应用,考查了正弦定理, 余弦定理,三角形面积公式的应用,熟练掌握公式定理是解题的关键,属于中档题.

17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+an=2. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求满足不等式 【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】(I)利用递推关系即可得出; (II)利用等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:(Ⅰ)∵满足 Sn+an=2. n=1 时,a1=1, 当 n≥2 时,Sn﹣1+an﹣1=2, ∴Sn+an﹣Sn﹣1﹣an﹣1=0?2an=an﹣1, ∵a1=1≠0, ∴ (Ⅱ)∵ ∴ ∴ ∴n>6,n∈N*. 【点评】本题考查了递推关系、等比数列的前 n 项和公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. , . , , 的 n 的取值范围.

18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,点 M,N 分别为 BC,PA 的中点,且 PA=AD=2,AB=1,AC= (Ⅰ)证明:MN∥平面 PCD; (Ⅱ)求直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值. .

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;空间位置关系与距离. 【分析】(Ⅰ)取 PD 中点 E,连结 NE,CE,可证 MNEC 为平行四边形,由 MN∥CE 即可判定 MN∥平面 PCD.(其它证法酌情给分) (Ⅱ)方法一:可证平面 PAD⊥平面 ABCD,过 M 作 MF⊥AD,则 MF⊥平面 PAD,连结 NF.则 ∠MNF 为直线 MN 与平面 PAD 所成的角,解三角形可得解; 方法二:PA⊥AB,PA⊥AC,又可证 AB⊥AC,分别以 AB,AC,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空 间直角坐标系 A﹣xyz,设平面 PAD 的一个法向量为 的角为 θ,则由夹角公式即可求得 MN 与平面 PAD 所成角的正切值. 【解答】解:(Ⅰ)证明:取 PD 中点 E,连结 NE,CE.∵N 为 PA 中点,∴NE 又 M 为 BC 中点,底面 ABCD 为平行四边形,∴MC ∴NE MC,即 MNEC 为平行四边形,… … . , ,则设 MN 与平面 PAD 所成

∴MN∥CE∵EC?平面 PCD,且 MN?平面 PCD,∴MN∥平面 PCD. (其它证法酌情给分)

(Ⅱ)方法一:∵PA⊥平面 ABCD,PA?平面 ABCD,∴平面 PAD⊥平面 ABCD, 过 M 作 MF⊥AD,则 MF⊥平面 PAD,连结 NF. 则∠MNF 为直线 MN 与平面 PAD 所成的角,… 由 AB=1, ,AD=2,得 AC⊥CD, , .

由 AC?CD=AD?MF,得

在 Rt△ AMN 中,AM=AN=1,得

在 Rt△ MNF 中,

,∴



直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值为

. …

方法二:∵PA⊥平面 ABCD,PA⊥AB,PA⊥AC, 又∵AB=1, ,BC=AD=2,∴AB2+AC2=BC2,AB⊥AC. …

如图,分别以 AB,AC,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系 A﹣xyz, 则 , 设平面 PAD 的一个法向量为 N 0, 1) P 0, 2) , (0, , (0, , ,… ,则 ∴ , ,



,令 y=1 得

,…

设 MN 与平面 PAD 所成的角为 θ,则 与平面 PAD 所成角的正切值为 .…

,∴MN

【点评】本题主要考查了线与平面平行的判定,求直线 MN 与平面 PAD 所成角的正切值,关键在于 熟练掌握平面垂直的性质与直线与平面平行的判定定理及其应用, 考查了空间想象能力和转化思想, 属于中档题.

19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(8,﹣4),P(2,t)(t<0)在抛物线 y2=2px(p>0) 上. (1)求 p,t 的值; (2)过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,M 为垂足,直线 AM 与抛物线的另一交点为 B,点 C 在直线 AM 上.若 PA,PB,PC 的斜率分别为 k1,k2,k3,且 k1+k2=2k3,求点 C 的坐标.

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)运用代入法,即可求得 p,t; (2)求得 M(2,0),求出直线 AM 的方程,代入抛物线方程,可得 B 的坐标,运用正弦的斜率 公式,可得 k1=﹣ ,k2=﹣2,代入 k1+k2=2k3 得 k3,进而得到直线 PC 方程,再联立直线 AM 的方 程,即可得到 C 的坐标. 【解答】解:(1)将点 A(8,﹣4)代入 y2=2px, 得 p=1, 将点 P(2,t)代入 y2=2x,得 t=±2, 因为 t<0,所以 t=﹣2. (2)依题意,M 的坐标为(2,0), 直线 AM 的方程为 y=﹣ x+ , 联立抛物线方程 y2=2x,并解得 B( ,1), 所以 k1=﹣ ,k2=﹣2, 代入 k1+k2=2k3 得,k3=﹣ , 从而直线 PC 的方程为 y=﹣ x+ , 联立直线 AM:y=﹣ x+ , 并解得 C(﹣2, ). 【点评】本题考查抛物线的方程和性质,主要考查方程的运用,注意联立直线方程和抛物线方程求 交点,以及直线的斜率公式的运用和两直线的交点问题转化为解方程,属于中档题.

20.已知函数 f(x)=﹣x2+2bx+c,设函数 g(x)=|f(x)|在区间[﹣1,1]上的最大值为 M.

(Ⅰ)若 b=2,试求出 M; (Ⅱ)若 M≥k 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值. 【考点】函数恒成立问题;二次函数在闭区间上的最值. 【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ)把 b=2 代入函数解析式,由函数在区间[﹣1,1]上是增函数得到 M 是 g(﹣1)和 g (1)中较大的一个,由此根据 c 的范围试求出 M; (Ⅱ)把函数 g(x)配方,然后分|b|>1 时,|b|≤1 时由函数 y=g(x)的单调性求出其最大值,又 g =|b2+c|, c 都有 (b) 再分当﹣1≤b≤0 时和 0<b≤1 时, 求出最大值 M, 经比较可知对任意的 b、 求出当 b=0, k 的最大值为 . 【解答】解:(Ⅰ)当 b=2 时,f(x)=﹣x2+2bx+c 在区间[﹣1,1]上是增函数, 则 M 是 g(﹣1)和 g(1)中较大的一个, 又 g(﹣1)=|﹣5+c|,g(1)=|3+c|, 则 ; 时 g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值 . 再

,由此可得 M≥k 对任意的 b、c 恒成立的

(Ⅱ)g(x)=|f(x)|=|﹣(x﹣b)2+b2+c|, (i)当|b|>1 时,y=g(x)在区间[﹣1,1]上是单调函数, 则 M=max{g(﹣1),g(1)}, 而 g(﹣1)=|﹣1﹣2b+c|,g(1)=|﹣1+2b+c|, 则 2M≥g(﹣1)+g(1)≥|f(﹣1)﹣f(1)|=4|b|>4,可知 M>2. ( ii)当|b|≤1 时,函数 y=g(x)的对称轴 x=b 位于区间[﹣1,1]之内, 此时 M=max{g(﹣1),g(1),g(b)}, 又 g(b)=|b2+c|, ①当﹣1≤b≤0 时,有 f(1)≤f(﹣1)≤f(b), 则 M=max{g(b),g(1)} (g(b)+g(1)) |f(b)﹣f(1)|= ;

②当 0<b≤1 时,有 f(﹣1)≤f(1)≤f(b). 则 M=max{g(b),g(﹣1)} 综上可知,对任意的 b、c 都有 (g(b)+g(﹣1)) . |f(b)﹣f(﹣1)|= .

而当 b=0,

时,

在区间[﹣1,1]上的最大值



故 M≥k 对任意的 b、c 恒成立的 k 的最大值为 . 【点评】此题是个难题,考查二次函数及其应用,以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性, 并根据函数的单调性解函数值不等式, 体现了转化的思想, 在转化过程中一定注意函数的定义域. 解 决该类问题一般应用赋值法.特别是问题(Ⅱ)的分类讨论,增加了题目的难度,综合性强.


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