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2015高考数学一个高考题的推广


做高考数学试题有感
登封实验高中 李书霞

做 2015 新课标全国 2 数学文第 20 题有感 20.已知椭圆 C: x
2

a2

?

2 y2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 b

,点 (2,

2)


在 C 上。

(1)求 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交 点 A,B,线段 AB 的中点为 M。 证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。 (20)解: (Ⅰ)由题意有
a 2 ? b2 2 4 2 ? , ? ?1, a 2 a 2 b2

解得 a2 ? 8, b2 ? 4 所以 C 的方程为 x
2

8

?

y2 ?1 4

(Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), M ( xM , yM ) 将 y ? kx ? b 代入 x
2

8

?

y2 ? 1得 4

(2k 2 ? 1) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 8 ? 0

故 xM

?

x1 ? x2 ?2kb b ? 2 , yM ? kxM ? b ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1

于是直线 OM 的斜率 kOM

?

yM 1 ?? xM 2k

,即 kOM ?k ? ? 1

2

所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。 一般地,x
2

a2

?

y2 ? 1(a ? b ? 0) 直线 b2

l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,
1

l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M。 证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。 设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) 则? ?
2 x0 ? x1 ? x2
2 1 2

?2 y0 ? y1 ? y2
? y12 x2 y2 ? 1 , 22 ? 22 ? 1 2 b a b

又? x a
? ? ?

x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ? ?0 a2 b2

2x0 ( x1 ? x2 ) 2 y0 ( y1 ? y2 ) ? ?0 a2 b2
2b2 2 y0 ( y1 ? y2 ) ? ?0 a2 x0 ( x1 ? x2 )

? kOM ?k AB

b2 ?? 2 a a y2 k AB ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 有结论 kOM ? 2 a b n y2 ? 1 有结论 kOM ?k AB ? ? 2 2 n m
2 2

对于 x

2

b2
2

?

对于 x

m2

?

2


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