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2016年普通高等学校招生全国统一考试文数试题(新课示卷 III)解析版


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试题类型:新课标Ⅲ

注意事项: 1.本试卷分 第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 4. 考试结束后,将本

试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。
(1)设集合 A ? {0, 2, 4,6,8,10}, B ? {4,8} ,则 ?A B =
8} (A) {4, 2, 6} (B) {0,
2, 6, 10} (C) {0, 2, 4, 6, 810} , (D) {0,

【答案】C

考点:集合的补集运算. (2)若 z ? 4 ? 3i ,则 (A)1 【答案】D 【解析】 试题分析:
z 4 ? 3i 4 3 ? ? ? i ,故选 D. 2 2 |z| 5 5 4 ?3
z = |z|

(B) ?1

4 3 (C) ? i 5 5

4 3 (D) ? i 5 5

考点:1、复数的运算;2、共轭复数;3、复数的模. (3)已知向量 BA ? ( , (A)300 【答案】A 【解析】
1

uuv

v 3 1 1 3 uuu ) , BC ? ( , ), 则 ?ABC ? 2 2 2 2
(B) 450 (C) 600 (D)1200

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1 3 3 1 ??? ? ??? ? ? ? ? BA ? BC 2 2 ? 3 ,所以 ?ABC ? 30? ,故选 A. ? ??? ? ?2 2 试题分析:由题意,得 cos ?ABC ? ??? 1? 1 2 | BA || BC |
考点:向量夹角公式. (4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。 图中 A 点表示十月 的平均最高气温约为 150C,B 点表示四月的平均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的 是

(A) 各月的平均最低气温都在 00C 以上 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 【答案】D

(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个

考点:1、平均数;2、统计图 (5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是 M ,I , N 中的一个字母,第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 (A) 【答案】C 【解析】 试题分析:开机密码的可能有 (M ,1),(M , 2),(M ,3),(M , 4),( M ,5),( I ,1),( I , 2),( I ,3), ( I , 4),( I ,5) ,

8 15

(B)

1 8

(C)

1 15

(D)

1 30

2

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( N ,1),( N , 2),( N ,3),( N , 4),( N ,5) ,共 15 种可能,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是
选 C. 考点:古典概型. (6)若 tan ? ?

1 ,故 15

1 ,则 cos 2? ? ( 3



4 (A) 5 ?
【答案】D

1 (B) 5 ?

1 (C) 5

4 (D) 5

考点:1、同角三角函数间的基本关系;2、二倍角. (7)已知 a ? 2 , b ? 3 , c ? 25 ,则 (A) b ? a ? c 【答案】A 【解析】 试题分析:因为 a ? 2 3 ? 4 3 , c ? 25 3 ? 5 3 ,又函数 y ? x 3 在 [0, ??) 上是增函数,所以 3 3 ? 4 3 ? 5 3 ,即
4 2 1 2
2

4 3

2 3

1 3

(B) a ? b ? c

(C) b ? c ? a

(D) c ? a ? b

2

2

2

b ? a ? c ,故选 A.
考点:幂函数的单调性. (8)执行下图的程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n=

3

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(A)3 【答案】B

(B)4

(C)5

(D)6

考点:程序框图. (9)在 △ABC 中, B = (A) 【答案】D 【解析】
π 1 ,BC 边上的高等于 BC ,则 sin A = 4 3

3 10

(B)

10 10

(C)

5 5

(D)

3 10 10

AD , DC 试题分析:设 BC 边上的高线为 AD ,则 BC ? 3
正弦定理,知

?2 AD

,所以 AC ?

AD2 ? DC2 ? 5AD .由

AC BC 5 AD 3 AD 3 10 ? ,即 ,解得 sin A ? ,故选 D. ? sin B sin A 10 sin A 2 2

考点:正弦定理. (10)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为

4

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(A) 18 ? 36 5 【答案】B 【解析】

(B) 54 ? 18 5

(C)90

(D)81

试题分析:由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱,所以该几何体的表面积

S ? 2 ? 3? 6 ? 2 ? 3? 3 ? 2 ? 3? 3 5 ? 54 ? 18 5 ,故选 B.
考点:空间几何体的三视图及表面积.

AB ? 6 , BC ? 8 , (11) 在封闭的直三棱柱 ABC ? A1B1C1 内有一个体积为 V 的球, 若 AB ? BC , AA1 ? 3 ,
则 V 的最大值是 (A)4π 【答案】B (B)

9? 2

(C)6π

(D)

32? 3

考点:1、三棱柱的内切球;2、球的体积. (12)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点.P a 2 b2

为 C 上一点, 且 PF ? x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M, 与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中 点,则 C 的离心率为 (A) 【答案】A 【解析】

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

5

江西金太阳好教育云平台——资源中心 试题分析:由题意设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? a) ,分别令 x ? ?c 与 x ? 0 得点 | FM |? k (a ? c) ,

1 | OE | | OB | c 1 ka a ? ,即 ,整理,得 ? ,所以椭 | OE |? ka ,由 ?OBE ? ? CBM ,得 2 ? | FM | | BC | a 3 2k (a ? c) a ? c
圆离心率为 e ?

1 ,故选 A. 3

考点:椭圆方程与几何性质.

第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第(22)题~第(24)题未选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分
? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? (13)若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? 3 y ? 5 的最大值为_____________. ? x ? 1, ?
【答案】 ?10

考点:简单的线性规划问题. (14)函数 y ? sin x ? 3 cos x 的图像可由函数 y ? 2sin x 的图像至少向右平移_____________个单位长度 得到. 【答案】 【解析】
6

? 3

江西金太阳好教育云平台——资源中心 试题分析:因为 y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) ,所以函数 y ? sin x ? 3 cos x 的的图像可由函数

? 3

y ? 2sin x 的图像至少向右平移

? 个单位长度得到. 3

考点: 1、三角函数图象的平移变换;2、两角差的正弦函数. (15)已知直线 l : x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 12 交于 A, B 两点,过 A, B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于

C , D 两点,则 | CD |? _____________.
【答案】4

考点:直线与圆的位置关系. (16)已知 f ? x ? 为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e? x?1 ? x ,则曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, 2) 处的切线方程式 _____________________________. 【答案】 y ? 2 x 【解析】

?x ? 0 , 试题分析: 当 x ? 0 时, 则 f (? x) ? e x?1 ? x . 又因为 f ( x ) 为偶函数, 所以 f ( x) ? f (? x) ? e x?1 ? x ,
所以 f ?( x) ? e x?1 ? 1 ,则切线斜率为 f ?(1) ? 2 ,所以切线方程为 y ? 2 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x . 考点:1、函数的奇偶性;2、解析式;3、导数的几何意义.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分 12 分)
2 已知各项都为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? (2an?1 ?1)an ? 2an?1 ? 0 .

(I)求 a2 , a3 ; (II)求 ?an ? 的通项公式. 【答案】 (Ⅰ) a2 ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)将 a1 ? 1 代入递推公式求得 a2 ,将 a2 的值代入递推公式可求得 a3 ; (Ⅱ)将已知的递推公 式 进行因式分解,然后由定义可判断数列 {an } 为等比数列,由此可求得数列 {an } 的通项公式.
7

1 1 1 , a3 ? ; (Ⅱ) an ? n ?1 . 2 4 2

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考点:1、数列的递推公式;2、等 比数列的通项公式. (18) (本小题满分 12 分) 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图

(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (Ⅱ)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量. 附注: 参考数据:

? yi ? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1 i ?1

7

7

?( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 , 7≈2.646.

参考公式:相关系数 r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n



i

? y) 2

? ? ? 回归方程 y ? a ? bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

? b?

? (t
i ?1

n

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

n

? ? ? , a =y ? bt .

? t )2

【答案】 (Ⅰ) r ? 0.99 ,说 明 y 与 t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系; (Ⅱ)1.82 亿吨
8

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9.32 ?? ? 1.331 及(Ⅰ)得 b (Ⅱ)由 y ? 7

? (t
i ?1

7

i

? t )( yi ? y )
i

? (t
i ?1

7

?

? t )2

2.89 ? 0.103, 28

?t ? 1.331? 0.103? 4 ? 0.92. ? ? y ?b a

[

? ? 0.92 ? 0.10t . 所以, y 关于 t 的回归方程为: y

..........10 分

? ? 0.92 ? 0.10? 9 ? 1.82 . 将 2016 年对应的 t ? 9 代入回归方程得: y
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. 考点:线性相关与线性回归方程的求法与应用. (19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABCD , AD ? BC , AB ? AD ? AC ? 3 , PA ? BC ? 4 , .........12 分

M 为线段 AD 上一点, AM ? 2 MD , N 为 PC 的中点.

9

江西金太阳好教育云平台——资源中心 (I)证明 MN ? 平面 PAB ; (II)求四面体 N ? BCM 的体积. 【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)

4 5 . 3

(Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD , N 为 PC 的中点, 所以 N 到平面 ABCD 的距离为

1 PA . 2

....9 分

取 BC 的中点 E ,连结 AE .由 AB ? AC ? 3 得 AE ? BC , AE ? 由 AM ∥ BC 得 M 到 BC 的距离为 5 ,故 S ?BCM ? 所以四面体 N ? BCM 的体积 VN ? BCM

AB2 ? BE2 ? 5 .

1 ? 4? 5 ? 2 5 . 2 1 PA 4 5 . .....12 分 ? ? S ?BCM ? ? 3 2 3

考点:1、直线与平面间的平行与垂直关系;2、三棱锥的体积. (20) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 2 x 的焦点为 F ,平行于 x 轴的两条直线 l1 , l2 分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准
2

线于 P,Q 两点. (I)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR ? FQ ; (II)若 ?PQF 的面积是 ?ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.
10

江西金太阳好教育云平台——资源中心 【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ) y 2 ? x ?1 .

(Ⅱ)设 l 与 x 轴的交点为 D( x1 ,0) , 则 S ?ABF ?

a ?b 1 1 1 . b ? a FD ? b ? a x1 ? , S ?PQF ? 2 2 2 2 1 1 a ?b ,所以 x1 ? 0 (舍去) , x1 ? 1 . b ? a x1 ? ? 2 2 2

由题设可得

设满足条件的 AB 的中点为 E ( x, y ) . 当 AB 与 x 轴不垂直时,由 k AB ? k DE 可得 而

2 y ? ( x ? 1) . a ? b x ?1

a?b ? y ,所以 y 2 ? x ? 1( x ? 1) . 2
2

当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为 y ? x ?1 .

....12 分

考点:1、抛物线定义与几何性质;2、直线与抛物线位置关系;3、轨迹求法. (21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1.
11

江西金太阳好教育云平台——资源中心 (I)讨论 f ( x ) 的单调性; (II)证明当 x ? (1, ??) 时, 1 ?

x ?1 ? x; ln x

(III)设 c ? 1 ,证明当 x ? (0,1) 时, 1 ? (c ?1) x ? c x . 【答案】 (Ⅰ)当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) 单调递增;当 x ? 1 时, f ( x ) 单调递减; (Ⅱ)见解析; (Ⅲ)见解析.

考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、不等式的证明与解法. 请考生在[22]、[23]、[24]题中任选 一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。 如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲
AB 的中点为 P ,弦 PC,PD 分别交 AB 于 E,F 两点. 如图,⊙O 中 ?

(I)若 ?PFB ? 2?PCD ,求 ?PCD 的大小; (II)若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G ,证明 OG ? CD .

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【答案】 (Ⅰ) 60 ? ; (Ⅱ)见解析.

考点:1、圆周角定理;2、三角形内角和定理;3、垂直平分线定理;4、四点共圆. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? ? x ? 3 cos ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (? 为参数) ,以坐标原点为极点,以 x 轴的正 ? ? y ? sin ?

? 半轴为极轴, ,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 2 2 . 4
(I)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (II)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标. 【答案】 (Ⅰ) C1 的普通方程为

3 1 x2 ? y 2 ? 1, C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 ; (Ⅱ) ( , ) . 2 2 3

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考点:1、椭圆的参数方程;2、直线的极坐标方程. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ? a (I)当 a=2 时,求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (II)设函数 g ( x) ?| 2 x ? 1|, 当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ? 3 ,求 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ) {x | ?1 ? x ? 3} ; (Ⅱ) [2, ??) . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用等价不等式 | h( x) |? a ? ?a ? h( x) ? a ,进而通过解不等式可求得; (Ⅱ)根据条件 可首先将问题转化求解 f ? x ? ? g ? x ? 的最小值,此最值可利用三角形不等式求得,再根据恒成立的意义建 立简单的关于 a 的不等式求解即可. 试题解析: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| 2 x ? 2 | ?2 . 解不等式 | 2 x ? 2 | ?2 ? 6 ,得 ?1 ? x ? 3 . 因此, f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?1 ? x ? 3} . ………………5 分

(Ⅱ)当 x ? R 时, f ( x) ? g ( x) ?| 2 x ? a | ?a? |1 ? 2 x |

?| 2 x ? a ? 1 ? 2 x | ?a ?|1 ? a | ?a ,
当x?

1 时等号成立, 2
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考点:1、绝对值不等式的解法;2、三角形绝对值不等式的应用.

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