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柱锥台的体积


在我们实际生活中,常会遇到需要解决物体所占空间或 物体的容积等等问题。如:

X

二、体积的概念
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积

单位体积 几何体的体积是单位体积的多少倍,这 个倍数就是这个几何体的体积的数值。

长方体的体积等于它的长、宽、高的积

V长方体= abc
长方体的体积等于它的底面积s和高h的积

V长方体= sh
正方体的体积等于它的棱长a 的立方

V正方体= a3

三、祖暅原理
夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两 个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面 积总相等,那么这两个几何体的体积相等。

?

P
?

Q

祖暅原理

S ? ? S圆 ? ? ? V 三棱锥 = V圆锥 h ? ? h圆 ?

β

α

四、柱体的体积

定理 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底 面 积s和高h的积。

V柱体= sh
推论 底面半径为r,高为h圆柱的体积是

V圆柱= ? r2h

A′ B′

C′

A′

A′

A′ B′ B′

C′

A

C A

C

C B

C

B 思考: B (1) V A ' ? ABC 与 V C ? A ' B 'C ' 关系: (2) V A '? AB 'C 与 V A '? B 'C 'C 关系:

V A ' ? ABC = V C ? A ' B 'C ' V A '? AB 'C = V A '? B 'C 'C

(3)V C ? A ' B 'C ' 与 V A '? B 'C 'C 关系: V C ? A ' B 'C ' = V A '? B 'C 'C

V圆 台 = V 大 圆 锥 -V小 圆 锥 =
? 1 3 Sh ? 1 3 a (S -S )
'

1 3

S (h ? a ) ?

1 3

Sa

'

?

a a?h
'

?

S

'

?a ?

h S S?
1 3

'

S
1 3
1 3

S

'

V圆 台 ?

1 3

Sh ?

1 3

?

h S S?

? (S -S ) ?
'

Sh ?

h S ( S?
'

S )

'

S
'

'

?

1 3

Sh ?

1 3

h S ( S?
'

S )?

h (S + S S + S )

'

'

棱台的体积公式与圆台的体积公式之间存在的关系?

故:V台体 =

1 3

h(S+ SS +S )

'

'

柱体、锥体,台体的体积公式之间存在的关系?
S=S
1 3
'

V柱体 =hS

V台体 =

h(S+ SS +S ) V锥体 = 1 3 hS

'

'

S ?0
'

例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重 P 5.8kg. 已知底面六边形的边长是12mm,高 是10mm,内孔直径是10mm. 问约有毛坯多 少个(铁的密度是7.8g/cm3)。

O N

解:六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体 积的差。 3 3 3 2 V 六棱柱 ? ? 12 ? 6 ? 10 ? 3 . 74 ? 10 ( mm ) 4 2 ? 10 ? 3 3 V圆柱 ? ? ? ? ? ? 10 ? 0 . 785 ? 10 ( mm ) ? 2 ? 一个毛坯的体积为 V ? 3 . 74 ? 10 3 ? 0 . 785 ? 10 3
? 2 . 96 ? 10 ( mm
3 3

) ? 2 . 96 ( cm )
3

5 . 8 ? 10 ? ( 7 . 8 ? 2 . 96 ) ? 2 . 5 ? 10 ( 个 ) 答:略.
3 2

例2 从一个正方体中,如图那样截去4个三棱锥后, 得到一个正三棱锥A-BCD,求它的体积是正方体体积 的几分之几?

1、小结:这两节课学习了柱体、锥体与台体的表面积 和体积的结构和求解方法及公式。用联系的关点看待 三者之间的关系,更加方便于我们对空间几何体的了 解和掌握。


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