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溧水县第二高级中学数学教学案必修4:第30课时(两角和与差的余弦)(苏教版)


总 课 题 分 课 题 教学目标 重点难点 ?引入新课

两角和与差的三角函数 两角和与差的余弦

总课时 分课时

第 30 课时 第 1 课时

会用向量的数量积推导两角差的余弦公式, 并体会向量与三角 函数之间的关系;会用余弦的差角公式余弦的和角公式,理解化 归思想;能用和差角的余弦公式进行简单

的三角函数式的化简、 求值、证明。 余弦差角公式的推导及运用

1、已知向量 a = ( x1, y1 ), b = ( x 2 , y 2 ) ,夹角为 ? ,则 a ? b 2、由两向量的数量积研究两角差的余弦公式

? ?

=

=

cos(? ? ? ) =
思考:如何用距离公式推导公式 C (? ?? )

,简记作: C (? ?? )

3、 在上述公式中,用 ? ? 代替 ? 得两角和的余弦公式:

cos(? ? ? ) =

,简记作: C (? ? ? )

思考:你能直接用数量积推导两角和的余弦公式 C (? ? ? ) 吗?

?例题剖析
例1、 利用两角和(差)余弦公式证明下列诱导公式:

(1) cos(

?
2

? ? ) ? sin a

(2) sin(

?
2

? ? ) ? cos ?

例 2、利用两角和(差)的余弦公式,求 cos75?, cos15?, sin 15?, tan15? 的值。

例 3、已知 sin a ?

2 ? 3 3? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? ? (? , ) ,求 cos(? ? ? ) 的值。 3 2 5 2

1

思考:在例 3 中,你能求出 sin(? ? ? ) 的值吗? 例 4、若 cos( ? ? ? ) ? 求 cos 2 ?

4 3 ? 3 , cos( ? ? ? ) ? ? , 且? ? ? ? ( , ? ),? ? ? ? ?, ) ( 2? , 5 5 2 2

注意:角的变换要灵活, 如 ? ? (? ? ? ) ? ? , ? ? ? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? ? ,2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 等

?巩固练习

1、化简: (1) cos 58? cos 37? ? sin 58? sin 37? = (2) cos(60? ? ? ) ? cos(60? ? ? ) = (3) cos(60? ? ? ) ? cos(60? ? ? ) = 2、利用两角和(差)余弦公式证明: (1) cos(

3? ? ? ) ? ? sin ? 2

(2) sin(

3? ? ? ) ? ? cos ? 2

3、已知 cos ? ? ? , ? ? (

3 5

?
2

, ? ), 求 cos(

?
3

? ? ) 的值

?课堂小结
两角和与差的余弦公式的推导;和(差)角余弦公式的运用于求值、化简、求角等

2

?课后训练
班级:高一( 一、基础题 1、 cos 105 ? = 2、在 ?ABC 中,已知 cos A ? cos B ? sin A ? sin B ,则 ?ABC 的形状为 3、计算(1) cos 24? cos 36? ? cos 66? cos 54? ? (2) cos 66? sin 69? ? sin 114 ? sin 21? = 4、化简: (1) cos( )班 姓名__________

?

3

? ? ) ? cos(

?

3

??) =

(2) cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? 5、已知 ? , ? 都是锐角, sin ? ? 6、已知 sin ? ? 二、提高题

3 5 , cos ? ? ,则 cos(? ? ? ) = 5 13

2 3 , cos ? ? ? , 且? , ?都是第二象限角,则 cos( ? ? ? ) = 3 4

15 ? ? , ? ? ( , ? ), 求 cos( ? ? )的值 ; 17 2 3 5 3 (2)已知 cos ? ? ? , ? ? (? , ? ), 求 cos( ? ? ? )的值 。 13 2
7、 (1)已知 sin ? ?

8、已知 cos( ? ? ? ) ?

1 1 , cos( ? ? ? ) ? ,求 tanα ? tan β 的值。 3 5

3

三、能力题 9、设 sin α =

π 5 10 , sin β = , α, β 为锐角,求证: α + β = 。 4 5 10

10、设 O 为坐标原点, P ( x1 , y1 ) 和 P2 ( x2 , y 2 ) 为单位圆上两点,且 ?P OP2 ? ? 。求证: 1 1

x1 x2 ? y1 y 2 ? cos?

4


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