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湖北省示范高中宜都一中2008届高三12月周练试题(数学12.23)


湖北省示范高中宜都一中 2008 届 高三数学周练试题
班级 学号

200.7。12.23
姓名

1.已知集合 A ? B ? R ,映射 f : A ? B 满足 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ,若对于实数 k ? B ,在 集合 A 中不存在原象,则 k 的取值范围是( A. k ? 1 B. k ?

1 ) D. k ? 1 ( )

C. k ? 1

2.函数 y ? sin x ? cos x(0 ? x ? A. ? ? 2, 2 ?

?
2

) 的值域是

?

?

B. ? ?1, 2 ?

?

?

C. ?0, 2 ?

?

?

D. ?1, 2 ?

?

?
( )

3.已知 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x2 ? a ( a 是常数) ,在 ? ?2, 2? 上有最大值 3,那么在 ? ?2, 2? 上的最 小值是 A.-5 B.-11
2 2

C.-29

D.-37

4.直线 l:x+2y-3=0 与圆 C:x +y +x-6y+m=0 有两个交点 A、B,O 为坐标原点,若

OA ? OB ,则 m 的值是( )
A.2 5.设 f (x ?1 ) ? x ?x 2 ? 值为( A. 2 ) B. B.3 C.-1 D.

2 2
An 的 n ?? 2 n

?x
1 2

n

, 且 f ( x ) 的展开式中所有项的系数和为 An ,则 lim

C. ?

1 2

D . –2

6.若不等式 [(1 ? a)n ? a]lg a ? 0 ,对任意正整数 n 恒成立,则实数 a 取值范围是 A. (0, )

1 2

(1, ??)

B. (0, )

1 2

C. (1, ??)

D. (0, )

1 3

(1, ??)

7.某公司招聘一名员工,有 3 人前往应聘,假设三人的水平分为上、中、下三个等级,公 司每天面试一人,当场决定是否聘用,为聘上上等水平的员工,公司采取如下策略:先不聘 第一人,若第二人比第一人水平高则聘第二人,否则聘第三人,则该公司聘到上等水平员工 的概率为( ) A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 4
( )

8.设 f ( x) 是定义在正整数集上的函数,且 f ( x) 满足: “当 f (k ) ≥ k 2 成立时,
2 总可推出 f (k ? 1) ≥ (k ? 1) 成立” .那么,下列命题总成立的是

A.若 f (3) ≥ 9 成立,则当 k ≥ 1 时,均有 f ( k ) ≥ k 成立 B.若 f (5) ≥ 25 成立,则当 k ≤ 5 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立
2 C.若 f ( 7 ) ? 49 成立,则当 k ≥ 8 时,均有 f ( k ) ? k 成立

2

D.若 f ( 4 ) ? 25 成立,则当 k ≥ 4 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立

9.一次研究性课堂上,老师给出函数 f ?x ? ? 函数时分别给出命题: 甲:函数 f ?x ? 的值域为 ?? 1,1? ;

x ?x ? R ? ,三位同学甲、乙、丙在研究此 1? x

乙:若 x1 ? x 2 ,则一定有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ; 丙:若规定 f1 ?x? ? f ?x?, f n ?x? ? f ? f n?1 ?x?? ,则 f n ?x ? ? 你认为上述三个命题中正确的个数有( A.0 个 B.1 个
? x ? y ?3? 0 ? ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?

x ? 对任意 n ? N 恒成立. 1? n x

) D.3 个

C.2 个

10.可行域 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 的顶点是 A?1 , 2? , B ? 2, 1? , C ? 3 , 3? , z ? kx ? y ? k为常数? ,若使 得 z 取得最大值为 4 的最优解 P 是唯一的,则 P =( A、 ?1, 2 ? 11.定义运算
?

) C、 ? 3,3? D、 ? 2, 2 ? .

B、 ? 2,1?

a b 2 ?1 ? ad ? bc ,则符合条件 ? 3 ? 2i 的复数 z 为 c d z zi
n n?1 ? Cn 2 ?

1 2 3 2 12.设 n ? N ,则 Cn ? Cn 2 ? Cn 2 ?

13.设平面向量 a =(-2,1), b =(λ ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 的取值范围是

14. 关于曲线 C : x4 ? y 2 ? 1 给出下列说法:①关于直线 y ? 0 对称;②关于直线 x ? 0 对 称;③关于点 (0, 0) 对称;④关于直线 y ? x 对称;⑤是封闭图形,面积小于 ? ;⑥是封闭 图形,面积大于 ? ;⑦不是封闭图形,无面积可言.则其中正确说法的序号是 . (注:把你认为正确的序号都填上) 15.有一道解三角形的题目,因纸张破损有一个条件不清,具体如下:在 ABC 中,已知

a ? 3 , B ? 45 ,

求角 A 。经推断破损处的条件为三角形一边的长度,且答

案提示 A ? 60 ,请直接在题中横线上将条件补充完整。 16.已知向量 a ? (cos? , sin ? ), b ? (cos? , sin ? ),| a ? b |? (1)求 cos(? ? ? ) 的值; (2)若 0 ? ? ?
? ? ? ?

4 13 . 13

?
2

,?

?

4 ? ? ? 0, 且 sin ? ? ? , 求 sin ? 的值 2 5

17. A、 B 两支兵乓球队进行团体对抗赛, 每队各有三名队员, A 队的三名队员是 A1 , A2 , A3 ,

B 队的三名队员是 B1 , B2 , B3 , 且 Ai 对 B j 的胜率为

i (1 ? i, j ? 3) .若 A1 对 B2 , A2 对 B3 , i? j

A3 对 B1 ,比赛采用三局二胜制.
(1) 求 A 队取胜的概率. (2) 如何对阵,A 队的胜率最高?(直接写出最后对阵方式和胜率即可) 18. 9 个正数排成 3 行 3 列如下: a11

a12 a22 a32

a13 a23 a33

a21 a31

其中每一行的数成等差数列, 每一列的数成等比数列, 并且所有公比相等. 已知 a12= 1,

3 1 a23= , a32= 4 4
(1)求 a11 ,第一行数列的公差 d1,及各列数列的公比 q; (2)若保持这 9 个正数的位置不动,按照(1)中所求的规律排布,补做成一个 n 行 n 列的数表.

a11 a21 a31
???

a12 a22 a32
???

a13 a23 a33
???

???, ???, ???,
???

a1n a2 n a3n
???

an1

an 2

an 3

???,

ann

试求 a11 + a22 + ??? + ann 的值. 19.如图,在△ABC 中, | BC |? 3 2 , | CA |? 4 , | AB |? 2 3 ,PQ 是以 A 为圆心, 2 为半 径的圆的直径,求 BP ? CQ 的最大值、最小值,并指出取最大值、最小值时向量 PQ 的方向.
A Q

20.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a , b, c ?R 且 a ? 0) . (1) 当 x ? 1 时有最大值 1, 若 x ?[m , n](0 ? m ? n) 时, 函数 f ( x)
f ( m) n 1 1 ? ; 的值域为 [ , ] ,证明: f ( n) m n m

P

B

C

(2)若 b ? 4 , c ? ?2 时,对于给定正实数 a,有一个最小负数 ? (a) ,使得 x ?[? (a) , 0]

时, | f ( x) |? 4 恒成立,问 a 为何值时, ? (a) 最小,并求出这个最小值.

21.已知数列 {an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,对每一个 k ? N*,在 ak 与 ak+1 之间插 入2
k ?1

个 2,得到新数列{bn}.设 Sn,Tn 分别是数列{bn}和数列 {an } 的前 n 项和.

(1)a10 是数列{bn}的第几项; (2)是否存在正整数 m,使 Sm =2008?若不存在,请说明理由;若存在,求出 m 的值. (3)若 am 是数列{bn}的第 f(m)项,试比较 Sf(m)与 2Tm 的大小,并说明理由. 22. (附加题 三一班同学做)如图,已知抛物线 x ? 2 px ? p ? 0? 和直线 y ? b ? b ? 0? ,
2

点 P ? t , b ? 在直线 y ? b 上移动,过点 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A, B ,线段 AB 的中点为 M (1)求点 M 的轨迹; (2)求线段 AB 长的最小值; (3)求证直线 PM 的倾斜角为定植,并求 lim
t ??

AB 的最值。 PM

数学试卷 (理科)参考答案
一.选择题:DDDBA ACDDC

二.填空题:11、

7 4 1 3n ? 1 ? i ;12、 ;13、? ? ? , 且? ? 2 ;14、①②③⑥;15、c ? 5 5 2 2

2? 6 2

三.解答题: 16、解: (I) a ? b

? (cos? ? cos ? , sin ? ? sin ? ).

??????2 分

| a ? b |2 ? (cos? ? cos ? ) 2 ? (sin? ? sin ? ) 2
? 2 ? 2 cos(? ? ? ) ,
? 16 ? 2 ? 2 cos( ? ? ? ), 13 ? cos( ? ? ? ) ? 4 , 5
??????8 分 ??????4 分

(II)由 0 ? ? ?

?

2

,?

?

5 . ??????6 分 13

2

? ? ? 0 且 sin ? ? ?

3 ? cos ? ? , 且0 ? ? ? ? ? ? . 5

又 ? cos(? ? ? ) ?

5 12 ,? sin(? ? ? ) ? . 13 13
??????10 分

? sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ?

12 3 5 4 16 ? ? ? (? ) ? . 13 5 13 5 65
??????12 分

17、解: (1)解:设 A1 , A2 , A3 的胜率分别为

1 2 3 p1 , p2 , p3 ,则 p1 ? , p 2 ? , p3 ? , 3 5 4

A 队若取胜,必须胜两局或者三局,则 A 队取胜的概率

P ( A) = p1 p2 (1 ? p3 )

+ p2 p3 (1 ? p1 ) + p3 p1 (1 ? p2 ) ? p1 p2 p3 =

29 .??????6 分 60

(2)解:对阵方式为 A1对B3 ; A2 对B1 ; A3对B2 ,???????????10 分 A 队取胜的概率为

31 .?????????????????12 分 60


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