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高二数学上学期期中考试试题 文


高二数学试题(文)2012/11/8
注意事项: 1. 本试题共分三大题,全卷共 150 分。考试时间为 120 分钟。 2.第 I 卷必须使用 2B 铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号,修改时,要用橡皮擦干净。 3. 第 II 卷必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置,在草稿纸和本卷 上答题无效。作图时,可用 2B 铅笔,要求字体工整、笔迹清晰。

第 I 卷(共 60 分) 一、 选择题 (本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 4 个选项中, 只有一项符合题目要求.) 1.两数 2 ? 1 与 2 ? 1 的等差中项是 .... A. 2 2 B. 2 C. 1 D. 2 2 2 2 2.在△ABC 中,若 b ? c ? a ? bc, 则 A ? 0 0 0 0 A. 60 B. 90 C. 135 D. 150 2 3.不等式 ? x ? 3x ? 4 ? 0 的解集为 A. {x | ?1 ? x ? 4} B. {x | x ? 4或x ? ?1} C. {x | x ? 1或x ? ?4} D. {x | ?4 ? x ? 1} 4.若 a ? 1, 则 a ? A.2

1 的最小值是 a ?1
B.a C.3 D.

2 a a ?1

5.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于 A.3 B.

5 3

C.1

D.-2

6.已知 ?1 ? b ? 0 , a <0,那么下列不等式成立的是 2 2 2 2 A. a ? ab ? ab B. ab ? ab ? a C. ab ? a ? ab D. ab ? ab ? a 7.Δ ABC 中,a=1,b= 3 , A=30°,则 B 等于 A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° D.120° 8.已知点(3,1)和(4,6)在直线 3x-2y+a=0 的两侧,则 a 的取值范围是 A. a ? 0 B. a ? ?7 C. a ? 0 或 a ? ?7 D. ?7 ? a ? 0 9.已知 x>0,y>0,且 x+y=1,求

4 1 ? 的最小值是 x y
D.9 D.等边三角形

A.4 B.6 C.7 10.在中 ?ABC , b cos A ? a cos B ,则三角形的形状为 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形 11.数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 an ? A.1 B.

5 6

1 ,则 S 5 等于 n(n ? 1) 1 C. 6

D.

1 30

?x ? 2 ? 12.若 ? y ? 2 则目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?x ? y ? 2 ?
A.-2 B.2 C.0 D.3

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第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案填在答题纸上) 13.在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, , 所对的边, a ? 7, b ? 8, cos C ? B C 若
2 2

14.若关于 x 的不等式 ax ? 6 x ? a ? 0 的解集 {x |1 ? x ? 2} ,则 a 的值为_________. 15.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第 n 个图案中有白色地 面砖的块数是 .

13 , c? 则 14

.

第1个
2

第2个

第3个

16.若不等式 mx +4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) (1) S n 为等差数列{an}的前 n 项和, S 2 ? S 6 , a4 ? 1 ,求 a5 . (2)在等比数列 ?a n ? 中,若 a4 ? a2 ? 24, a2 ? a3 ? 6, 求首项 a 1 和公比 q . 18.(本小题满分 12 分) 在 △ABC 中,内角 A B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? , 若 △ABC 的面积等于 3 ,求 a,b . 19.(本小题满分 12 分) 有三个数成等差数列,前两个数的和的 3 倍正好是第三个数的 2 倍,如果把第二个数减 去 2,那么所得到数是第一个数与第三个数的等比中项.求原来的三个数. 20. (本小题满分 12 分) 若 0≤a≤1, 解关于 x 的不等式(x-a)(x+a-1)<0. 21. (本小题满分 12 分) 某种汽车购买时费用为 14.4 万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共 0.9 万元,汽 车的维修费为:第一年 0.2 万元,第二年 0.4 万元,第三年 0.6 万元,……,依等差数列逐 年递增. (Ⅰ)设使用 n 年该车的总费用(包括购车费用)为 f(n),试写出 f(n)的表达式; (Ⅱ)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少). ...... 22. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 前 n 项和 S n ,且 Sn ? 2an ? 2, n ? N? . (Ⅰ)试求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

? . 3

n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . an

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2011-2012 学年度高二年级上学期模块笔试(学段调研) 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题:AABCD DBDDC BA 二、填空题:13.3; 14.2 15.4n+2; 16.-1<m≤0. 三、解答题: 17.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 由题意, ? 得

? 2a1 ? d ? 6a1 ? 15d , ? 2a1 ? 7 d ? 0, 即? ? a1 ? 3d ? 1, ? a1 ? 3d ? 1,

………………………3 分 …………………6 分

解得, d ? ?2, a1 ? 7. 所以, a5 ? a1 ? 4d ? 7 ? 4 ? (?2) ? ?1. (2)设等比数列{an}的公比为 q,

? a1q (q 2 ? 1) ? 24, 由题意,得 ? …………………………………3 分 ? a1q (1 ? q ) ? 6, 1 解得, q ? 5, a1 ? . ……………………………………………6 分 5 ? ? 2 2 ?a ? b ? 2ab cos 3 ? 4, ? a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ? 18.解:由题意,得 ? 即? ………………………6 ? ab ? 4, ? 1 ab sin ? ? 3, ?2 3 ?
分 因为 (a ? b) ? 3ab ? (a ? b) ? 3 ? 4 ? (a ? b) ? 12 ? 4, 所以 a ? b ? 4,
2 2 2

由?

? a ? b ? 4, 得 a ? b ? 2. ? ab ? 4,
由题意,得 ?

………………………………………………12 分

19.解:设成等差数列的三个数分别为 a ? d , a, a ? d ,

?3(2a ? d ) ? 2(a ? d ),

2 2 ?(a ? d )(a ? d ) ? (a ? 2) , ?4a ? d ? 4, ? d ? 1, ? d ? 4, ? 解得, ? 或? ……………………8 分 5 ? a ? 5, ? a ? , ? 4 1 5 9 , , . 所以,原来的三个数分别为 1,5,9 或 4 4 4 …………………………12 分

即?

? 4 a ? 5d ,

…………………4 分

20.解:原不等式即为(x-a)[x-(1-a)]>0, 因为 a-(1-a)=2a-1,所以, 当 0≤ a ? 当

1 时, a ? 1 ? a, 所以原不等式的解集为 {x | x ? 1 ? a 或 x ? a} ;…………3 分 2

1 ? a ≤1 时, a ? 1 ? a, 所以原不等式的解集为 {x | x ? a 或 x ? 1 ? a} ;…………6 分 2 1 1 2 1 当 a ? 时,原不等式即为 ( x ? ) >0,所以不等式的解集为 {x | x ? , x ? R}. ……9 分 2 2 2 1 综上知,当 0≤ a ? 时,原不等式的解集为 {x | x ? 1 ? a 或 x ? a} ; 2 1 当 ? a ≤1 时,所以原不等式的解集为 {x | x ? a 或 x ? 1 ? a} ; 2

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当a ?

1 1 时,原不等式的解集为 {x | x ? , x ? R}. 2 2 ? 14.4 ? 0.2n(n ? 1) ? 0.9n 2

……………………12 分

21.解: (Ⅰ)依题意 f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n ……………………4 分

? 0.1n 2 ? n ? 14.4
(Ⅱ)设该车的年平均费用为 S 万元,则有

……………………6 分

S?

1 1 ……………………8 分 f (n) ? (0.1n 2 ? n ? 14.4) n n n 14.4 ? ? ? 1 ? 2 1.44 ? 1 ……………………………………9分 10 n
? 2 ?1.2 ? 1 ? 3.4 …………………………………………… 10分
………………11 分 ………………………………12 分

仅当

n 14.4 ,即 n=12 时,等号成立. ? 10 n

答:汽车使用 12 年报废为宜.

22.解: (Ⅰ)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (2an ? 2) ? (2an ?1 ? 2) ? 2an ? 2an ?1 ,

an ? 2, an ?1 当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 2, a1 ? 2,
所以, an ? 2an ?1 , 即 所以,数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn ?
n ?1

…………………………3 分 …………………………4 分

由等比数列的定义知,数列 {an } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,

? 2n , n ? N ? .

………………6 分

n n ? n, an 2 1 2 3 n ?1 n 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ?1 ? n ,① 2 2 2 2 2 1 以上等式两边同乘以 , 得 2 1 1 2 n ?1 n Tn ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 , ② 2 2 2 2 2

……………………8 分

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1 ? ( 1 )n ? n ①-②,得 Tn ? ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 2n ?1 2 2n ?1 1? 2 1 n n?2 n?2 ? 1 ? n ? n?1 ? 1 ? n ?1 , 所以 Tn ? 2 ? n . ………………………………14 分 2 2 2 2

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