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2012年波兰数学奥林匹克第二轮比赛


3 + = 3 1. 若, , , ∈ ,求解系统方程:? 3 + = + = 3 + =

2012 年波兰数学奥林匹克第二轮比赛

2. 证明对于四面体,当且仅当三角形, , 的面积相 等时,四面体的顶点内切球的中心以及重心共线。

3. 若, ∈ + ,且满足数集{1,2, ? , }正好

包含个不同的素数。请 个选出的数字中找出一个数字,该数字整除其它个数字的乘积。 ?()? + . 4. ? : → 找 出 所 有 , 以 满 足 ?, ∈ : (() ? ) =

证明: 如从数集{1,2, ? , }中任选 + 1个不同的数字, 则可从这 + 1

5. 在△中,∠ = 60°, ≠ , 为内心,为外心。请证明的 垂直平分线、直线和直线三线共点。 6. 用()表示的十进制记数法中数字的总和。请证明有无限多个 ? + 。使得(2 + ) < (2 )。


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