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立体几何向量法+直线的方向向量和平面的法向量(学生版)


直线的方向向量与平面的法向量 (学生版)
教学目标:理解直线的方向向量和平面的法向量;会用待定系数法求平面的法向量 教学重点:直线的方向向量和平面法向量的求法 教学难点:平面法向量的求法 教学过程: 一、情境引入 在平面向量中,我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂直等位置关系。如何用向量刻画空间的两条 直线、直线和平面、平面和平面的位置关系? 二、概念讲解 1.直线的方向向量:把直线 l 上的向量 e ( e ? 0 )以及与 e 共线的非零向量叫做直线 l 的方向向量 2.平面的法向量 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ? ,那么称向量 n 垂直于平面 ? ,记作 n ? ? 。 此时,我们把向量 n 叫做平面 ? 的法向量。 一个平面的法向量有 个,过一个定点作平面的法向量有 注意: (1)法向量一定是非零向量; (2)一个平面的所有法向量都互相平行; 个
?

?

?

?

(3)向量 n 是平面的法向量,向量 m 与平面α 平行或在平面α 内,则有 三、 空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系的向量表示
? ? ? ?



设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则 1.直线与直线平行:
l ∥m ?

? ? ? a ? kb ;

a

l m
a

a

l m

2.直线与直线垂直:
l ⊥m ?

b
? ? ? a?b ? 0;

b

l

3.直线与平面平行:
l ∥α ?

u
? ? ? a?u ? 0; ? ? ? a ? ku; ? ? ? u ? kv.
? u ? v ? 0.
α

4.直线与平面垂直:
l ⊥α ?

α
u a
α

l

5.平面与平面平行:
α ∥β ?

β
v
β

v

6.平面与平面垂直:
α ⊥β ?
u

u
α

四、数学应用

例 1 :在正方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,求证: DB 1 是平面 ACD 1 的法向量。

变式训练:在正方体 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,求平面 ACD 1 的一个法向量。

小结:求平面法向量的步骤:

(1)设平面的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ;

(2)找出平面内不共线的两个向量 a ? ( a 1 , b1 , c 1 ), b ? ( a 2 , b 2 , c 2 ) ; (3)列方程组 ?
?n ? a ? 0 ? ?n ? b ? 0 ?



(4)解方程组,取其中一个解,得平面的法向量。

练习:在空间直角坐标系中,已知 A ( 3, 0, 0 ), B (0, 4, 0 ) , C ( 0 , 0 , 2 ) ,求平面 ABC 的一个法向量. 例 2:如图, 已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直, M, 分别在对角线 BD, 上, BM= 点 N AE 且 AN=
1 3 1 3

BD,

AE。求证:MN//平面 CDE

例 3:已知正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, E , F 分别为 BB 1 , CD 的中点, 求证: D 1 F ? 平面 ADE

例 4: 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 平面 ABCD , PD ? DC , E 是 PC 中点,作 EF ? PB 交 PB 于 F 。 求证: (1) PA // 平面 BDE (2) PB ? 平面 DEF

例 5: 设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的体对角线 BD1 上, 记 求 ? 的取值范围

D1 P D1 B

? ? , 当∠APC 为钝角时,
D1 A1

C1

.P
D

B1 C B

A

课后作业:

班级______

学号______

姓名__________ )

1.直线 l 1 , l 2 的方向向量分别是 a ? ( 2 , ? 3 , 1), b ? ( ? 1, 1, 5 ) ,直线 l 1 , l 2 的位置关系是( A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、重合

2. ? , ? 的法向量分别是 u ? ( 2 , 5 , ? 3 ), v ? ( ? 1, ? 3 , 4 ) ,则平面 ? , ? 的位置关系是( ) A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、以上都不对 3.直线 l 的方向向量是 a ? ( ? 2 , 2 , 5 ) ,平面 ? 的法向量是 u ? ( 2 , ? 3 , 4 ) ,则 l 与 ? 的位置关系 是___________ 4. AB ? ( 2 , 2 ,1), AC ? ( 4 ,5 ,3 ) ,求平面 ABC 的法向量。

5.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E 为 BB1 的中点, 求证:平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.
B1

A1

C1

B

A

C

6.如图,在正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 中, E 、 F 分别是 CD , A1 D 1 的中点 (1)求证: AB 1 ? BF ; (2)求证: AE ? BF (3)棱 CC 1 上是否存在点 P ,使 BF ? 平面 AEP ,若存在,确定 P 的位置,若不存在,说明 理由
A1 F D1

B1

C1

A E B C

D

7.在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形,侧棱 PD 垂直于 ABCD ,PD ? DC , E 是 PC 的中点,做 EF ? PB 于点 F ,证明: (1) PA // 平面 EDB ; (2) PB ? 平面 EFD

P

E F

D

C

A

B

8.是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图. 若 F 为 PD 的中点,求证: A F ? 面 P C D
P 4 E A C D
4 4

2 2

B

4


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