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2012年高一数学竞赛解答13


2012 年姜堰中学高一新生数学竞赛入门自学材料

教练员 凌彬

平面几何竞赛基础 13

──

圆与圆位置关系
姓名:

爱因斯坦曾说:如果平面几何不能激起一个人的好奇心,那么这个人在科学上的发展也不会很远诶. 自学处理方法:先阅读完成例题解答,再独立完成练习并将解

答回发 jylingbin@163.com 邮箱,以便批阅反馈. 注意要求目的: 要求独立完成, 可以参阅资料. 目的是开学后考试选拔 100 名思维好且钻研能力强的竞赛选手.

一、基本知识 设大圆半径为 R,小圆半径为 r,两圆圆心距离(圆心距)为 d, 则 d>R+r ? 两圆外离; d=R-r ? 两圆内切; 特别地 d=0,两圆为同心圆. 对于两圆相切,连心线经过切点.相交的两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦. 对外离或外切的两圆,都存在两条外公切线,两条外公切线之长相等. 对外离的两圆,也有两条内公切线,两条内公切线也相等. d=R+r ? 两圆外切; d<R-r ? 两圆内含. R-r<d<R+r ? 两圆相交;

二、重要例题 例 1.三个等圆都通过 O 点,两两另外圆的交点是 A、B、C;这三个等圆的圆心是 O1,O2,O3,求 证:△ABC≌△O1O2O3. (提示:可按图中辅助线思考) 由题意可得 M1, M2, M3 分别为 O1O3 , O1O2 , O2O3 中点 ∴△ O1O2 O3 ∽ M 3 M1 M 2 ,且相似比为 4:1 △ ∵⊙ O1 与⊙ O2 相交 ∴B M 1 =O M 1 同理 O M 2 =C M 2 ,O M 3 =A M 3 ∴△ABC∽△ M 3 M1 M 2 ,且相似比为 4:1 ∴△ABC≌△O1O2O3 例 2.⊙O1 与⊙O2 相交于 A,过 A 作直线交⊙O1 于 C 交⊙O2 于 D, 设 M 是 O1O2 中点,N 是 CD 中点;求证:MN=MA. (提示:可按
图中辅助线思考)

作 O1Q⊥AC 于 Q,O2P⊥AD 于 P,MH⊥QP 于 H DN ? AN CN ? AN CN ? AN ∴AP= ,QN= ? AN ? 2 2 2 ∵N 是 CD 中点 ∴DN=CN ∴AP=QN 由题意可知四边形 OO1MA 和 O2PHM 为矩形
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教练员 凌彬

∴可知 QH=PH ∴QH-QN=PH-AP ∴NH=AH 又∵∠NHM=∠AHM=90° ∴可知 M 为 AN 中垂线上一点 ∴MN=MA 例 3.以 A、B、C 为圆心的三个圆,半径均为 r,其中 1<r<2,每两个圆心间的距离都是 2,若 B? 是 圆 A 和圆 C 的交点且在圆 B 外, C ? 是圆 A 和圆 B 的交点且在圆 C 外;试求 B ?C ? 的长. (提示:连

AC、BC、AB、B ' C , B ' C ' 交 AC 于 E ,交 AB 于 D ,作 B ' F ? AC 于 F ,对称性)
连接 AC,BC,AB,B′C,B′C′交 AC 于 E,交 AB 于 D,作 B′F⊥AC 于 F ∵AB′=AC′,AC=AB ∴A 在 B′C′和 CB 中垂线上 ∴可知 B′C′∥CB ∴∠AED=60° ∵AB′=CB′,B′F⊥AC ∴AF=1 ∴B′F= r 2 ? 1 ∴EF=
3 ? 3r 2 ? 3 3r 2 ? 3 2 3r 2 ? 3 ,B′E= ,AE= 3 3 3

有对称可知 C′E=B′E,ED=AE
2 3r 2 ? 3 2 3r 2 ? 3 3 ? 3r 2 ? 3 + + = 1 ? 3r 2 ? 3 3 3 3 例 4.如图,五个圆顺次相切,并且都和直线 l1、l2 相切,如果最大的圆半径是 18,最小圆的半径是

∴B′C′=

8,试求:正中间的圆的半 径. (提示: 利用相似三角形) 作五圆心与 l1 垂线,作 O1 P

A

B

⊥ O 2 A,作 O 2 Q⊥ O 3 B ∵∠ O1O 2 P =∠ O 2 O 3 Q , ∠ O1 PO2 =∠ O 2 QO 3 ∴△ O1O 2 P ∽△ O 2 O 3 Q

r1 ? r2 r2 ? r1 ? r2 ? r3 r3 ? r2

∴ r22 ? r1r3 ①

同理 r32 ? r2 r4 ②, r42 ? r3 r5 ③ ①×③: r22r42 ? r1r5r32 = r1r5r2r4 ∴ r2r4 ? r1r5 =144 ∴ r3 =12
例 5.在△ABC 中,AB<AC<BC,D 点在 BC 上,E 点在 BA 的延长线上,且 BD=BE=AC,△BDE 的 外接圆与△ABC 的外接圆交于 F 点;求证:BF=AF+CF. (提示:可用图中辅助线)

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延长 AF 到 M,使 FM=FC,连接 CM,FD ∴∠M=∠FCM B ∵四边形 BAFC 是内接四边形 ∴∠MFC=∠EBD 又∵BE=BD D ∴∠E=∠M=∠BFD C 又∵∠MAC=∠FBC,AC=BD A ∴△MAC≌△FBD(AAS) F M ∴BF=AM E ∴BF=AF+FM=AF+CF 例 6.从以 AB 为直径的半圆上一点 P 引 PC⊥AB 于 C,以 AC 为直径的圆和 PA 交于 D 点,以 BC 为直径的圆和 PB 交于 E 点;求证:DE 是这两圆的公切线. (提示:可用图中辅助线) ∵AB,AC,BC 为直径 ∴∠ADC=∠APB=∠BPC=90° ∴∠PDC=∠PEC=90° D ∴D,C,E,P 四点共圆 ∴∠CDE=∠CPE ∵∠PCA=90° ∴∠A+∠APC=90° A ∵∠APB=90° ∴∠APC+∠BPC=90° ∴∠A=∠BPC=∠CDE ∴DE 是以 AC 为直径的圆的切线 同理可证 DE 是以 BC 为直径的圆的切线 ∴DE 是这两圆的公切线 三、巩固练习 10 (以下两道题的解答要回发到邮箱 jylingbin@163.com)
P

E

O

C

B

1.如图,⊙O1 和⊙O2 相交于 M、N 两点,O1M 交⊙O2 于 A1,交⊙O1 于 A2;O2M 交⊙O2 于 B1,交 ⊙O1 于 B2,试证:直线 A1B1,A2B2,MN 相交于一点.

设 A2B2,A1B1 交于 P 点,连结 PM ∵A2M 为⊙O1 直径,B1M 为⊙O2 直径 ∴∠A2B2M=∠B1A1M=90°, ∠A2NM=∠B1NM=90°可知 A2, N,B1 三点共线 ∴A2,B2,A1,B1 四点共圆,同样 B2,M,A1,P 四点共圆 ∴∠PMA2=∠PB2A2=∠A2B1N ∵∠A2B1N+∠NMA2=180° ∴∠PMA2+∠NMA2=180°即 P,M,N 三点共线 ∴直线 A1B1,A2B2,MN 交于一点
2.已知两圆⊙O 及⊙O1 互相外切于 P,过 P 引互相垂直的两条直线, 分别交⊙O 及⊙O1 于 A、D 及 B、C;求证:AD2 与 BC2 的和等于两圆直 径和的平方.

∵∠APB=∠DPC=90° ∴AB 为⊙O 直径,DC 为⊙O1 直径 作 BE∥AD 交 CD 延长线于 E ∵OB=OP,PO1=CO1
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∴∠OBP=∠OPB=∠CPO1=∠PCO1 ∴AB∥CE ∴四边形 ABED 为平行四边形 ∴AB=DE,AD=BE ∵BE?+BC?=CE? ∴AD?+BC?=(AB+CD) ?

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