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2014年高考适应性能力考试文科(五)


2014 年高考数学适应性能力考试(五)

姓名 一、选择题: 1. 若复数 A.3 班级


总分

1 ? bi 的实部与虚部相等,则实数 b 等于( 2?i
B. 1 C.

) D. ?

1 3

1 2

>
2. 设全集 U=R,集合 A={x|

x ?1 x ? 0} ,B={x|1< 2 <8} ,则(CUA)∩B 等于( x?2

A.[-1,3) B. (0,2] C. (1,2] D. (2,3) 3. 一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,当某人到达路口 时看见的是红灯的概率是( A. B. ) C. ) D. a51 ? 51 D.

4.已知等差数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a101 ? 0, 则有( A. a1 ? a101 ? 0 B. a 2 ? a100 ? 0

C. a3 ? a99 ? 0

5. 若函数 f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且 a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g(x)=loga(x+k)的图象是

A 6. 设向量 a =(sinα, A.

B )的模为

C ,则 cos2α=( C.﹣ ) D.

D

B.﹣

7. 已知正数 x,y 满足 ? A.1

?2 x ? y ? 0 1 y ?x ,则 z ? 4 ? ( ) 的最小值为( 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
13 2 4
C.

)

B.

1 16

D.

1 32


8. 一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形,则该几何体的侧面积为( A. B. C. D. 9. 函数 y=sin(ωx+φ) 在区间 ) D.

上单调递减,且函数值从 1 减小

到﹣1,那么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为( A. B. C.

1

x2 y2 10. P 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的点,F1、F2 是其焦点,且 PF F1PF2 的面积 1 ? PF 2 ? 0 ,若△ a b
是 9,a+b=7,则双曲线的离心率为( A. B. ) C. D. )

11.已知正四棱锥的各棱棱长都为 3 2 ,则正四棱锥的外接球的表面积为( A. 12? B. 36? C. 72? D. 108?

12. 设 f(x) , g(x) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 当 x<0 时 ,

f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 ,且 f (?3) ? 0 ,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的
解集是( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)

开始 输入 x

C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 如右图所示的程序框图的输出值 y ? (1,2] ,则输入值

x ? 0?




x?
2



y ? log2 ( x ? 1)


y ? 2? x ? 1

, 14. P 为抛物线 y ? 4 x 上任意一点,P 在 y 轴上的射影为 Q,点 M(4,5) 则 PQ 与 PM 长度之和的最小值为 输出 y
结束

15.已知 AD 是Δ ABC 的中线,若∠A=120°, AB ? AC ? ?2 ,则 | AD | 的最 小值是______. 16. 在 ?ABC 中,BC= 2 5 ,AC=2, ?ABC 的面积为 4,则 AB 的长为 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (12 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1, a3 (I)求数列{an}的通项公式; (II) a2 ? a4 ? a6 ?
2



= 9a2. ? a6

? a2n 的值.

2

18.(12 分)为预防 H7N9 病毒爆发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若 疫苗有效的概率小于 90%, 则认为测试没有通过) , 公司选定 2000 个流感样本分成三组, 测试结果如下表: 分组 A组 B组 C组 673 a b 疫苗有效 77 90 c 疫苗无效 已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33. (I)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,问应在 C 组抽取样本多少个? (II)已知 b≥465,c ≥30,求通过测试的概率.

19.(12 分)如图,已知在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,△ PAD 是正三角形,平面 PAD⊥ 平面 ABCD,E,F,G 分别是 PD,PC,BC 的中点. (1)求证:平面 EFG⊥ 平面 PAD; (2)若 M 是线段 CD 上一点,求三棱锥 M﹣EFG 的体积.

P E F A M B G C D

20. (12 分) 已知两点 F1 (?1,0) 及 F2 (1,0) , 点 P 在以 F1 、F2 为焦点的椭圆 C 上, 且 PF 1 、F 1 F2 、 PF2 构成等差数列. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M , N 是直线 l 上的两点,且 F1 M ? l ,

F2 N ? l . 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.
y l M N F1 21.(12 分)已知函数 f(x)= O F2 x

x2 ? ln x ,x∈[1,3], 8
3

(Ⅰ)求 f(x)的最大值与最小值;

(Ⅱ)若 f(x)<4﹣at 于任意的 x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分

1 2 22.如图 6,在正△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC, AB 上,且 AD= 3 AC, AE= 3 AB,BD,CE 相交于点 F。
(I)求证:A,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若正△ABC 的边长为 2,求,A,E,F,D 所在圆的半径.

23.(10 分)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ?

数,0≤ ? < ? ). (Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (Ⅱ)若直线 l 经过点(1,0),求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长.

? x ? t cos? 4 cos ? ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参 2 sin ? ? y ? 1 ? t sin ?

24. (10 分)设函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R (Ⅰ)解不等式 f(x)≤5; (Ⅱ)若 g ( x) ?

1 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? m

参考答案(文科数学) 一、选择题: ABBCA DCCAD BD 二、填空题: 13. 13. (1,3] ? [? log2 3,?1) 三、解答题: 17.解: (I)设数列{an}的公比为 q.
4

14. 34 ? 1

15. 1

16.

4 或4 2

2 2 2 1 由 a2 3=9a2a6 得 a3=9a4,所以 q = . 9

1 由条件可知 q>0,故 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1,所以 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n........................6 3 ( II ) 由 ( I ) 可 知 a2 , a4 ,

1 1 , an2 是 首 项 为 ( ) 2 , 公 比 为 ( ) 2 项 数 为 n 的 等 比 数 列 , ∴ 3 3

a2 ? a4 ? a6 ?
18.解: (I)∵

1 1 [1 ? ( 2 ) n ] 2 1 1 3 ? [1 ? ( ) 2 n ] ? a2n = 3 1 8 3 1 ? ( )2 3
,∴ a=660…(2 分)

∵ b+c=2000﹣673﹣77﹣660﹣90=500,…(4 分) ∴ 应在 C 组抽取样个数是 (个) ; …(6 分)

(II)∵ b+c=500,b≥465,c≥30,∴ (b,c)的可能是 (465,35) , (466,34) , (467,33) , (468,32) , (469,31) , (470,30) ,…(8 分) 若测试没有通过,则 77+90+c>2000×(1﹣90%)=200,c>33, (b,c)的可能性是(465,35) , (466,34) , 通过测试的概率是 . …(12 分)

19.解: (1)∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD ? 平面 ABCD,CD⊥ AD ∴ CD⊥ 平面 PAD…(3 分) 又∵ △ PCD 中,E、F 分别是 PD、PC 的中点, ∴ EF∥ CD,可得 EF⊥ 平面 PAD ∵ EF ? 平面 EFG,∴ 平面 EFG⊥ 平面 PAD;…(6 分) (2)∵ EF∥ CD,EF ? 平面 EFG,CD ? 平面 EFG, ∴ CD∥ 平面 EFG, 因此 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离, ∴ VM﹣EFG=VD﹣EFG, 取 AD 的中点 H 连接 GH、EH,则 EF∥ GH, ∵ EF⊥ 平面 PAD,EH ? 平面 PAD,∴ EF⊥ EH 于是 S△EFH= EF× EH=2=S△EFG, ∵ 平面 EFG⊥ 平面 PAD,平面 EFG∩平面 PAD=EH,△ EHD 是正三角形 ∴ 点 D 到平面 EFG 的距离等于正△ EHD 的高,即为 ,…(10 分) 因此,三棱锥 M﹣EFG 的体积 VM﹣EFG=VD﹣EFG= × S△ EFG× 20. 解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为 = .…(12 分)

x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2

PF1 、 F1F 2 、 PF2 构成等差数列,
? 2a ? PF1 ? PF 2 ? 2 F1F2 ? 4 , a ? 2 .


c ? 1 ,?b2 ? 3 .
5

? 椭圆 C 的方程为
(2)

x2 y 2 ? ? 1 . …………………………………………………4 分 4 3
的 方 程 3x2 ? 4 y 2 ? 12 中 , 得 ……………………5 分
2 2 2

将 直 线 l 的 方 程 y ? kx ? m 代 入 椭 圆 C

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 12 ? 0 .
化简得: m2 ? 4k 2 ? 3 . 设 d1 ? F1M ?

由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 64k m ? 4(4k ? 3)(4m2 ?12) ? 0 ,

?k ? m k 2 ?1

k 2 ?1 (法一)当 k ? 0 时,设直线 l 的倾斜角为 ? ,则 d1 ? d2 ? MN ? tan ? , H
? MN ? d1 ? d 2 , k
2 2

, d2 ? F2 M ?

k ?m

y , ………………8 分 l M N O F2 x

F1

S?

2m d ? d2 1 d1 ? d 2 (d1 ? d 2 ) ? 1 ? 2 2 k 2k k ?1

?

2m m ?3 ?1 4
2

?

8 1 m? m

,……10 分

? m2 ? 4k 2 ? 3 ,? 当 k ? 0 时, m ? 3 , m ?
当 k ? 0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, S ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2 3 . (法二)? d12 ? d2 2 ? (

1 1 4 ? 3? ? 3,S ? 2 3. m 3 3
……………………………12 分

?k ? m k 2 ?1

k 2 ?1 m 2 ? k 2 3k 2 ? 3 ?k ? m k ? m d1d 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 3. k ?1 k ?1 k 2 ?1 k 2 ?1

)2 ? (

k ?m

)2 ?

2(m2 ? k 2 ) 2(5k 2 ? 3) , ? k 2 ?1 k 2 ?1

? MN ? F1 F2 2 ? (d1 ? d 2 ) 2 ? 4 ? (d12 ? d 2 2 ? 2d1d 2 ) ?
四边形 F1MNF2 的面积 S ?

2 k 2 ?1

. ………10 分

1 MN (d1 ? d 2 ) ? 2

1 k 2 ?1

(d1 ? d 2 ) ,

1 16k 2 ? 12 2 2 ( d ? d ? 2 d d ) ? 1 2 1 2 k 2 ?1 (k 2 ? 1) 2 1 ? 16 ? 4( 2 ? 2) 2 ? 12 . k ?1 当且仅当 k ? 0 时, S 2 ? 12, S ? 2 3 ,故 Smax ? 2 3 . S2 ?
所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为 2 3 .…………………………………………12 分 21. 解: (1)因为函数 f(x)= 所以 f′ (x)= ﹣lnx,

,令 f′ (x)=0 得 x=±2,

因为 x ? [1,3 ] , 当 1<x<2 时 f′ (x)<0;当 2<x<3 时,f′ (x)>0; ∴ f(x)在(1,2)上单调减函数,在(2,3)上单调增函数,
6

∴ f(x)在 x=2 处取得极小值 f(2)= ﹣ln2; 又 f(1)= ,f(3)= ∵ ln3>1∴ ∴ f(1)>f(3) , ∴ x=1 时 f(x)的最大值为 ,x=2 时函数取得最小值为 ﹣ln2. (2)由(1)知当 x ? [1,3 ] 时,f(x) , ,

故对任意 x ? [1,3 ] ,f(x)<4﹣at 恒成立,

1 对任意 t ? [0,2 ] 恒成立,即 at 8 记 g(t)=at,t ? [0,2 ]
只要 4﹣at> ∴ ,解得 a ,

恒成立

∴ 实数 a 的取值范围是(﹣∞,

) .

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】 2 1 AE ? AB BE ? AB 3 3 (Ⅰ)证明: ,? . 在正△ ABC 中, 又

1 AD ? AC 3 ,? AD ? BE ,

AB ? BC , ?BAD ? ?CBE ,

? △BAD≌△CBE,? ?ADB ? ?BEC ,
即 ?ADF ? ?AEF ? π ,所以 A , E , F , D 四点共圆. …………………………(5 分) (Ⅱ)解:如图 6,取 AE 的中点 G ,连结 GD ,则 2 1 2 AE ? AB AG ? GE ? AB ? 3 3 3, ,?

AG ? GE ?

1 AE 2 .

1 2 AD ? AC ? 3 3 , ?DAE ? 60? ,

? △AGD 为正三角形,
2 2 GD ? AG ? AD ? GA ? GE ? GD ? 3 ,即 3, ? 2 所以点 G 是△AED 外接圆的圆心,且圆 G 的半径为 3 . 2

图6

由于 A , E , F , D 四点共圆,即 A , E , F , D 四点共圆 G ,其半径为 3 .…(10 分) 23.解: (1)曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x ,故曲线 C 是顶点为 O(0,0) ,焦点为 F(1,0)的抛物线;
2

(2) 直线 l 的参数方程为 ?

? x ? t cos? ( t 为参数, 0≤ ? < ? ).故 l 经过点 (0, 1) ; 若直线 l 经过点(1,0), ? y ? 1 ? t sin ?
7

则? ?

3? 4

? 3? 2 ?? t ? x ? t cos ? 4 2 (t 为参数) ? 直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 1 ? t sin 3? ? 1 ? 2 t ? 4 2 ? 2 2 代入 y ? 4 x ,得 t ? 2 6t ? 2 ? 0
设 A、B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ?2 6 , t1t 2 ? 2

? AB ? t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 =8

8


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