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高一数学必修1第二章基本初等函数知识点总结归纳


必修 1 第二章基本初等函数(Ⅰ)知识点整理
〖2.1〗指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果 x
n

? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用符号 n a
n

表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号

a 表示,负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数

a 没有 n 次方根.
②式子
n

a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数时, a ? 0 .
n

③根式的性质: (

a )n ? a ;当 n 为奇数时, n an ? a ;当 n 为偶数时,

n

(a ? 0) ?a a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)



(2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a
? m n
m n

? n am (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0.②正数的负分数
注意口诀:底

指数幂的意义是: a

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) .0 的负分数指数幂没有意义. a a

数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①a
r

? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R)

② (a

r s

) ? ars (a ? 0, r, s ? R)

③ (ab)

r

? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R)

2.1.2 指数函数及其性质
(4)指数函数 函数名称 定义 函数 指数函数

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数
0 ? a ?1
y ? ax

a ?1

y
图象

y ? ax

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性

1

x 0
R
(0,+∞) 图象过定点(0,1) ,即当 x=0 时,y=1. 非奇非偶

O

1
x 0

在 R 上是增函数 1

在 R 上是减函数

函数值的 变化情况

y>1(x>0), y=1(x=0), 0<y<1(x<0)
在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴.

y>1(x<0), y=1(x=0), 0<y<1(x>0)
在第一象限内, a 越小图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠近 x 轴.

a 变化对
图象的影 响

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若 a
x

? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N

的对数,记作 x

? log a N ,其中 a 叫做底数, N

叫做真数.

②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化: x ? loga (2)几个重要的对数恒等式:

N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

log a 1 ? 0 , loga a ? 1 , log a ab ? b .
N ;自然对数: ln N
,即 log e . N (其中 e ? 2.71828 …)

(3)常用对数与自然对数:常用对数: lg N ,即 log10 (4)对数的运算性质 如果 a

? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么
②减法: log a

①加法: loga

M ? loga N ? loga (MN )

M ? log a N ? log a

M N

③数乘: ⑤ log ab

n loga M ? loga M n (n ? R)
Mn ? n log a M (b ? 0, n ? R ) b



a loga N ? N
N? logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

⑥换底公式: log a

2

【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数 函数名称 定义 函数 对数函数

y ? loga x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数
0 ? a ?1
y
x?1

a ?1
y
x?1

y ? loga x

y ? loga x

图象

O

1 (1, 0) 0

(1, 0)

x

O

1

0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

(0, ??)

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

? 1 时, y ? 0 .

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在第一象限内, a 越小图象越靠低,越靠近 x 轴 在第四象限内, a 越小图象越靠高,越靠近 y 轴

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在第一象限内, a 越大图象越靠低,越靠近 x 轴 在第四象限内, a 越大图象越靠高,越靠近 y 轴

a 变化对
象的影响



(6)反函数的概念 设函数

y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y ) .如果对于 y 在 C



的任何一个值,通过式子 x 数x

? ? ( y ) , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 x ? ? ( y ) 表示 x 是 y 的函数,函

? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f ?1 ( y) ,习惯上改写成 y ? f ?1 ( x) .

(7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 ③将 x

y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y) ;

? f ?1 ( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数

y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.
3

②函数

y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域. y ? f ( x) 的图象上,则 P' (b, a) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上.

③若 P ( a, b) 在原函数 ④一般地,函数

y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数.

〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数

y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象 关于

y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.

②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ?

? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象在 (0, ??)

上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与

y 轴.
?
q p

④奇偶性: 当 ? 为奇数时, 幂函数为奇函数, 当 ? 为偶数时, 幂函数为偶函数. 当?
q p

q (其中 p, q 互质, p 和 q ? Z ) , p
是偶函数,若



p 为奇数 q 为奇数时,则

y?x

是奇函数,若

p 为奇数 q 为偶数时,则
4

y?x

p 为偶数 q 为奇数时,



y?x

q p

是非奇非偶函数.

⑤图象特征:幂函数 在直线

y ? x? , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若 x ? 1 ,其图象

y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方.
〖补充知识〗二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: ③两根式:

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0)

(2)求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 (3)二次函数图象的性质

f ( x) 更方便.

①二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?

b 4ac ? b 2 b , 顶点坐标是 (? , ) 2a 2a 4a
时,

②当 a

? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?

b b b ] 上递减,在 [ ? , ?? ) 上递增,当 x ? ? 2a 2a 2a

f min ( x) ?

4ac ? b2 4a

;当 a

? 0 时,抛物线开口向下,函数在 ( ??, ?

b b ] 上递增,在 [ ? , ?? ) 上递减,当 2a 2a

x??

4ac ? b2 b 时, f max ( x) ? 2a 4a



③二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?
(4)一元二次方程 ax
2

? . |a|

? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整, 且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系 统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,从以下四个方
?? b 2a
③判别式: ? ④端点函数值符号.

面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x ①k<x1≤x2

?

5

y
f (k ) ? 0
?

y
a?0

x??

b 2a

O

k x1
x??
②x1≤x2<k

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

?
y y
f (k ) ? 0
?

a?0
O

x??
O

b 2a

x1

x2

k x
b 2a

k
x2
?

x1
a?0

x

x??
③x1<k<x2

f (k ) ? 0

?
y

af(k)<0

y
a?0
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

④k1<x1≤x2<k2

?
a?0
?

y
?

y

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

x??

b 2a

O k 1

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0
f(k1)f(k2) ? 0,并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2 种情况是否也符合

?

y
?

a?0

y
f ( k1 ) ? 0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

6

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出. (5)二次函数 设

?

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值
,最小值为 m ,令 x0

f ( x) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M

?

1 ( p ? q) . 2
③若 ?

(Ⅰ)当 a ①若 ?

? 0 时(开口向上)
②若

b ? p ,则 m ? f ( p) 2a
a?0

p??

b b ? q ,则 m ? f (? ) 2a 2a

b ? q ,则 m ? f (q) 2a
a?0

yx ? ? b f (q) p
O

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x

b 2a

y

x??

f (q)
O
f (? b ) 2a

f (p) q
x

b 2a

q p
O

f
b ? x0 ,则 M ? f (q) ①若 ? 2a yx ? ? b a?0
2a
b f ((p) ? ) 2a

p

x
b ) 2a

f f (? (q)

b ? x0 ,则 M ? f ( p) ②? 2a y b a?0 ??
x

f

f q (p) x0 p (q) q
O

2a

x(q) 0 p
O

x

x
b ) 2a

f
b f ((p) ? ) 2a
(Ⅱ)当 a ①若 ?

f f (?

? 0 时(开口向下)
②若

b ? p ,则 M ? f ( p) 2a
a?0

p??

b b ? q ,则 M ? f (? ) 2a 2a
a?0

③若 ?

b ? q ,则 M ? f (q) 2a
a?0
f f( ?

f (?

yb
2a

)

f (?

yb
2a

yb
2a

)

)

f (p)
O

f q (p)
x
O

(q) q p
x
O

p
b x ? ?(q) 2a

p
b x ? ?(q) 2a

q
x?? b 2a

x

f

f (p)

f

①若 ?

b ? x0 ,则 m ? f (q) 2a
a?0
f (?

②?

b ? x0 ,则 m ? f ( p) . 2a
a?0
f f( ?

yb
2a

)

yb
2a

)

f (p)
O

(q)

x0 p
b x ? ?(q) 2a

q
x

x0 p
O
7

q
x?? b 2a

x

f (p)

f


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