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2014高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 变化的快慢与变化率教案1 北师大版选修1-1


变化的快慢与变化率
一、教学目标 (1) 理解瞬时速度,会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度 (2)理解瞬时变化率概念, 实际背景,培养学生解决实际问题的能力 二、教学重点、难点 重点:瞬时速度,瞬时变化率概念及计算 难点:瞬时变化率的实际意义和数学意义 三、教学过程 (一) 、复习引入 1、什么叫做平均变化率?

f ( x0 ? ?x)

? f ( x0 ) ?x

2、如何精确地刻画物体在某一瞬间的速度呢? (二) 、例题分析 例 1:一个小球从高空自由下落,其走过的路程 s(单位:m)与时间 t(单位:s)的 函数关系为 s ? 的瞬时速度. 分析:当时间 t 从 t0 变到 t1 时,根据平均速度公式

1 2 gt 其中,g 为重力加速度 ( g ? 9.8m / s 2 ) ,试估计小球在 t=5s 这个时刻 2

?s s(t1 ) ? s(t 0 ) , ? ?t t1 ? t 0
可以求出从 5s 到 6s 这段时间内小球的平均速度

s(6) ? s(5) 176 .4 ? 122 .5 ? ? 53.9 (m/s) . 6?5 1
我们有时用它来近似表示 t=5s 时的瞬时速度。为了提高精确度,可以缩短时间间隔, 如求出 5~5.1s 这段时间内的平均速度

s (5.1) ? s (5) 127 .45 ? 122 .5 ? ? 49.5 (m/s) 。 5.1 ? 5 0.1
用它来近似表示 t=5s 时的瞬时速度. 如果时间间隔进一步缩短,那么可以想象,平均速度就更接近小球在 t=5s 这个时刻的 瞬时速度. 解:我们将时间间隔每次缩短为前面的

1 ,计算出相应的平均速度得到下表: 10

时间的改变量

路程的改变量 (Δ s )/m 4.95 0.49 0.049 0.0049 …

t0/s
5 5 5 5 5

t1/s
(Δ t)/s 5.1 5.01 5.001 5.0001 … 0.1 0.01 0.001 0.0001 …

平均速度 ?

? ?s ? ? /(m/s) ? ?t ?
49.5

49.049 49.0049 49.00049 …

可以看出,当时间 t1 趋于 t0=5s 时,平均速度趋于 49m/s,因此,可以认为小球在 t0=5s 时的瞬时速度为 49m/s。从上面的分析和计算可以看出,瞬时速度为 49m/s 的物理意义是, 如果小球保持这一刻的速度进行运动的话,每秒将要运动 49m.

例 2: 如图所示, 一根质量分布不均匀的合金棒, 长为 10m。 x(单 位:m)表示 OX 这段棒长,y(单位:kg)表示 OX 这段棒的质量,它 们满足以下函数关系:

y ? f ( x) ? 2 x 。
估计该合金棒在 x=2m 处的线密度. 分析:一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度,就是这段合金棒的平均线密度. 解:由 y ? f ( x) ? 2 x ,我们可以计算出相应的平均线密度得到下表 平均线密度 长度 x 的改变量 质量 y 的改变量 (Δ s )/kg 0.070 0.0071 0.00071 0.000071 …

x0/s

x1/s
(Δ x)/m

? ?y ? ? ? /(kg/m) ? ?x ?
0.70 0.71 0.71 0.71 …

2 2 2 2 2

2.1 2.01 2.001 2.0001 …

0.1 0.01 0.001 0.0001 …

可以看出,当 x1 趋于 x0=2m 时,平均线密度趋于 0.71kg/m,因此,可以认为合金棒在

x0=2m 处的线密度为 0.71kg/m。从上面的分析和计算可以看出,线密度为 0.71kg/m 的物理

意义是,如果有 1m 长的这种线密度的合金棒,其质量将为 0.71kg. (三) 、抽象概括:对于一般的函数 y ? f ( x) ,在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程当中,若设 Δ x= x1-x0, ?y ? f ( x1 ) ? f ( x0 ) ,则函数的平均变化率是

?y f ( x1 ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , ? ? ?x x1 ? x0 ?x
而当 Δ x 趋于 0 时, 平均变化率就趋于在点的瞬时变化率, 瞬时变化率刻画的是函数在 一点处变化的快慢. (四) 、交流思考 思考:速度对于时间的瞬时变化率又是什么呢? 1、速度的平均变化率:

v(t 0 ? ?t ) ? v(t 0 ) ?t v(t 0 ? ?t ) ? v(t 0 ) 无限趋近于一个常数,这个常 ?t

2、瞬时加速度:当 ?t 无限趋近于 0 时, 数称为 t=t0 时的瞬时加速度. (五) 、巩固提高

1、一辆汽车按规律 s=3t +1 做直线运动,求这辆汽车在 t=3 秒时的瞬时速度. 解析:∵Δ s=3(3+Δ t) +1-(3×3 +1)=3Δ t +18Δ t, ∴ Δ s 3Δ t +18Δ t = =3Δ t+18. Δt Δt Δs 无限趋近于 18, Δt
2 2 2 2

2

∵当 Δ t 无限趋近于 0 时,

∴这辆汽车在 t=3 秒时的瞬时速度的大小为 18.

2、某物体做匀速运动,其运动方程是 s=vt+b,则该物体在运动过程中其平均速度与任何 时刻的瞬时速度分别是多少? 解析:

?s s (t0 ? ?t ) ? s (t0 ) v(t0 ? ?t ) ? vt0 ? ? ?v ?t ?t ?t
Δs 无限趋近于常数 v,即物体在任意时刻的瞬时速度都是 v. Δt

∴当 Δ t 无限趋近于 0 时,

四、课堂小结 1、瞬时变化率的定义

2、求瞬时变化率的步骤 五、布置作业 课本习题 3、4、5


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