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2.3.2离散型随机变量的方差(教学设计)


SCH 南极数学同步教学设计
王新敞
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人教 A 版选修 2-3

第二章《随机变量及其分布》

2.3.2离散型随机变量的方差(教学设计)

教学目标: 知识与技能:了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标 准差。 过程与方法:

了解方差公式“D(a ξ +b)=a Dξ ” ,以及“若 ξ ~Β (n,p),则 Dξ =np(1—p)” ,并会应用 上述公式计算有关随机变量的方差 。 情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 教学重点:离散型随机变量的方差、标准差. 教学难点:比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题. 教学过程: 一、复习回顾: 1、.数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ?
2

则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ?

为 ξ 的数学期望,简称期望.
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2、 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平

3、 平均数、 均值:在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中, 令 p1 ? p2 ? ? ? pn , 则有 p1 ? p2 ? ?

? pn ?

1 1 , E? ? ( x1 ? x2 ? ? ? x n ) ? ,所以 ξ 的数学期望又称为平均数、均值 n n

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4、期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b 5、若ξ ? B(n,p) (二项分布) ,则 Eξ =np。 6、若 X 服从两点分布,则 E(X) =p 二、师生互动,新课讲解: 问题:要从两名同学中挑选出一名,代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录, 第一名同学击中目标靶的环数 X1 的分布列为 X1 P 5 0.03 6 0.09 7 0.20 8 0.31 9 0.27 10 0.10

第二名同学击中目标靶的环数 X2 的分布列为 X1 P 5 0.01 6 0.05 7 0.20 8 0.41 9 0.33
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第二章《随机变量及其分布》

应派哪位同学参赛? 画出分布列,求出它们的期望值相等。 1、方差: 设离散型随机变量 X 的概率分布为 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ?

则: ( xi ? E( X ))2 描述职 xi( i=1,2,3,??)相对于均值 E(X)的偏离程度,而:

D( X ) ? ? ( xi ? E ( X )) 2 pi
i ?1

n

为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度,我们称 D(X)为随机 变量 X 的方差,并称其算术平方根 D( X ) (或用 ? ( X ) )为随机变量 X 的标准差。 2、方差的性质: (1)若 X 服从两点分布,则 D(X)=p(1-p) (2)若 ξ ~B(n,p)(二项分布),则 D? ? np(1-p) (3) D(a? ? b) ? a 2 D? ; 3、其它: ⑴随机变量 ξ 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量 ξ 的方差、 标准差也是随机变量 ξ 的特征数, 它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、 集中与离散的程度; ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛 例题选讲: 例 1(课本 P66 例 4) .随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解:抛掷散子所得点数 X 的分布列为 ξ P 从而 1 2 3 4 5 6
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1 6

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1 6

1 6

1 6

1 6

1 1 1 1 1 1 EX ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 3.5 ; 6 6 6 6 6 6

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第二章《随机变量及其分布》

1 1 1 1 DX ? (1 ? 3.5) 2 ? ? (2 ? 3.5) 2 ? ? (3 ? 3.5) 2 ? ? (4 ? 3.5) 2 ? 6 6 6 6 1 1 ? (5 ? 3.5) 2 ? ? (6 ? 3.5) 2 ? ? 2.92 6 6

? X ? DX ? 1.71 .
变式训练 1:甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下: 射手甲击中环数 8,9,10 的概率分别为 0.2,0.6,0.2; 射手乙击中环数 8,9,10 的概率分别为 0.4,0.2,0.24
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用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平 解: E?1 ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.6 ? 10 ? 0.2 ? 9

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D?1 ? (8 ? 9)2 ? 0.2 ? (9 ? 9)2 ? 0.6 +(10-9) 2 ?0.2 ? 0.4 ;
同理有 E? 2 ? 9, D? 2 ? 0.8
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由上可知, E?1 ? E? 2 , D?1 ? D?2 所以,在射击之前,可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很
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接近,均在 9 环左右,但甲所得环数较集中,以 9 环居多,而乙得环数较分散,得 8、10 环地次数多些. 点评:本题中, ? 1 和 ? 2 所有可能取的值是一致的,只是概率的分布情况不同. E?1 ? E? 2 =9,这时就 通过 D?1 =0.4 和 D? 2 =0.8 来比较 ? 1 和 ? 2 的离散程度,即两名射手成绩的稳定情况 例 2(课本 P67 例 5) .有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资 X1/ 元 获得相应职位的概率 P1 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1
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乙单位不同职位月工资 X2/元 获得相应职位的概率 P2

1000 0.4

1400 0.3

1800 0.2

2000 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 解:根据月工资的分布列,利用计算器可算得 EX1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 , DX1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;
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第二章《随机变量及其分布》

EX2=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 , DX2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 . 因为 EX1 =EX2, DX1<DX2,所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单 位不同职位的工 资相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;如果你希望 不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位. 变式训练 2(1) :有一批数量很大的商品的次品率为 1%,从中任意地连续取出 200 件商品,设其中次 品数为ξ ,求 Eξ ,Dξ
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分析:涉及产品数量很大,而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很大,因而抽样 时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小, 所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的. 解答本题, 关键是理解清楚:抽 200 件商品可以看作 200 次独立重复试验,即ξ ? B(200,1%) ,从而可用公式:Eξ =np,Dξ =npq(这里 q=1-p)直接进行计算
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解:因为商品数量相当大,抽 200 件商品可以看作 200 次独立重复试验,所以ξ ? B(200,1%) 因为
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Eξ =np,Dξ =npq,这里 n=200,p=1%,q=99%,所以,Eξ =200×1%=2,Dξ =200×1%×99%=1.98 变式训练 2(2) :设 ? ~B(n、p)且 E ? =12 D ? =4,求 n、p 解:由二次分布的期望与方差性质可知 E ? =np D ? = np(1-p)

?np ? 12 ∴? ?np(1 ? p) ? 4

?n ? 18 ? ∴? 2 p? ? 3 ?

课堂练习(课本 P68 练习 NO:1;2) 三、课堂小结,巩固反思: ( 1 )求离散型随机变量 ξ 的方差、标准差的步骤: ①理解 ξ 的意义,写出 ξ 可能取的全部值; ②求 ξ 取各个值的概率,写出分布列; ③根据分布列,由期望的定义求出 Eξ ; ④根据方差、标准差的定义求出 D? 、?? .若 ξ ~B(n,p),则不必写出分布列,直接用公式计算即可. ( 2 ) 对 于 两 个 随 机 变量 ? 1 和 ? 2 ,在 E?1 和 E? 2 相等或很接近时,比较 D?1 和 D? 2 ,可以确定哪个随 机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要 四、课时必记:
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第二章《随机变量及其分布》

1、离散型随机变量 X 的方差:

D( X ) 为随机变量 X 的标准差。
2、方差的性质:

D( X ) ? ? ( xi ? E ( X )) 2 pi
i ?1

n

(1)若 X 服从两点分布,则 D(X)=p(1-p) (2)若 ξ ~B(n,p)(二项分布),则 D? ? np(1-p) (3) D(a? ? b) ? a 2 D? ; 五、分层作业: A 组: 1、已知 ? ~ B ? n, p ? , E? ? 8, D? ? 1.6 ,则 n, p 的值分别是( D) A. 100和0.08 ; B. 20和0.4 ; C. 10和0.2 ; D. 10和0.8
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2、 (课本 P68 习题 2.3 A 组 NO:1)

3、 (课本 P68 习题 2.3 A 组 NO:5)

B 组: 1.某学校为高二年级开展第二外语选修课,要求每位同学最多可以选报两门课程.已知有 75%的同学选报法 语课,有 60%的同学选报日语课.假设每个人对课程的选报是相互独立的,且各人的选报相互之间没有影响. (1)任选 1 名同学,求其选报过第二外语的概率. (2)任选 3 名同学,记ξ 为 3 人中选报过第二外语的人数,求ξ 的分布列、期望和方差. 【 解 析 】 设 事 件 A: 选 报 法 语 课 ; 事 件 B: 选 报 日 语 课 . 由 题 设 知 , 事 件 A 与 B 相 互 独 立 , 且 P(A)=0.75,P(B)=0.6. (1)方法一:任选 1 名同学, 该同学一门课程都没选报的概率是 P1=P( · )=P( )·P( )=0.25×0.4=0.1. 所以该人选报过第二外语的概率是 P2=1-P1=1-0.1=0.9. 方法二:任选 1 名同学,该同学只选报一门课程的概率是 P3=P(A· )+P( ·B)=0.75×0.4+0.25×
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第二章《随机变量及其分布》

0.6=0.45, 该人选报两门课程的概率是 P4=P(A·B)=0.75×0.6=0.45. 所以该同学选报过第二外语的概率是 P5=P3+P4=0.45+0.45=0.9. (2)因为每个人的选报是相互独立的,所以 3 人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布 B(3,0.9), P(ξ=k)= ×0.9 ×0.1 ,k=0,1,2,3,
k 3-k

即ξ的分布列是 ξ P 0 0.001 1 0.027 2 0.243 3 0.729

ξ的期望是 E(ξ)=1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7 (或ξ的期望是 E(ξ)=3×0.9=2.7), ξ的方差是 D(ξ)=3×0.9×(1-0.9)=0.27. 2、把 4 个球随机地投入 4 个盒子中去,设ξ 表示空盒子的个数,求 E(ξ ),D(ξ ). 【解析】每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为 4 ,空盒子的个数可能为 0 个, 此时投球方法数为 所以 P(ξ=1)= . = , =4!,所以 P(ξ=0)= = ;空盒子的个数为 1 时,此时投球方法数为 ,
4

同样可分析 P(ξ=2)= P(ξ=3)= = .

所以ξ的分布列为 ξ P 0 1 2 3

所以 E(ξ)= C 组:

,D(ξ)=

.

1. 设事件 A 发生的概率为 p,证明事件 A 在一次试验中发生次数ξ 的方差不超过 1/4

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分析:这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法,关键还是掌握随机变 量的分布列.求出方差 Dξ =P(1-P)后,我们知道 Dξ 是关于 P(P≥0)的二次函数,这里可用配方法,也可 用重要不等式证明结论
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证明:因为ξ 所有可能取的值为 0,1 且 P(ξ =0)=1-p,P(ξ =1)=p, 所以,Eξ =0×(1-p)+1×p=p
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则 Dξ =(0-p) ×(1-p)+(1-p) ×p=p(1-p) ? ?
2

? p ? (1 ? p) ? 1 ? ? 2 ? ? 4

2

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