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第八章 第三节 课下冲关作业


(时间 60 分钟,满分 80 分) 一、选择题(共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1. 点在直线 3x+y-5=0 上, P 到直线 x-y-1=0 的距离为 2, P 点坐标为( P 且 则 A.(1,2) C.(1,2)或(2,-1) 解析:设 P(x,5-3x), |x-5+3x-1| 则 d= = 2,|4x-6|=2,4x-6=± 2, 12+?-1?2 ∴x=1 或 x=2,∴P(1,2)或(2,-1). 答案:C 2.(2011· 广州模拟)已知直线 l1:y=2x+3,直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称,则直线 l2 的斜率为( 1 A. 2 C.2 ) B.- 1 2 B.(2,1) D.(2,1)或(-1,2) )

D.-2

1 3 解析:∵l2、l1 关于 y=-x 对称,∴l2 的方程为-x=-2y+3,即 y= x+ ,∴l2 的斜 2 2 1 率为 . 2 答案:A x y 3.点 P(m-n,-m)到直线m+n=1 的距离等于( A. m2+n2 C. -m2+n2 B. m2-n2 D. m2± 2 n )

x y 解析:因为直线 + =1 可化为 nx+my-mn=0, m n 则由点到直线的距离公式得 d= |?m-n?n+?-m?m-mn| = m2+n2. n2+m2

答案:A 4.(2011· 长春模拟)直线 l 与两条直线 x-y-7=0,y=1 分别交于 P、Q 两点,线段 PQ 的中点为(1,-1),则直线 l 的斜率为( A.- 2 C. 3 3 2 ) 3 B. 2 2 D.- 3

解析:设 l 与直线 x-y-7=0 交于 P(x′,y′),由中点坐标公式:-1= =-3,将 y′=-3 代入 x-y-7=0 得 x′=4, 即 l 与 x-y-7=0 的交点为(4,-3),所以 kPQ= 答案:D -1-?-3? 2 =- . 3 1-4

1+y′ ,y′ 2

5.若直线 l1:y=kx+k+2 与 l2:y=-2x+4 的交点在第一象限,则实数 k 的取值范 围是( ) 2 3 B.k<2 2 D.k<- 或 k>2 3

A.k>-

2 C.- <k<2 3

?y=kx+k+2, ? 解析:由? 得 ? ?y=-2x+4,

?x=2-k ? k+2 ? 6k+4 ?y= k+2 ?



?2-k>0, ?k+2 由? 6k+4 ? ? k+2 >0,
答案:C

?-2<k<2, ? 2 得? ∴- <k<2. 2 3 ?k<-2或k>-3, ?

6.设△ABC 的一个顶点是 A(3,-1),∠B,∠C 的平分线方程分别为 x=0,y=x, 则直线 BC 的方程是( A.y=2x+5 C.y=3x+5 ) B.y=2x+3 1 5 D.y=- x+ 2 2

解析:点 A(3,-1)关于直线 x=0, y=x 的对称点为 A′(-3,-1), A″(-1,3)且都在直线 BC 上,故得直线 BC 的方程为 y=2x+5. 答案:A 二、填空题(共 3 个小题,每小题 5 分,满分 15 分) 7.过两直线 x+3y-10=0 和 y=3x 的交点,并且与原点距离为 1 的直线方程为 ________________. 解析:设所求直线为(x+3y-10)+λ(3x-y)=0, 整理,得(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0. 由点线距离公式,得 λ=± 3. ∴所求直线为 x=1 和 4x-3y+5=0.

答案:x=1 或 4x-3y+5=0 8.已知直线 l 与两直线 l1:2x-y+3=0 和 l2:2x-y-1=0 的距离相等,则 l 的方程 为______________. 解析:显然 l1∥l2,可设 l 的方程为 2x-y+m=0, |3-m| |m+1| 由题意知 = ,解得 m=1, 5 5 从而直线 l 方程为 2x-y+1=0. 答案:2x-y+1=0 9.(2011· 临沂模拟)已知 A(3,1)、B(-1,2),若∠ACB 的平分线在 y=x+1 上, 则 AC 所在直线方程是____________. 解析:设点 A 关于直线 y=x+1 对称的点 A′(x0,y0), y ?x -1=-1, ? -3 则? y +1 x +3 ? 2 = 2 +1, ?
0 0 0 0

?x0=0, ? 解得? 即 A′(0,4). ? ?y0=4,

∴直线 A′B 的方程为 2x-y+4=0.
?2x-y+4=0, ?x=-3, ? ? 由? 得? 得 C(-3,-2). ? ? ?y=x+1, ?y=-2,

∴直线 AC 的方程为 x-2y-1=0. 答案:x-2y-1=0 三、解答题(共 3 个小题,满分 35 分) 10.求过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交点,且到点 P(0,4)的距离 为 2 的直线方程.
?x-2y+3=0, ? 解:由? ? ?2x+3y-8=0, ?x=1, ? 解得? ? ?y=2,

∴l1,l2 交点为(1,2). 设所求直线方程为 y-2=k(x-1), 即 kx-y+2-k=0, ∵P(0,4)到直线距离为 2, |-2-k| 4 ∴2= 2 ,解得:k=0 或 k=3. 1+k ∴直线方程为 y=2 或 4x-3y+2=0. 11.已知直线 l:3x-y+3=0,求: (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点; (2)直线 x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线方程.

解:设 P(x,y)关于直线 l:3x-y+3=0 的对称点为 P′(x′,y′). ∵kPP′·1=-1,即 k y′-y ×3=-1.① x′-x

又 PP′的中点在直线 3x-y+3=0 上, x′+x y′+y ∴3× - +3=0.② 2 2 由①②得

?x′=-4x+3y-9, 5 ? 3x+4y+3 ?y′= 5 .
∴P(4,5)关于直线 l 的对称点 P′的坐标为(-2,7).

③ ④

(1)把 x=4,y=5 代入③及④得 x′=-2,y′=7,

-4x+3y-9 (2)用③④分别代换 x-y-2=0 中的 x,y,得关于 l 的对称直线方程为 - 5 3x+4y+3 -2=0,化简得 7x+y+22=0. 5 12.已知点 P(2,-1),求: (1)过点 P 且与原点的距离为 2 的直线方程. (2)过点 P 且与原点的距离最大的直线方程,并求出最大值. (3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线?若存在,求出该直线的方程;若不存 在,请说明理由. 解:(1)若所求直线斜率 k 不存在,则所求直线 l:x=2. ∵原点到 l 的距离为 2,∴直线 x=2 即为所求. 若 l 斜率存在,则设 l:y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. 由已知得 |2k+1| k2+1 =2,

3 3 ∴k= .∴直线 l:y+1= (x-2), 4 4 即 3x-4y-10=0. ∴所求直线方程为 x-2=0 或 3x-4y-10=0. (2)由题设条件知,所求直线与直线 OP 垂直时,过点 P 的直线与原点距离最大,且最 大值|OP|= 5, 1 此时 kOP=- ,∴kl=2. 2 ∴l 的方程为 y+1=2(x-2),

即 2x-y-5=0. (3)由于原点到过点(2,-1)的直线的最大距离为 5, 而 6> 5, 所以这样的直线不存在.


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