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2.1.1


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合情推理(第一课时) 说课流程 教材分析 学情分析 教学目标 教法学法 教学过程 一、教材分析 1.1 教材的内容和地位 合情推理 推理 演绎推理 直接证明 间接证明 推理与证明 证明 归纳 合情推理 类比 总体来说,本章内容属于数学思维方法的范畴,即把过去渗透在具体数学内容中 的思维方 法,以集中显性的形式呈现出来.使学生更加明确这些方法,并能在今 后的学习

中有意识地使用 它们,以培养言之有理、言之有据的习惯。 1.2 教学的重点和难点 重点:归纳推理的含义与特点 突破方法:在教师引导下借助实例使学生在 直观感受的基础 上进行合作探究,最后通过合作 交流得出结论。 难点:归纳推理的应用 突破方法:由学生举例 和教师呈现例子(包 括数学和其他学科)相结合的方式,使学生体会 归纳推理在生活与学习中 的应用。 二、学情分析 1.教学对象是博兴 一中的学生, 数学基础 参差不齐, 学生分析问 题和自主探究能力也有 差 别。 2.学生在小学初中已 接触过归纳推理,并在必 修五“数列”的学习中, 进一步掌握了一些归 纳的 方法技巧. 3.学生对归纳推理本 质的把握需要进一步提升, 对归纳推理的思维过程需 要进一步明确. 能力 三、教学目标 3.1 知识与技能目标: 了解合情推理的含义,认识归纳推理的基本方法 与步骤,能利用归 纳进行简单的推理应用。 过程与方法目标: 通过学生的积极参与,经历归纳推理概念的获得 过 程,了解归纳推理的含义。让学生通过欣赏一些伟 大猜想产生的过程,体会如何利用归纳去猜测 和发现 一些新的结论,培养学生归纳推理的思维方式。 情感与态度价值观目标: 正确认识合情 推理在数学中的重要作用,并体会 归纳推理在日常活动和科学发现中的作用,养成认真 观察事 物、发现问题、分析问题,探求新知识的习惯。 3.2 3.3 四、教法学法 4.1 教法 学法 启发式探索法 自主探究、合作交流 多媒体教学 4.2 4.3 教学手段 五、教学过程

1234 (一)问题呈现阶段 (二)探索发现阶段 (三)巩固应用阶段 (四)学习小结阶段 1 (一)问题呈现阶段 【引例1】某课题组为了了解本市的高中生数学学习状态,对 两所学校做了一个问卷调查,其中有两道题的统计数据如下: 高中数学学习 状态问卷调查 生动 对数学 的印象 活泼 严肃枯燥 你认为数学学习过 程主要是为了 发现问题 解决问 题 甲学校 乙学校 丙学校 丁学校 19% 7% 16% 25% 71% 75% 64% 53% 11% 23% 21% 16% 89% 77% 79% 84% 根据这几所学校的情况,你能判断该市高中生对数学的普遍印象吗? 设计意图:在不给出推理定义的情况下,

第一课时

2.1.1

合情推理(一)

教学要求:结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义,能利用归纳进行简单的推理,体 会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点:能利用归纳进行简单的推理. 教学难点:用归纳进行推理,作出猜想. 教学过程: 一、新课引入: 1. 哥德巴赫猜想:观察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97,猜测:任一偶数(除去 2,它本身是一素数)可以表 示成两个素数之和. 1742 年写信提出, 欧拉及以后的数学家无人能解, 成为数学史上举世闻名 的猜想. 1973 年, 我国数学家陈景润, 证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数 乘积之和,数学上把它称为“1+2”. 2. 费马猜想:法国业余数学家之王—费马(1601-1665)在 1640 年通过对 F0 ? 22 ? 1 ? 3 ,
0

F1 ? 22 ? 1 ? 5 , F2 ? 22 ? 1 ? 17 , F3 ? 22 ? 1 ? 257 , F4 ? 22 ? 1 ? 65 537 的观察,发现其结
果都是素数,于是提出猜想:对所有的自然数 n ,任何形如 Fn ? 22 ? 1 的数都是素数. 后来瑞 士数学家欧拉,发现 F5 ? 22 ? 1 ? 4 294 967 297 ? 641? 6 700 417 不是素数,推翻费马猜想. 3. 四色猜想:1852 年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着 色工作时,发现了一种有趣的现象: “每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国 家着上不同的颜色.” ,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976 年,美国数学家阿佩尔与哈 肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用 1200 个小时,作了 100 亿逻辑判断, 完成证明. 二、讲授新课: 1. 教学概念:
5
n

1

2

3

4

① 概念:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理 . 简言之,归纳推理是由部分 到整体、由个别到一般的推理. ② 归纳练习:(i)由铜、铁、铝、金、银能导电,能归纳出什么结论? (ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 180 度,能归纳出什么结论? (iii)观察等式:1 ? 3 ? 4 ? 22 , 1 ? 3 ? 5 ? 9 ? 32 , 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 16 ? 42 ,能得出怎样的结论? ③ 讨论:(i)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理? (ii)归纳推理有何作用? (发现新事实,获得新结论,是做出科学发现的重要手段) (iii)归纳推理的结果是否正确?(不一定) 2. 教学例题: a ,2 , )? , ① 出示例题: 已知数列 ?an ? 的第 1 项 a1 ? 2 , 且 an ?1 ? n (n ?1 试归纳出通项公式. 1 ? an (分析思路:试值 n=1,2,3,4 → 猜想 a n →如何证明:将递推公式变形,再构造新数 列) ② 思考:证得某命题在 n=n 0 时成立;又假设在 n=k 时命题成立,再证明 n=k+1 时命题 也成立. 由这两步,可以归纳出什么结论?(目的:渗透数学归纳法原理,即基础、递推关 系) ③ 练习:已知 f (1) ? 0, af (n) ? bf (n ? 1) ? 1, n ? 2, a ? 0, b ? 0 ,推测 f (n) 的表达式. 3. 小结:①归纳推理的药店:由部分到整体、由个别到一般; ②典型例子:哥德巴赫猜想的提出;数列通项公式的归纳. 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P38 1、2 题. 2. 作业:教材 P44 习题 A 组 1、2、3 题.

第二课时

2.1.1

合情推理(二)

教学要求:结合已学过的数学实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的 推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点:用归纳和类比进行推理,作出猜想. 教学过程: 一、复习准备: 1 1 1 1. 练习:已知 ai ? 0 (i ? 1, 2,?, n) ,考察下列式子: (i ) a1 ? ? 1 ; (ii ) (a1 ? a2 )( ? ) ? 4 ; a1 a1 a2 1 1 1 (iii ) (a1 ? a2 ? a3 )( ? ? ) ? 9 . 我 们可以归纳出,对 a1 , a2 ,?, an 也成立的类似不 等式 a1 a2 a3 为 .

1 1 1 1 . ,? , ,? ,?? 的通项公式是 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 3. 导入:鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理,发明潜水艇;地球上有生 命,火星与地球有许多相似点,如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星,有大气层,也有季节 变更,温度也适合生物生存,科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即类比 推理. 二、讲授新课: 1. 教学概念: ① 概念:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也 具有这些特征的推理. 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. ② 类比练习: (i)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体? (ii)平面内不共线的三点确定一个圆,由此结论如何类比得到空间的结论?
2. 猜想数列

(iii)由圆的一些特征,类比得到球体的相应特征. (教材 P81 探究 填表) 小结:平面→空间,圆→球,线→面. ③ 讨论:以平面向量为基础学习空间向量,试举例其中的一些类比思维. 2. 教学例题: ① 出示例 1:类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质. (得到如下表格) 类比角度 实数的加法 实数的乘法 若 a, b ? R, 则 a ? b ? R 若 a, b ? R, 则 ab ? R 运算结果 a?b ?b?a ab ? ba 运算律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) (ab)c ? a (bc ) 乘法的逆运算是除法,使得 1 逆运算 方程 ax ? 1 有唯一解 x ? a a?0?a a ?1 ? 1 单位元 ② 出示例 2:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想. 思维:直角三角形中, ?C ? 900 ,3 条边的长度 a , b, c ,2 条直角边 a , b 和 1 条斜边 c ; →3 个面两两垂直的四面体中, ?PDF ? ?PDE ? ?EDF ? 900 ,4 个面的面积 S1 , S2 , S3 和 S 加法的逆运算是减法, 使得方 程 a ? x ? 0 有唯一解 x ? ?a 3 个“直角面” S1 , S2 , S3 和 1 个“斜面” S . → 拓展:三角形到四面体的类比. 3. 小结: 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 类比,然后提出猜想的推理,统称为合情推理. 三、巩固练习: 1. 练习:教材 P38 3 题. 2. 探究:教材 P35 例 5 3.作业:P44 5、6 题.

第三课时

2.1.2

演绎推理

教学要求:结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理 的基本方法,并能运用它们进行一些简单的推理。. 教学重点:了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点:分析证明过程中包含的“三段论”形式. 教学过程: 一、复习准备: 1. 练习: ① 对于任意正整数 n,猜想(2n-1)与(n+1)2 的大小关系? ②在平面内,若 a ? c, b ? c ,则 a // b . 类比到空间,你会得到什么结论?(结论:在空间中, 若 a ? c, b ? c ,则 a // b ;或在空间中,若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? . 2. 讨论:以上推理属于什么推理,结论正确吗? 合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明,有什么能使结论正确的推理形式呢? 3. 导入:① 所有的金属都能够导电,铜是金属,所以 ; ② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,冥王星是太阳系的大行星,因此 ; ③ 奇数都不能被 2 整除,2007 是奇数,所以 . (填空→讨论:上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗?→课题:演绎推理) 二、讲授新课: 1. 教学概念: ① 概念: 从一般性的原理出发, 推出某个特殊情况下的结论, 我们把这种推理称为演绎推理。 要点:由一般到特殊的推理。 ② 讨论:演绎推理与合情推理有什么区别? ?归纳推理:由特殊到一般 合情推理 ? ;演绎推理:由一般到特殊. ?类比推理:由特殊到特殊 ③ 提问:观察教材 P39 引例,它们都由几部分组成,各部分有什么特点?

所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电 已知的一般原理 特殊情况 根据原理,对特殊情况做出的判断 大前提 小前提 结论 “三段论”是演绎推理的一般模式:第一段:大前提——已知的一般原理;第二段:小前提 ——所研究的特殊情况;第三段:结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. ④ 举例:举出一些用“三段论”推理的例子. 2. 教学例题: ① 出示例 1:证明函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x 在 ? ??, ?1? 上是增函数. 板演:证明方法(定义法、导数法) → 指出:大前题、小前题、结论. ② 出示例 2:在锐角三角形 ABC 中, AD ? BC , BE ? AC ,D,E 是垂足. 求证:AB 的中点 M 到 D,E 的距离相等. 分析:证明思路 →板演:证明过程 → 指出:大前题、小前题、结论. 1 ③ 讨论:因为指数函数 y ? a x 是增函数, y ? ( ) x 是指数函数,则结论是什么? 2 (结论→指出:大前提、小前提 → 讨论:结论是否正确,为什么?) ④ 讨论:演绎推理怎样才结论正确?(只要前提和推理形式正确,结论必定正确) 3. 比较: 合情推理与演绎推理的区别与联系?(从推理形式、结论正确性等角度比较;演绎推理 可以验证合情推理的结论,合情推理为演绎推理提供方向和思路.) 三、巩固练习: 1. 练习:P42 2、3 题 2. 探究:P42 阅读与思考 3.作业:P44 6 题,B 组 1 题.


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