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广东省14市2016届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:选修4-1和4-4


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广东省 14 市 2016 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 选修 4-1 和 4-4
一、选修 4—1:几何证明选讲 1、(潮州市 2016 届高三上期末)如图所示,已知 AB 是圆 O 的直径,AC 是弦,AD⊥CE,垂足为 D,AC 平分∠BAD。 (I)求证

:直线 CE 是圆 O 的切线; (II)求证:AC =AB?AD。
2

2、(东莞市 2016 届高三上期末)如图,已知圆 O 的内接四边形 BCED,BC 为圆 O 的直径,BC=2, 延长 CB、ED 交于 A 点,使得∠DOB=∠ECA,过 A 作圆 O 的切线,切点为 P。 (I)求证:BD=DE; (II)若∠ECA=45°,求 AP 的值。
2

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3、 (佛山市 2016 届高三教学质量检测(一))如图,四边形 ABCD 是圆内接四边形, BA 、CD 的 延长线交于点 P ,且 AB ? AD , BP ? 2 BC . (1)求证: PD ? 2 AB ; (2)当 BC ? 2 , PC ? 5 时,求 AB 的长.

B

A P D

C

4、(广州市 2016 届高三 1 月模拟考试)如图 ?ACB ? 90? , CD ? AB 于点 D ,以 BD 为直径的 圆 O 与 BC 交于点 E . (Ⅰ)求证: BC ? CE ? AD ? DB ;
o (Ⅱ)若 BE ? 4 ,点 N 在线段 BE 上移动, ?ONF ? 90 , A

C E N D O B F

NF 与 e O 相交于点 F ,求 NF 的最大值.

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5、(惠州市 2016 届高三第三次调研考试)如图,正方形 ABCD 边长为 2,以 D 为圆心、 DA 为半径 的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F ,连结 CF 并延长交 AB 于点 E . (Ⅰ)求证: AE ? EB ; (Ⅱ)求 EF ? FC 的值。
A D

E

F

B

O

C

6、(揭阳市 2016 届高三上期末)如图 4,四边形 ABCD 内接于 ? O ,过点 A 作 ? O 的切线 EP 交 CB 的延长线于 P,已知 ?PAB ? 25 。
0

(Ⅰ)若 BC 是 ? O 的直径,求 ?D 的大小; (Ⅱ)若 ?DAE ? 25 ,求证: DA ? DC ? BP
0 2

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7、(茂名市 2016 届高三第一次高考模拟考试)如图,A、B 是圆 O 上的两点,且 AB 的长度小于圆 O 的直径,直线 l 与 AB 垂于点 D 且与圆 O 相切于点 C.若 AB ? 2, DB ? 1 (1) 求证: CB 为 ?ACD 的角平分线; (2)求圆 O 的直径的长度。

8、 (清远市 2016 届高三上期末)如图,已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于 点 D,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连接 FB,FC. (1)求证:FB=FC; (2)若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=6 cm,求 AD 的长.

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9、(汕头市 2016 届高三上期末)已知 AD 为圆 O 的直径,直线BA与圆O相切与点 A,直线 OB 与弦 AC 垂直并相交于点 G,与弧 AC 相交于 M,连接 DC,AB=10,AC=12。 (Ⅰ)求证:BA· DC=GC· AD; (Ⅱ)求 BM。

10、(汕尾市2016届高三上期末)已知:如图,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形,对角线AC、 BD 交于点E,直线AP 是圆O 的切线,切点为A,∠PAB=∠BAC.
2 (1)求证: AB =BD?BE;

(2)若∠FED=∠CED,求证:点A、B、E、F四点共圆.

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11、 (韶关市 2016 届高三 1 月调研)如图, AF 是圆 E 切线, F 是切点, 割线 ABC 与圆 E 交于 B 、

C , BM 是圆 E 的直径, EF 交 AC 于 D , AB ?
(Ⅰ)求线段 AF 的长; (Ⅱ)求证: AD ? 3ED .
A

1 AC , ?EBC ? 300 , MC ? 2 . 3

B

E

D

F

M C

12、(肇庆市 2016 届高三第二次统测(期末))如图 4,⊙O 的半径为 r,MN 切⊙O 于点 A,弦 BC 交 OA 于点 Q,,BP⊥BC,交 MN 于点 P. (Ⅰ)求证:PQ∥AC; (Ⅱ)若 AQ=a,AC=b,求 PQ .

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13、(珠海市 2016 届高三上期末)如图,正方形 ABCD 边长为 2,以 D 为圆心、 DA 为半径的圆 弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F ,连结 CF 并延长交 AB 于点 E . (1)求证:点 E 为 AB 的中点; (2)求 EF 的值.

A

D

E

F

B

O

C

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选修 4—1:几何证明选讲答案: 1、证明:(Ⅰ)连接 OC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OCA ? ?OAC .………….…..2 分 又因为 AD ? CE ,所以 ?ACD ? ?CAD ? 90? . 又因为 AC 平分 ? BAD ,所以 ?OAC ? ?CAD ,…………….…..4 分 所以 ?OCA ? ?ACD ? 90o ,即 OC ? CE . 所以 CE 是 e O 的切线……………………………………………….….6 分 (Ⅱ)连接 BC ,因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ?BCA ? ?ADC ? 900 , 又因为 ?OAC ? ?CAD ,…………………………………….………8 分 所以 ?ABC ∽ ?ACD 所以 2、

AC AD ? ,即 AC 2 ? AB ? AD ………………………………..10 分 AB AC

3、【解析】(Ⅰ)因为四边形 ABCD 是圆内接四边形, 所以 ?PAD ? ?PCB ,…………1 分 又 ?APD ? ?CPB ,所以 ?APD ? ?CPB ,

PD AD ? ,…3 分 PB CB

而 BP ? 2 BC ,所以 PD ? 2 AD ,又 AB ? AD ,所以 PD ? 2 AB .……………5 分 (Ⅱ)依题意 BP ? 2 BC ? 4 ,设 AB ? t ,由割线定理得 PD ? PC ? PA ? PB ,……………7 分 即 2t ? 5 ? ? 4 ? t ? ? 4 ,解得 t ? 4、

8 8 ,即 AB 的长为 .……………10 分 7 7

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5、解:(Ⅰ)由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形, ∴EA 为圆 D 的切线 ………………………………………………(1 分) 依据切割线定理得 EA2 ? EF ? EC ………………………………(2 分)

另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线,………………(3 分) 同样依据切割线定理得 EB 2 ? EF ? EC ……………………………(4 分) 故 AE ? EB ………………………………………(5 分) (Ⅱ)连结 BF ,∵BC 为圆 O 直径, ∴ BF ? EC 由 S ?BCE ? 得 BF ? ………………………………(6 分)

A

D

1 1 BC ? BE ? CE ? BF 2 2

E

F

1? 2 2 5 …………………………(8 分) ? 5 5
2

B

O

C

又在 Rt?BCE 中,由射影定理得 EF ? FC ? BF ?

4 ……………………(10 分) 5

6、.解:(I)? EP 与⊙O 相切于点 A,??ACB ? ?PAB ? 250 ,-----------------------1 分 又 BC 是⊙O 的直径,??ABC ? 650 ---------------------------------------------- 3 分

? 四边形 ABCD 内接一于⊙O,??ABC ? ?D ? 1800
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??D ? 1150. ------------------------------------------------------------------- 5 分
(II)? ?DAE ? 250 , ??ACD ? ?PAB, ?D ? ?PBA,

??ADC ? ?PBA. -------------------------------------------------------------- 7 分 DA DC ? ? . ------------------------------------------------------------------ 8 分 BP BA
又 DA ? BA, ? DA2 ? DC ? BP. -------------------------------------------------- 10 分

7、解: (I) 证法 1:如图 22-1 由切割线定理得 CD ? DA ? DB ? 3
2

……………1 分 ?CD ? 3 2 2 2 ……………2 分 又? 在Rt?CDB中, CB ? CD ? BD ? 3 ? 1 ? 4 ? 在Rt?CBA中, CB ? AB ? 2 ? ?A CB ? ?CAB ……………3 分 又 ? CD为圆O的切线 ? ?B CD ? ?CAB ……………4 分 ? ?BCD = ?ACB , CB 为 ?ACD 的角平分线 ……………5 分 证法 2:如图 22-1 由切割线定理得 CD ? DA ? DB ? 3 ? CD ? 3
2

……………1 分

? BD 1 3 ? ?BCD ? ……3 分 ? ? 6 CD 3 3 ? AD 3 ? 在Rt?CDA中, tan?ACD ? ? ? 3 ? ?ACD ? ……4 分 3 CD 3 ? ? ?A CB ? ?CAB ? ? CB 为 ?ACD 的角平分线 ……………5 分 6 (2)法 1:如图 22-2 连结 AO 并延长交圆 O 于点 E ,连结 CE , ? 设 DC 延长线上一点为 F ,则? AE 为圆 O 直径,? ?ACE ? 2 ? 直线 l 与圆 O 相切于点 C. ? ?ACD ? ?E , ?BCD ? ?2 ? ?1 ? ? 2 (等角的余角相等) …………6 分 ? ?1 ? ? 2 ? ?BCD ? ?ACB ? EC ? BC ? AB ? 2 (相等的圆周角所对的弦相等) …………7 分 ? AC2 ? AD2 ? CD 2 ? 9 ? 3 ? 12 …………8 分 2 2 2 ? AE ? EC ? AC ? 4 ? 12 ? 16 …………9 分 ? AE ? 4 圆 O 的直径为 4 …………10 分 法 2:如图 22-3,连结 AO 和 CO ,则 ? CD为切线, C为切点 ? O C ? CD ……………6 分 ? O C // CD 又? AB ? CD ……………7 分 ??1 ? ?3 ? ?2 ? ?BCD ? ?4 , ……………8 分 ? OA / / AB ,又 OA ? OC ……………9 分 ? 四边形 AOCB 为菱形 ? OA ? AB ? 2 ? 圆 O 的直径为 2OA ? 4 ………10 分 法 3:由证法 2 得 ?1 ? ?3 ? ?2 ? ?BCD ? ?4 ,……………8 分
? 在Rt?CDB中, tan?BCD ?
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? Rt?ADC中, ?ACD ? ?2 ? 3?2 ? 90 ??BCD ? ?1 ? ?3 ? ?2 ? 300
如图 22-4 连结 OB ,

0

……………9 分

?OA ? OB, ?OAB ? 2?2 ? 600 ??OAB 为等边三角形, ……………10 分 ? 圆 O 的直径为 2OA ? 2 AB ? 4
8、(1)证明: 因为 AD 平分∠EAC, 所以∠EAD=∠DAC.………1 分 因为四边形 AFBC 内接于圆, 所以∠DAC=∠FBC. ………2 分 因为∠EAD=∠FAB=∠FCB,………3 分 所以∠FBC=∠FCB,………4 分; 所以 FB=FC. ………5 分

(2)解: 因为 AB 是圆的直径,所以∠ACB=90°,………6 分 又∠EAC=120°,所以∠ABC=30°,………7 分 1 ∠DAC= ∠EAC=60°,………8 分 2 因为 BC=6,所以 AC=BCtan∠ABC=2 3,………9 分 所以 AD= =4 3(cm).………10 分 cos∠DAC

AC

0 9、(Ⅰ)证明:因为 AC ? OB ,所以 ?AGB ? 90

又 AD 是圆 O 的直径,所以 ?DCA ? 90 ………………………1 分
0

又因为 ?BAG ? ?ADC (弦切角等于同弧所对圆周角)………………………2 分

BA AG ? ………………………3 分 AD DC 又因为 OG ? AC ,所以 GC ? AG ………………………4 分 BA GC ? 所以 ,即 BA ? DC ? GC ? AD ………………………5 分 AD DC (Ⅱ)解:因为 AC ? 12 ,所以 AG ? 6 ,
所以 Rt ?AGB ∽ Rt ?DCA ,所以 因为 AB ? 10 ,所以 BG ?

AB2 ? AG2 ? 8 ………………………6 分
AB BG ? AD AC

由(1)知: Rt ?AGB ∽ Rt ?DCA ,所以

所以 AD ? 15 ,即圆的直径 2r ? 15 ………………………8 分
2 又因为 AB ? BM ? ? BM ? 2r ? ,即 BM ? 15BM ? 100 ? 0 ………………9 分

2

解得 BM ? 5 .………………………10 分 10、

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11、解:(Ⅰ)因为 BM 是圆 E 直径 所以, ?BCM ? 90 ,………………1 分
0

A

B

又 MC ? 2 , ?EBC ? 30 ,
0




M

E

D H

F

…………………… …………………………………2 BC ? 2 3 ,

C



1 AC , 3 1 可知 AB ? BC ? 3 ,所以 AC ? 3 3 2
又 AB ? 根据切割线定理得:

…………………………………3 分

AF 2 ? AB ? AC ? 3 ? 3 3 ? 9 ,…………………………………………………4 分
即 AF ? 3 …… …………………………………… …………………………………5 分 (Ⅱ)过 E 作 EH ? BC 于 H ,……………………………………………………………6 分 则 ?EDH ~?ADF ,……………………………… …………………………………7 分 从而有

ED EH ? ,…………………………………………………………………8 分 AD AF
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又由题意知 CH ? 所以 EH ? 1 , 因此

1 BC ? 3, EB ? 2 2
…………………………………9 分 …………………………………10 分

ED 1 ? ,即 AD ? 3ED AD 3

12、(Ⅰ)证明:如图,连结 AB. ∵MN 切⊙O 于点 A,∴OA⊥MN.? 又∵BP⊥BC,∴B、P、A、Q 四点共圆, 所以∠QPA =∠ABC.? 又∵∠CAN =∠ABC,∴∠CAN =∠QPA.? ∴PQ∥AC.? (1 分) (2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

(Ⅱ)过点 A 作直径 AE,连结 CE,则△ ECA 为直角三角形.?(6 分) ∵∠CAN =∠E,∠CAN =∠QPA,∴∠E =∠QPA. ∴Rt△ PAQ∽Rt△ ECA,∴ 故 PQ ? (7 分) (9 分) (10 分)

PQ AQ = , EA CA

AQ ? EA 2ar = . CA b

13、解:(1)由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形,∴ EA 为圆 D 的切线 依据切割线定理得 EA2 ? EF ? EC ……………………………2 分 另外圆 O 以 BC 为直径,∴ EB 是圆 O 的切线,同样依据切割线定理得 EB 2 ? EF ? EC ……2 分 A 故 AE ? EB ……………………………………………………5 分 所以点 E 为 AB 的中点 (2)连结 BF ,∵ BC 为圆 O 的直径,∴ BF ? EC 又在 Rt ?BCE 中,由射影定理得 BE 2 ? EF ? EC 所以 EF ?
BE 2 1 5 ? ? ……………………………………………10 分 EC 5 5

D

E

F

B

O

C

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二、选修 4—4:坐标系与参数方程 1、 (潮州市 2016 届高三上期末) 在直角坐标系 xoy 中, 圆 C 的参数方程 ? 以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。 (I)求圆 C 的极坐标方程; (II)射线 OM: ? ?

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数)。 ? y ? sin ?

?
4

与圆 C 的交点 O、P 两点,求 P 点的极坐标。

2、(东莞市 2016 届高三上期末)在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建 立极坐标系,已知曲线 C 的参数方程是 ? 极坐标为(2,

? ? x ? 2(cos? ? sin ? ) ? ? y ? 2(cos? ? sin ? )

( ? 为参数),曲线 C 与 l 的交点的

? ? )和(2, )。 3 6

(I)求直线 l 的普通方程; (II)设 P 点为曲线 C 上的任意一点,求 P 点到直线 l 的距离的最大值。

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3、(佛山市 2016 届高三教学质量检测(一))已知直线 l 的方程为 y ? x ? 4 ,圆 C 的参数方程为

? x ? 2 cos? ( ? 为参数),以原点为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系. ? ? y ? 2 ? 2 sin ?
(1)求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标; (2)若 P 为圆 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值.

4、(广州市 2016 届高三 1 月模拟考试)在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

? x ? t ? 1, ? y ? 1 ? 2t

( t 为参数)与曲线 C2 : ?

? x ? a cos ?, ( ? 为参数, a ? 0 ). ? y ? 3sin ?

(Ⅰ)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上,求 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 3 时,曲线 C1 与曲线 C2 交于 A , B 两点,求 A , B 两点的距离.

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5、 (惠州市 2016 届高三第三次调研考试) 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数) , ? y ? 2 ? sin ?

直线 l 的极坐标方程为 ? sin ?? ?

? ?

??

? ? 2 .(其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合, 4?

极轴与直角坐标系 x 轴正半轴重合,单位长度相同。) (Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 是直线 l 与 x 轴的交点, N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值。

6 、(揭阳市 2016 届高三上期末)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为

2? ? x ? t cos ? ? 3 (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的 ? ? y ? 4 ? t sin 2? ? 3 ?
极坐标方程是 ? ? 4 (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求 ?AOB 的值。

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7、 (茂名市 2016 届高三第一次高考模拟考试) 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的方程为 x+y-8=0, 曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? cos ? (? 为参数) . ? ? y ? 3 sin ?

(1) 已知极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为

(4 2, ) 极轴,若点 P 的极坐标为 ,请判断点 P 与曲线 C 的位置关系; 4
(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值与最大值。

?

8、(清远市 2016 届高三上期末)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为
2 ? x? ? ? t an2 ? ( ? 为参数,? ? ?y ? 2 ? t an? ?

?

k? 1 , k ? z )。M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? OM , 2 2

点 P 的轨迹为曲线 C2 。 (1)求曲线 C1、C 2 的普通方程. (2)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程是

? ? sin(? ? ) ? 2 ? 0 ,直线 l 与曲线 C 2 相交于 A 、 B .求 ?ABO 的面积。
4

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9、(汕头市 2016 届高三上期末)已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 1 ,以极点为原点,极轴为 x 轴 的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ?
? x ? 1? t 2

? ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ?

( t 为参数).(Ⅰ)写出直线 l 与

曲线 C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 为 M ( x, y ) ,求 x ? 2 3 y 的最小值.

/ ? ?x ? 2x 得到曲线 C ? ,设曲线 C ? 上任一点 / ? y ? y ?

10、(汕尾市2016届高三上期末)在平面直角坐标系XOY 中,以原点O 为极点,X 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系,已知曲线C1 的极坐标方程为 ? =1,曲线C2 参数方程为 是

参数).(1)求曲线C1 和C2 的直角坐标系方程;(2)若曲线C1 和C2 交于两点A、B,求|AB|的值.

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11、 (韶关市 2016 届高三 1 月调研)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系.已知曲线 C1 : ?

? x ? 4 ? cos t , ? x ? 6cos ? , ( t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? ?3 ? sin t , ? y ? 2sin ? ,

(Ⅰ)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ? ?

? , Q 为 C2 上的动点,求线段 PQ 的中点 M 到直线 2

C3 : ? cos? ? 3? sin? ? 8 ? 2 3

距离的最小值.

12 、 ( 肇 庆 市 2016 届 高 三 第 二 次 统 测 ( 期 末 ) ) 在 极 坐 标 系 中 , 圆 C 的 方 程 为

? ? 2a cos ? (a ? 0) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参
数方程为 ?

? x ? 3t ? 1 (t 为参数). ? y ? 4t ? 3

(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 恒有公共点,求实数 a 的取值范围.

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13、(珠海市 2016 届高三上期末)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 过点 M ? 3, 4 ? ,其倾斜角为 45o ,
? x ? 2cos ? (? 为参数) . 再以原点为极点,以 x 正半轴为极轴建立极坐标系,并 圆 C 的参数方程为 ? ? y ? 2+2sin ?

使得它与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A 、 B ,求 MA ? MB 的值.

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选修 4—4:坐标系与参数方程参考答案
1、解:(Ⅰ)圆 C 的参数方程化为普通方程是 ( x ?1) 即x
2 2

? y2 ? 1 .

? y 2 ? 2 x ? 0 ……………………………………………………….…2 分 2 2 2 又 ? ? x ? y , x ? ? cos ? . 2 于是 ? ? 2? cos? ? 0 ,又 ? ? 0 不满足要求. 所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? ……………………………….……5 分 ? (Ⅱ)因为射线 OM : ? ? 的普通方程为 y ? x ( x ? 0) .……………………6 分 4 ?y ? x , x ? 0 2 联立方程组 ? 消去 y 并整理得 x ? x ? 0 . 2 2 ?( x ?1) ? y ? 1 解得 x ? 1 或 x ? 0 ,所以 P 点的直角坐标为 (1 , 1) ……………………8 分 ? 所以 P 点的极坐标为 ( 2 , ) …………………………….……………10 分 4 ? ? 解法 2:把 ? ? 代入 ? ? 2 cos ? 得 ? ? 2 cos ? 2 4 4 ? 所以 P 点的极坐标为 ( 2, ) ………………..……………10 分 4
2、

2 3、【解析】(Ⅰ)直线 l : y ? x ? 4 ,圆 C : x ? ? y ? 2 ? ? 4 ,……………………1 分 2

联立方程组 ?

? ? x ? ?2 ? x ? 0 ?y ? x ? 4 ,解得 ? 或? ,……………………3 分 2 2 y ? 2 y ? 4 x ? y ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? ?

对应的极坐标分别为 ? 2 2,

? ?

3? 4

? ? ?? ? , ? 4, ? .………………………………………………5 分 ? ? 2?

(Ⅱ)[方法 1]设 P ? 2cos? , 2 ? 2sin ? ? ,则 d ?

2cos ? ? 2sin ? ? 2 2

? 2

?? ? 2 cos ?? ? ? ? 1 , 4? ?

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当 cos ? ? ?

? ?

??

? ? 1 时, d 取得最大值 2 ? 2 .……………………………………10 分 4?

[方法 2]圆心 C ? 0,2? 到直线 l 的距离为

2 2

? 2 ,圆的半径为 2 ,

所以 P 到直线 l 的距离 d 的最大值为 2 ? 2 .……………………………………10 分 4、

5、解:(Ⅰ)曲线 C 的参数方程可化为 直线 l 的方程为 ? sin ?? ?

?x ? 1?2 ? ? y ? 2?2 ? 1

………………(2 分)

? ?

??

? ? 2 展开得 ? cos? ? ? sin ? ? 2 …………(4 分) 4?
x ? y ? 2 ? 0 ………………………………………(5 分)

直线 l 的直角坐标方程为

(Ⅱ)令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0)………………………(6 分) 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 ?1,2? ,半径 r ? 1 ,则 MC ? 5 ………(8 分)
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所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 ,? MN 的最大值为 5 ? 1 .…………………(10 分)

6、解:(I)直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 4 ? 0 ,------------------------------------2 分 曲线 C 的直角坐标系方程为 x 2 ? y 2 ? 16. -------------------------------------------4 分 (II)⊙C 的圆心(0,0)到直线 l : 3x ? y ? 4 ? 0 的距离

d?
∴ cos

4 ( 3) ? 1
2 2

? 2, ------------------------------------------------------------6 分

1 2 1 ?AOB ? ? , --------------------------------------------------------8 分 2 4 2 1 ? ∵ 0 ? ?AOB ? , 2 2 1 ? 2? ? ?AOB ? , 故 ?AOB ? .-----------------------------------------------10 分 2 3 3
? ?4 4 ? ? y ? 4 2 sin ? ? 4 0 ? ? 4 x0 ? 4 2 cos

7、解:(1)设点 P 的直角坐标系坐标为 ,则 ? (x0,y0) ?

?

得 :

P(4,4)。

……2 分 ……4 分

? x2 y 2 ? x ? cos ? (? 为参数) ? ? ? cos 2 ? ? s in 2? ? 1 ? 1 3 ? ? y ? 3 sin ?

42 42 ? ? ? 1 ? 点 P 在曲线 C 1 3

y2 x ? ? 1外。 3
2

……5 分

(2)法 1:因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为(cos? , 从而点 Q 到直线 l 的距离为

3sin? ) , ……6 分
……7 分

|cos? + 3sin? ? 8 | d= 1?1

8 ? 2 cos(? ? ) 3 ? 4 2 ? 2 cos(? ? ? ) ? 3 2
当 cos(? ? 当 cos(? ?

?

……8 分 ……9 分 ……10 分

?
?
3

) ? 1 时,Q 到直线 l 的距离 d 的最小值为 3 2 ) ? ?1 时,Q 到直线 l 的距离 d 的最大值为 5 2
……6 分

3

法 2:直线 l 的平行线 n 方程可设为:x+y+t=0

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? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 联立 ? 得 3x2 ? ( x ? t ) 2 ? 3 ,即 4 x ? 2tx ? t ?3 ? 0 3 ?x ? y ? t ? 0 ?

……7 分

? ? 4t 2 ?16(t 2 ?3) ? ?12t 2 ? 48 ? 0 ? t ? ?2
曲线 C 的两切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0

……8 分

Q 到直线 l 的距离 d 的最大值为

|2 ? (?8) | d= ?5 2 1?1 |-2 ? (?8) | d= ?3 2 1?1

……9 分

Q 到直线 l 的距离 d 的最小值为

……10 分

8、解:(1) ? ?

?

2 ?1? , t an2 ? ? ?y ? 2 , ?2 ? ? t an? ? x?

将(2)平方与(1)相除化简得曲线 C1 的普通方程. 设 P ( x, y ) ,由 OP ?

y 2 ? 2x ,……………1 分

1 OM ,得 M (2 x,2 y) ,……………………3 分 2
∴ (2 y)
2

∵ M 是 C1 上的动点, ∴y
2

? 2(2x)

……………………4 分

? x ,即 C 2 的普通方程为 y 2 ? x( x ? 0) ……………………5 分

(2)解法一:在极坐标系中,直线 l : ? sin(? ? 曲线 C 2 的极坐标方程是 ? sin
2

?
4

) ? 2 ? 0 与极轴相交于 C (2,0) ,…6 分

? ? cos? ( ? ? 0) ,……7 分

? ? 由 ? ? sin(? ? 4 ) ? 2 ? 0 ,得 ? sin ? ? 2 ,或 ? sin ? ? ?1 ……………………8 分 ? ? ? sin 2 ? ? cos? ?
设 A( ?1 , ?1 ) , B( ? 2 ,? 2 ) , ∴ S ?ABO ? S ?ACO ? S ?BCO ? 解法二:直线 l : ? sin(? ? 且 l 与 x 轴交于 D(2,0)

?
4

1 1 ? 2? | ?1 sin ?1 | ? ? 2? | ? 2 sin ? 2 |? 3 ………10 分 2 2

) ? 2 ? 0 的直角坐标方程为 x-y-2=0………6 分

………7 分;

? ? y2 ? x 联立 ? ,消元得 y 2 ? y ? 2 ? 0 ,………8 分;; ? x ? y ? 2 ? 0 ?
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设 A( x1 , y1 ) 、

B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 1, y1 ? y 2 ? 2 ………9 分
1 ? OD? | y1 ? y2 | ………9 分,计算得 S△ABO=3 ………10 分 2

△ABO 的面积 sV ABO ?

9、解 :(I)直线 l 的方程为: 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0 .……………………………2 分 曲线 C 的方程为: x 2 ? y 2 ? 1 ………………………………………4 分 (II)∵ ?

? x? ? 2 x, ? y? ? y

x? ? x? , ? ( x?) 2 ∴将 ? 2 代入 C ,得 C ? : ? ( y ?) 2 ? 1 , 4 ? ? y ? y?
即椭圆 C ? 的方程为 x ? y 2 ? 1 .
2

………………………………6 分

4

设椭圆的 C ? 参数方程为 ?

? x ? 2 cos? , ? ( 为参数),……………………………8 分 y ? sin ? ?

x ? 2 3 y ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 4 sin(? ?

? ………………………………9 分 )
6

∴ x ? 2 3 y 的最小值为 ? 4 . ……………………………………10 分 10、

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11、解:(Ⅰ) C1 : ( x ? 4)

2

? ( y ? 3)2 ? 1, ,…………………………………………………1 分

x2 y 2 ? ?1 …………………………… ………………………………………2 分 36 4 ………………………………………3 分 C1 为圆心是 (4, ?3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 6 ,短半轴长是 2 的椭圆. C2 :
…………………………………………………………4 分 (Ⅱ)当 t ?

? 时, P(4, ?4) ,………………………………………………………5 分 2 设 Q(6cos ? , 2sin ? )
则 M (2 ? 3cos ? , ?2 ? sin ? ) , ………………………………………6 分

C3 为直线 x ? 3 y ? (8 ? 2 3) ? 0 ,……………………………………7 分

M 到 C3 的距离 d ?
?

(2 ? 3cos ? ) ? 3(?2 ? sin ? ) ? (8 ? 2 3) 2

……………………8 分

3cos ? ? 3 sin ? ? 6 2

2 3 cos(? ? ) ? 6 6 ? 2
? 3 ? 3 cos(? ? ) 6
从而当 cos(? ?

?

?

………………………………………9 分 ………………………………10 分

?

6

) ? 1, 时, d 取得最小值 3 ? 3

12、解:(Ⅰ)由 ?

? x ? 3t ? 1 x ?1 y ? 3 ? 得, , 3 4 ? y ? 4t ? 3
(2 分) (3 分)

∴直线 l 的普通方程为 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 . 由 ? ? 2a cos ? 得, ? 2 ? 2a ? cos ? ,

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∴ x2 ? y 2 ? 2ax , ∴圆 C 的平面直角坐标方程为 ( x ? a)2 ? y 2 ? a2 . (Ⅱ)∵直线 l 与圆 C 恒有公共点,∴

(4 分) (5 分)

| 4a ? 5 | 42 ? (?3)2

?| a | ,

(7 分)

解得 a ? ?

5 或 a ? 5, 9 5 9

(9 分) (10 分)

∴ a 的取值范围是 (?? ,? ] ? [5,?? ) .
2

13、解:(1)消去参数可得圆的直角坐标方程式为 x2 ? ? y ? 2? ? 4 ………………………………2 分 由极坐标与直角坐标互化公式得 (? cos? )2 ? ? ? sin? ? 2? ? 4 化简得 ? ? 4sin ? ……………4 分
2
o ? ? x ? 3 ? t cos 45 (2)直线 l 的参数方程 ? (t为参数) ……………………………………………6 分 o ? ? y ? 4 ? t sin 45

? ?x ? 3 ? ? 即? ?y ? 4 ? ? ?

2 t 2 (t为参数) 代入圆方程得: t 2 ? 5 2t ? 9 ? 0 2 t 2

设 A 、 B 对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 t1 ? t2 ? 5 2 , t1t2 ? 9 ………………………8 分 于是 MA ? MB = t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 9 .………………………………………10 分

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