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2.3.2 双曲线的几何性质课件选修2-1 .ppt


2.3.2 双曲线的简单几何性质

y

y

图形

A1

.
2 2

B2 O

F1

.

x F1(-c,0)

F2 A2

. .
B2 F1 A1 A2
O

F2

x

F1(-c,0)
方程
2

B F 12(c,0)
2 2

B1

F2(c,0)

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2

x y ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b
2 2

范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

?a? x?a

?b ? y ?b

x ≥ a或 x≤ -a ,y?R 关于x轴、y轴、原点对称

关于x轴、y轴、原点对称 (-a,0) , (a,0) ,(0,b) , (0,-b) 长轴长:2a 短轴长:2b

(-a,0) , (a,0) 实轴长:2a

虚轴长:2b

c e? a

(0 ? e ? 1)



课堂新授
一、研究双曲线
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
(-x,y) -a (-x,-y)

的简单几何性质
y
(x,y)

1、范围 x2 y2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1,即x 2 ? a 2 a b ? x ? a, x ? ? a
y?R

o a
(x,-y)

x

2、对称性 曲线关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点

顶点是A1 (?a,0)、A2 (a,0)
( 2) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴,它的长为2a,
线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴, 它的长为2b, 其中a叫做实半轴长,
A1 -a

y b

B2
o a A2 x

b叫做虚半轴长.

-b B 1

4、渐近线

a ? OA2 ? OQ b ? A2 P ? FQ c ? OP ? OF
y b B2
Q P(a,b)

x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) (1) a b x y b 的渐近线为 ? ? 0, 化简得y ? ? x a b a

y2 x2 (2)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b 的渐近线是什么?

y x a 渐近线为 ? ? 0, 即y ? ? x a b b
2 2 2 (3) 等轴双曲线 x ? y ? a (a ? 0)

A1

o

a A2
B1

F

x

的渐近线方程为

y ? ?x

b y? x a

b y?? x a

5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

? c>a>0 ?

e >1

(3)e刻画双曲线的什么几何特征?
b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ?1 ? e2 ?1 a a a b b ?当e ? (1,?? )时, ? (0,?? ), 且e增大 , 也增大 a a ? e增大时,渐近线与实轴 的夹角增大

e越大,双曲线张口越大

y x 二、导出双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b y 的简单几何性质 (1)范围: y ? a, y ? ?a
(2)对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
(3)顶点: (4)渐近线: (0,-a)、(0,a)
-b

2

2

a
o b x

a y?? x b

-a

(5)离心率:

c e? a





双 曲 线
2 2

性 质 图象
y
o

范围

对称 性

顶点

渐近 线

离心 率

x y ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0) y2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

x?a
x

x ? ?a
y?a




y o x

y ? ?a

c b 关于 (? a,0) y ? ? x e ? 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c 2 ? a 2 ? b2 ) y ? ? x ( 0 , ? a ) 称 b

例1、 求双曲线 16x2-9y2=-144的实轴长和虚 轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程. 2 2 y x ? ?1 解:把方程化为标准方程 16 9
可得实轴长2a=8,虚轴长2b=6

焦点坐标为(0,-5)、(0,5)

c 5 离心率e ? ? a 4

4 渐进线方程为y ? ? x 3

x2 例2(1) : ? y 2 ? 1的渐近线方程为: 4

x y ?? 2
y ? ? x 2

x (2):一个双曲线的渐近线的方程为: y ? ? 2 2 方程可设为 . x ? y 2 ? ? (? ? 0) 4
当λ >0时,双曲线焦点在x轴上
当λ <0时,双曲线焦点在y轴上 当λ =0时,即为双曲线的渐近线方程

x2 ? y 2 ? ?4 4

的渐近线方程为:

,它的标准

例3:求下列双曲线的标准方程: x2 y 2 (1)与双曲线 ? ? 1有相同渐近线,且过点 ?3, 2 3 ; 9 16 2 ?9 ? 2 渐近线方程为: y ? ? x 且过点 , ? 1 ? ? ? ? 3 2 ? ? x2 y 2 解: ?1? 设所求双曲线方程为 ? ? ? ? ? ? 0 ? 9 16 9 12 1 则 ? ? ?, 解得? ? 9 16 2 2 4 2 2

?

?

x y 1 x y 故所求双曲线方程为 ? ? 即 ? ?1 9 16 9 16 4 4 4 2 x y ? 2 ? 渐近线方程y ? ? x可化为 ? ? 0 3 3 2 81 2 2 x y 1 设所求双曲线方程为 ? ? ? ? ? ? 0 ? 则 4 ? ? ?,解得? ? 2 9 4 92 4 2 2 2 x y x y 故所求双曲线方程为 ? ? 2即 ? ?1 9 4 18 8

3 (1)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y ? ? x 2

练习:求出下列双曲线的标准方程

y x ? ?1 9 4
2 2

2

2

x 4y ? ?1 9 81

2

2

(2)求与双曲线 x ? 2 y ? 2 有公共渐近线, 且过点 M (2, ?2) 的双曲线方程。

y x ? ?1 2 4

2

2





椭 圆
方程
a ,b, c
2 x2 ? y ? 1 2 ( a> b >0) 2 a b

双曲线
x2 ? y2 ? 1 ( a> 0 b>0) 2 2 a b

关系

c 2? a 2 ? b 2 (a> b>0)
y
M

c 2? a 2 ? b 2 (a> 0 b>0)

Y
F2

p F2 X

图象

F1

0

X

F1

0

范围
对称性 顶点

|x|?a,|y|≤b
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点 (-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b) 长轴:2a 短轴:2b c e= a
( 0< e < 1 )

|x| ≥ a,y?R
对称轴:x轴,y轴 对称中心:原点 (-a,0) (a,0) 实轴:2a 虚轴:2b

离心率

e=

c (e?1) a

渐近线



b x y=± a


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