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2015届衡南县重点高中“五科联考”数学试题(含答案)


2015 届衡南县重点高中“五科联考”数学试题
说明: 1、时间:90 分钟;满分:120 分 2、不能使用计算器 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1、下列运算正确的是( ) A、 a ? a ? a
2 3 6

B、 2 2 ? 2 ? D、 x ? y ?

2

C、 a

?2

?

1 (a ? 0) a2

x? y

解:选 C 2、若不等式 ?

? x ? m  ① ? x ? 8 ? 4 x ? 1  ②

的解集是 x ? 3 ,则 m 的取值范围是(  



A、 m ? 3 B、 m ? 3 C、 m ? 3 D、 m ? 3 解:由②,得 x ? 3 ∵ x?m 又∵ 原不等式组的解集为 x ? 3 ∴ m ? 3 ,选 C 3、在某些情况下,我们可用图象法解二元一次方程组,那么下图中所解的二元一次方程组是( A、 ?



?x ? y ? 2 ? 0 ?3x ? 2 y ? 1 ? 0 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?3x ? 2 y ? 1 ? 0

B、 ?

?x ? y ? 2 ? 0 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?3x ? 2 y ? 5 ? 0

C、 ?

D、 ?

解: 由图知, 两函数经过的点的坐标为: (0, -1) , (1, 1) , (0, 2) , 分别求出图中两条直线的解析式为 y ? 2 x ? 1 ,

?x ? y ? 2 ? 0 y ? ? x ? 2 ;因此所解的二元一次方程组是 ? ,选 B ?2 x ? y ? 1 ? 0

4、已知函数 y ? A、有两个正根 C、有两个负根 解:∵ 函数 y ? ∴ ab ? 0 ∵ a?0

ab 2 ,当 x ? 0 时,y 随 x 增大而减小,则关于 x 的方程 ax ? 3x ? b ? 0 的根的情况是( x
B、有一个正根一个负根 D、没有实根



ab ,当 x>0 时,y 随 x 增大而减小 x

∴ 方程 ax ? 3x ? b ? 0 是一元二次方程
2

1

∴ ? ? 32 ? 4a(?b) ? 9 ? 4ab ? 0 ∴ 方程 ax ? 3x ? b ? 0 有两个不相等的实数根
2

设它两实数根分别为 x1 , x2 ∴ x1 x2 ? ?
2

b ?0 a

∴ 方程 ax ? 3x ? b ? 0 有两个异号的实数根,选 B 5、已知圆锥的底面半径为 5cm,侧面积为 60? cm ,设圆锥的母线与高的夹角为 ? ,则 sin ? 的值为(
2



A、

3 13

B、

5 13

C、

5 12

D、

12 13

解:设圆锥的母线长为 R,由题意得

60? ? ? ? 5 ? R 解得 R ? 12 5 ∴ sin ? ? ,选 C 12
6、若定义 ? a ? 表示不大于实数 a 的最大整数(例如:当 ?2 ? a ? ?1 时, ? a? ? ?2 ; 0 ? a ? 1 时,? a ? ? 0 ) ,定义

?a? ? a ? ?a?。若当 2 ? x ? 2 时,函数 y ? m?x? ? n 的最小值为 8,最大值为 10,则 m ? n ? (
A、6 C、6 或 12 解:∵ ∴ ∴ B、10 D、6 或 10

5



2? x?

5 2

? x? ? 2
y ? m( x ? ? x?) ? n ? m( x ? 2) ? n
5 1 ?5 ? 时, y最大 ? m ? ? 2 ? ? n ? m ? n ? 10 , 2 2 ?2 ?

当 m ? 0 时,y 随 x 的增大而增大,即 x ? 2 时, y最小 ? n ? 8 ; x ?

m ? 4 ,此时 m ? n ? 12
当 m ? 0 时,y 随 x 的增大而减小,即 x ? 2 时, y最大 ? n ? 10 ; x ?

5 1 ?5 ? 时, y最小 ? m ? ? 2 ? ? n ? m ? n ? 8 , 2 2 ?2 ?

m ? ?4 ,此时 m ? n ? 6
综上,选 C 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7、若 x ? 解:∵ ∴

2 ? 1,则 x3 ? (2 ? 2) x2 ? (1 ? 2 2) x ? 2 的值是_____________; x ? 2 ?1

x ? 2 ? 1, x ?1 ? 2

2

?  x 3 ? (2 ? 2) x 2 ? (1 ? 2 2) x ? 2 ? x 2 ( x ? 2 ? 2) ? (1 ? 2 2) x ? 2 ? x 2 (1 ? 2) ? (1 ? 2 2) x ? 2 ? ? x 2 ? (1 ? 2 2) x ? 2 ? ? x( x ? 1 ? 2 2) ? 2 ? ? x( 2 ? 2 2) ? 2 ? 2x ? 2 ? 2( x ? 1) ? 2? 2 ?2
1 a ?1 ? 在实数范围内无解,则实数 a ? ____________; x?3 x?3 解:方程两边都乘以 x ? 3 ,得
8、若关于 x 的分式方程

1 ? ( x ? 3) ? a



∵ 原方程在实数范围内无解 ∴ 必有增根 x ? ?3 把 x ? ?3 代入①,得 a ? 1 9、满足方程 x ? 2 ? x ? 3 ? 5 的 x 的取值范围是_______________; 解:从三种情况考虑: 第一种:当 x ? ?2 时,原方程就可化简为: ? x ? 2 ? 3 ? x ? 5 ,解得: x ? ?2 ; 第二种:当 ?2 ? x ? 3 时,原方程就可化简为: x ? 2 ? 3 ? x ? 5 ,恒成立; 第三种:当 x ? 3 时,原方程就可化简为: x ? 2 ? x ? 3 ? 5 ,解得: x ? 3 ; 综上,x 的取值范围是 ?2 ? x ? 3 10、有一张矩形纸片 ABCD , AD ? 9 , AB ? 12 ,将纸片折叠使 A 、C 两点重合, 那么折痕长是 解:如图,由勾股定理易得 AC=15,设 AC 的中点为 E,折线 FG 与 AB 交于 F, (折线垂直平分对角线 AC) ∴ AE=7.5. ∵ ∠AEF=∠B=90°,∠EAF 是公共角 ∴ △AEF∽△ABC



EF BC 9 ? ? AE AB 12 22.5 ∴ EF ? 4
∴ ∴ 折线长 ? 2 EF ?

45 4 x 2 2 ? ,那么 ,例如 f (2) ? x ?1 2 ?1 3

11、对于 x ? 0 ,规定 f ( x ) ?

f(

x 1 1 1 1 )? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2010) ? f (2011) ? _____ 解:∵ f ( x ) ? x ?1 2011 2010 3 2

1 1 1 1 1 ? ∴ f( )? x ? , f (1) ? 1 1?1 2 x ?1 1? x x 1 x 1 x ?1 ? ? ?1 ∴ f ( x) ? f ( ) ? x x ?1 1? x x ?1

3

?f(

1 1 1 1 )? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2010) ? f (2011) 2011 2010 3 2 1 1 1 ?[ f ( ) ? f (2011)] ? [ f ( ) ? f (2010)] ? ? ? [ f ( ) ? f (2)] ? f (1) 2011 2010 2 1 ?1 ?1? ?? 1? ?? ?? ? 2 2010 个

1 2 12、在△ABC 中,E、F 分别为边 AB、AC 的中点,G 为线段 EF 上一点,记△ABC、△AGC、△ABG、△GBC 面 =2010
积分别为 S 、 S1 、 S2 、 S3 ,已知 S1 ? ?1S , S2 ? ?2 S , S3 ? ?3 S ,且 ?3 ? 2?1 ,则 解:连结 CE ∵ E、F 分别为边 AB、AC 的中点 ∴ EF∥BC ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴

1

?1

?

2

?2

?

3

?3

? __________;

S3 ? S?BCE ?

1 S 2

S3 ? ?3 S

?3 ?

1 2

?3 ? 2?1
?1 ?
1 4

S1 ? S2 ? S3 ? S

?1S ? ?2 S ? ?3S ? S

?1 ? ?2 ? ?3 ? 1
?2 ? 1 ? ?1 ? ?3 ?
1
1 4

?1

?

2

?2

?

3

?3

?

1 2 3 ? ? ? 4 ? 8 ? 6 ? 18 1 1 1 4 4 2

三、解答题(5 小题,60 分) 13、 (10 分)先化简,再求值:

? 2 ?105 ? x3 y ? x 2 y 2 x 2 ? xy 3xy ? 2 ? ? ( x ? y ) ? 4 ? ,其中 4 x ? 2 xy ? y 2 x 2 ? y 2 ? x ? y ?1?
x ? 4sin 45? ? 2cos 60? , y ?

0

2 3? 2 2

? 3 tan 30?

4

? 2 ?105 ? x3 y ? x 2 y 2 x 2 ? xy 解:  3xy ? 2 ? ? ( x ? y ) ? 4 ? 4 x ? 2 xy ? y 2 x 2 ? y 2 ? x ? y ?1? x 2 y ( x ? y ) ( x ? y )( x ? y ) ? 3xy ? ? ? ( x ? y ) ?1 ( x ? y)2 x( x ? y ) ? 3xy ? xy ? x ? y ? 2 xy ? x ? y


0

x ? 4sin 45? ? 2cos 60? ? 4 ?
2 3? 2 2 ? 3 tan 30? ?

2 1 ? 2 ? ? 2 2 ?1 2 2
2 ? 3? 3 2 ? ?1 ? 2 2 ?1 3 2 ?1

y?

( 2 ? 1) 2

∴ ∴

xy ? (2 2 ?1)(2 2 ?1) ? 7 , x ? y ? ?2
原式 ? 2 ? 7 ? 2 ? 12

14、 (12 分)甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球,甲盒中有 2 个白球,1 个黄球和 1 个蓝球;乙盒中有 1 个白球, 2 个黄球和若干个蓝球, 从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的 2 倍; (1)求乙盒中蓝球的个数; (2)从甲、乙两盒中分别任意摸取一球,求这两球均为蓝球的概率; 解: (1)设乙盒中有 x 个蓝球,则从乙盒中任意摸取一球,摸得蓝球的概率 P 1 ? 从甲盒中任意摸取一球,摸得蓝球的概率 P2 ? 由题意,得

x ; x?3

1 4

3 1 ? 2? x?3 4

解得 x ? 3 即乙盒中有 3 个蓝球 (2)方法一:列表如下: 乙 甲 白1 白2 黄 蓝 白 黄1
白 1,黄 1 白 2,黄 1 黄,黄 1 蓝,黄 1

黄2
白 1,黄 2 白 2,黄 2 黄,黄 2 蓝,黄 2

蓝1
白 1,蓝 1 白 2,蓝 1 黄,蓝 1 蓝,蓝 1

蓝2
白 1,蓝 2 白 2,蓝 2 黄,蓝 2 蓝,蓝 2

蓝3
白 1,蓝 3 白 2,蓝 3 黄,蓝 3 蓝,蓝 3

白 1,白 白 2,白 黄,白 蓝,白

由表格可知,所有可能的结果有 24 种,其中均为蓝球的有 3 种 ∴ 从甲、乙两盒中分别任意摸取一球,这两球均为蓝球的概率 P ?

3 1 ? 24 8

1 3 1 ;从乙盒中任意摸取一球,摸得蓝球的概率为 ? 4 6 2 1 1 1 ∴ 从甲、乙两盒中分别任意摸取一球,这两球均为蓝球的概率 P ? ? ? 4 2 8
方法二:从甲盒中任意摸取一球,摸得蓝球的概率为 15、 (12 分)某公司开发的 960 件新产品,需加工后才能投放市场,现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品,已知 甲工厂加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20 天,而乙工厂每天比甲工厂多加工 8 件产品。在加工 过程中,公司需每天支付 50 元劳务费请工程师到厂进行技术指导。 (1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品?

5

(2)该公司要选择省时又省钱的工厂加工,乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天 800 元,请问:乙工厂 向公司报加工费用每天最多为多少元时,才可满足公司要求,有望加工这批产品。 解: (1)设甲工厂每天加工 x 件,则乙工厂每天加工 ( x ? 8) 件,由题意得

960 960 ? 20 ? x x ?8
解之,得

x1 ? ?24 , x2 ? 16
经检验,它们均为方程的根,但 x ? ?24 不合题意,舍去 ∴ x ? 8 ? 24 答:甲工厂每天加工 16 件,乙工厂每天加工 24 件。 (2)由(1)可知,加工 960 件产品,甲工厂要 60 天,乙工厂要 40 天 ∴ 甲工厂的加工总费用为 60(800 ? 50) ? 5100(元)

设乙工厂报价为每天 y 元,则乙工厂的加工总费用为 40( y ? 50) 元,由题意,得

40( y ? 50) ? 5100
解之,得

y ? 1225
答:乙工厂所报加工费每天最多为 1225 元时,可满足公司要求,有望加工这批产品。 16、 (13 分)已知:直线 l: y ? 2 x ? 2b 与过点 D(0,-2)平行于 x 轴的直线 DE 交于 B 点,与 x 轴交于点 A (1)求 A、B 两点的坐标(用含 b 的代数式表示) ; (2)当△ABD 是以 AD 为底边的等腰三角形时,求 b 的值; (3)设直线 y ? 2 x ? 2b 与 y 轴交于点 C,当△CAO 的面积是△CBD 的面积的 4 倍时,求 b 的值; 解: (1)令 y ? 0 ,则 2 x ? 2b ? 0 ,得 x ? ?b ∴ A( ?b ,0) 令 y ? ?2 ,则 2 x ? 2b ? ?2 ,得 x ? ?b ? 1 ∴ B( ?b ? 1 ,-2) (2)∵ △ABD 是以 AD 为底边的等腰三角形 ∴ BA=BD ∴ ∴ ∴ y y A O x

(?b ? 1 ? b) 2 ? (?2) 2 ? ?b ? 1
A

D O x

B

E

(?b ? 1 ? b) 2 ? (?2) 2 ? ? ?b ? 1?

2

b1 ? ?1 ? 5 , b2 ? ?1 ? 5

B

D

E

6

(3)由题意,点 C 必在 y 轴的负半轴 令 x ? 0 ,则 y ? 2b ? 0 ∴ C(0, 2b ) ∴

CO ? 2b ? ?2b , CD ? ?2 ? 2b

∵ DE∥x 轴 ∴ △CAO∽△CBD ∴

S CO ? ?CAO ? 4 ? 2 ,即 CO ? 2CD CD S?CBD

当点 C 在线段 OD 的延长线上时, CD ? ?2 ? 2b ? ?2 ? 2b ∴ ∴

?2b ? 2(?2 ? 2b)
b ? ?2
y O A x O D B E C B D E A x y

C

当点 C 在线段 OD 上时, CD ? ?2 ? 2b ? 2 ? 2b ∴ ∴

?2b ? 2(2 ? 2b)
b?? 2 3 2 时,△CAO 的面积是△CBD 的面积的 4 倍 3

综上,当 b ? ?2 或 ?

17、 (15 分)已知,矩形 OABC 的顶点 O 在平面直角坐标系的原点,边 OA、OC 分别在 x、y 轴的正半轴上,且 OA=3cm,OC=4cm,点 M 从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动,点 N 从点 C 出发沿 CA 向终点 A 运动,点 M、N 同时出 发,且运动的速度均为 1cm/秒,当其中一个点到达终点时,另一点即停止运动,设运动时间为 t 秒。 (1)当点 N 运动 1 秒时,求点 N 的坐标; (2)用含 t 的代数式表示多边形 OAMN 的面积 S; (3)t 为何值时,以△OAN 的一边所在直线为对称轴翻折△OAN,翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形; 解: (1)∵ t ? 1 ∴ CN ? AM ? 1 过 N 作 NE⊥y 轴,作 NF⊥x 轴

7

∴ ∴ ∴

△CEN∽△COA

CN EN 1 EN ? ? ,即 CA OA 5 3 3 EN ? 5
2 2 2

由勾股定理,得 CE ? CN ? EN ? 1 ? ? ? ?

?3? ?5?

2

4 5

4 16 ? 5 5 3 16 ∴ N( , ) 5 5 CN EN CE ? ? (2)由(1)得 CA OA CO 3 4 ∴ EN ? t , CE ? t 5 5 3 4 ∴ N( t , 4 ? t ) 5 5


EO ? 4 ?



1 1 ? 4 ? 6 S?ONA ? OA ? NF ? ? 3 ? 4 ? t ? ? 6 ? t 2 2 ? 5 ? 5 1 1 ? 3 ? 3 3 AM ? AF ? t ? 3 ? t ? ? t ? t 2 2 2 ? 5 ? 2 10

S?AMN ?


6 3 3 3 3 S ? S?ONA ? S ?AMN ? 6 ? t ? t ? t 2 ? ? t 2 ? t ? 6 ( 0 ? t ? 4 ) 5 2 10 10 10 (3)①直线 ON 为对称轴时,翻折△OAN 得到 ?OA?N

当 AN ? A?N ? A?O ? OA 时,四边形 OANA? 是菱形 即 AN ? OA ,得 5 ? t ? 3 ∴ t?2 ②直线 OA 为对称轴时,翻折△OAN 得到 ?OAN ?

8

连结 NN ? 交 AB 于点 G 当 NN ? 与 OA 互相垂直平分时,四边形 ONAN ? 是菱形 即 OA⊥ NN ? , OG ? AG ? ∴ NG∥CO ∴ 点 N 是 AC 的中点 ∴ ∴

1 3 AO ? 2 2

CN ? t? 5 2

5 2

③直线 AN 为对称轴时,翻折△OAN 得到 ?O?AN

连结 OO? 交 AN 于点 H 当 OO? 与 AN 互相垂直平分时,四边形 ONO?A 是菱形 即 OH⊥AC, AH ? NH ? ∵ ∴

1 5?t AN ? 2 2 1 1 S?OAC ? AC ? OH ? OA ? OC 2 2 OA ? OC 12 OH ? ? AC 5



9 ? 12 ? AH ? OA ? OH ? 3 ? ? ? ? 5 ? 5?
2 2 2

2

∴ ∴

5?t 9 ? 2 5 7 t? 5 5 7 或 2 5

综上所述,t 的值为 2 或

9


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