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1.3正弦定理与余弦定理(2)


【课题】 1.3 正弦定理与余弦定理(二) 【教学目标】
知识目标: 理解余弦定理. 能力目标: 培养学生分析问题和解决问题的能力.

【教学重点】
余弦定理及其应用.

【教学难点】
余弦定理及其应用.

【教学设计】
余弦定理是勾股定理的推广.在余弦定理的每个等式中,各包含了四

个不同的量,它们 分别是三角形的三条边和一个角.这样,已知其中三个量,就可以求出第四个量.因此,利 用余弦定理可以解决两类解三角形的问题: (1)已知两边及夹角,求第三边; (2)已知三边, 求各角.例 4 是已知两边及夹角,求第三边的示例,可以直接应用余弦定理;例 5 是已知三 边求角的示例.由于余弦函数在区间 (0, π) 内是单调函数,所以知道余弦值求角时,没有必 要进行讨论. 这里求最大角与最小角, 是起到强化对 “大边对大角, 小边对小角” 的认识. 利 用余弦定理求一个角,求第二个角的时候,可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理.

【教学备品】
教学课件.

【课时安排】
2 课时.(90 分钟)

【教学过程】 教 过
*揭示课题 1.3 正弦定理与余弦定理. *创设情境 兴趣导入 问题:如果知道三角形的两条边及它们的夹角,如何求第 三条边呢? *动脑思考 探索新知 在三角形 ABC 中(如图 1-13) ,作 CD⊥AB 于 D,则
第 1 章 三角公式及应用(教案)

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
介绍 了解 学生 自然 的走 向知 质疑 思考 识点 5 0

教 过
a
2

学 程
? DB
2

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
2 2

? CD
2

2

? b ? AD

? DB

2

详细 分析 讲解

思考

带领 学生 总结

? b ? ( D B ? A D )( D B ? A D ) ? b ? c(DB ? AD ? 2 AD ) ? b ? c ( c ? 2 A D ) ? b ? c ? 2 cA D
2 2 2 2

? b ? c ? 2 cb cos A

2

2



a

2

? b ? c ? 2 cb cos A

2

2

. 总结 归纳 理解 记忆

图 1-13 同理可得 b 2
? a ? c ? 2 ac cos B, c ? a ? b ? 2 ab cos C .
2 2 2 2 2

可以证明,上述结论对于任意三角形都成立.于是得到余 弦定理: 三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这 两边与其夹角余弦乘积的两倍. 即
a b c
2

? b ? c ? 2 b c co s A ? a ? a
2

2

2

2

? c ? 2 a c co s B ? b ? 2 ab cos C
2 2

2

(1.11)

2

2

显然,当 C = 90°时,有 c 定理是余弦定理的特例. 公式(1.11)经变形后可以写成
co s A ? b
2

? a

2

?b

2

.这就是说,勾股

?c

2

?

a

2

2bc co s B ? a
2

详细
?

?c

2

b

2

(1.12)

分析 讲解

理解 记忆

2ac

第 1 章 三角公式及应用(教案)

教 过
co s C ?

学 程
a ?b
2 2
?

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
c
2

2ab

利用余弦定理可以解决下列解三角形的问题:
(1)已知三角形的两条边和它们的夹角,求第三边和其 他的两个角. (2)已知三角形的三边,求三个角. *巩固知识 典型例题 例 4 在△ABC 中,A = 60°,b = 8,c = 3,求 a. 分析 这是已知三角形的两条边和它们的夹角, 求第三边 的问题,可以直接应用余弦定理. 解
a
2

25

引领

观察

通过 例题 进一 步领 会

? b ? c ? 2 b c co s A = 8 ? 3 ? 2 ? 8 ? 3 ? cos 60 ?
2 2

2

2

讲解 说明

思考 主动 求解

=49
所以 a = 7. 例5 在△ABC 中,a = 6,b = 7,c = 10,求△ABC 中

的最大角和最小角(精确到 1°). 分析 解 有
co s C ?

引领

观察

注意 观察 学生 是否 理解

三角形中大边对大角,小边对小角. 由于 a<b<c, 所以 C 最大, 最小, A 由公式 (1.12) ,

a ?b

2

2

?

c

2

?

6 ? 7 ? 10 2?6?7

2

2

2

? ? 0 .1 7 8 6,

知识 点 50

2 ab

所以
co s A ? b ?c
2 2

C ≈ 100°,
?

a

2

=

7 ? 10 ? 6 2 ? 7 ? 10

2

2

2

? 0 .8 0 7 1,

2bc

所以

A ≈ 36°. 及时
A? 4 5 , c ? 5, b ? 4, 求

*运用知识 强化练习 1.在△ABC 中,A 为钝角,且 sin a. 2. 在△ABC 中, c ? 3 7 , b ? 3, a ? 4 ,求 C. 提问 巡视 指导 动手 求解

了解 学生 知识 掌握 情况 70

第 1 章 三角公式及应用(教案)

教 过
*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 余弦定理的内容: 结论: 余弦定理:
a b c
2

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
以小 质疑 小组 讨论 回答 组讨 论师 生共 同归 纳的 形式 理解 归纳 强调 强化 强调 重点 突破 难点 75

? b ? c ? 2 b c co s A ? a ? a
2

2

2

2

? c ? 2 a c co s B ? b ? 2 ab cos C
2

2

2

2

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 在△ABC 中, b ? 3 ? 1, c ? 2, A ? 60 ? .求 a 与 C. *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 1.3(必做) ;学习指导 1.3(选 做) (3)实践调查:编写一道有关余弦定理的习题. 【教师教学后记】 项目 反思点 学生是否真正理解有关知识; 学生知识、技能的掌握情况

引导

回忆

80

提问 巡视 指导

反思 动手 求解

检验 学习 效果 85

说明

记录

分层 次要 求 90

是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动;

学生的情感态度

在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服;

第 1 章 三角公式及应用(教案)

学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活; 学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

第 1 章 三角公式及应用(教案)


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