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山东省菏泽市2014-2015学年高二数学下学期期中试题(A)理


2014—2015 学年度第一学期期中考试 高二数学(理)试题(A)
(选修 2-2) 本试卷分第Ⅰ卷和第 II 卷两部分,共 4 页满分 150 分,考试用时 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题(每题 5 分) 2i ? 1.复数 1 ? i ( ) 1 ? i A. B. ?1? i C. 1 ? i D. ?1? i

x ? 2.设 f ( x) ? x ln x ,若 f '( x0 ) ? 2 ,则 0 (
2 A. e


ln 2 C. 2

B.e

D. ln 2 )

3 3.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是(

A.1,-1

B.1,-17

C.3,-17

D.9,-19

f ?( x0 ) ? 0 4. 有一段“三段论”推理是这样的: “对于可导函数 f ( x) , 如果 , 那么 x ? x0 是函数 f ( x)
3 3 ? 的极值点;因为函数 f ( x) ? x 在 x ? 0 处的导数值 f (0) ? 0 ,所以 x=0 是函数 f ( x) ? x 的极值

点.”以上推理中( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 x ?1 y? x ? 1 在点(3,2)处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( 5.设曲线 ) A.2
1 B. 2 1 C. 2 ?

D. ?2

6.用反证法证明命题 a,b ? N , a,b 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整除 ”时,假设 的内容应为( ) A.a,b 都能被 5 整除 C.a,b 不都能被 5 整除 7.下列推理正确的是( ) B.a 不能被 5 整除 D.a,b 都不能被 5 整除

A.把 a(b ? c) 与 log a ( x ? y) 类比,则有: log a ( x ? y) ? log a x ? log a y . B.把 a(b ? c) 与 sin( x ? y ) 类比,则有: sin( x ? y) ? sin x ? sin y .
n n n n n C.把 (ab) 与 (a ? b) 类比,则有: ( x ? y) ? x ? y .

D.把 (a ? b) ? c 与 ( xy ) z 类比,则有: ( xy) z ? x( yz ) .

-1-

8.设函数 f ( x) 在定义域内可导, y ? f ( x) 的图象如右图所示,则导 函数 y=f ?(x)可能为( )

1?

1 2
2

?

9.观察式子:
1? 1 2
2

3 1 1 5 1 1 1 7 ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 ,…,则可归纳出式子为( 2 3 2 3 4



?

1 3
2

??

1 n
2

?

A.
1?

1 2n ? 1
2n ? 1 n

1?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

B.
1?

1 2n ? 1
2n 2n ? 1

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

C.

D.
1 1 1 ,b ? y ? ,c ? z ? y z x

x, y , z ? (0, ??), a ? x ?

10.设

,则 a,b,c 三个数(



A.至少有一个不小于 2 C.至少有一个不大于 2 第 II 卷(共 100 分) 二、填空题(每题 5 分,共 25 分) 2 1 ( ? 2x )dx ? 1 x 11. = .

B.都小于 2 D.都大于 2

12.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规 律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的●的个数是___________. 13.在平面几何里,有:“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c,内切圆半径为 r,则三角形面积 1 为 S△ABC=2(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 A-BCD 的四个面的面积分 别为 S1,S2 ,S3,S4,内切球的半径为 r,则四面体的体积为________”
2 ' ? ? 14.已知函数 f ( x) 的导函数为 f ( x) ,且满足关系式 f ( x) ? x ? 3xf (1) ? ln x ,则 f (1) 的值等



. ;

2 15. 设函数 f ( x) ? ln x ? x ? ax . 若 f ( x) 在其定义域内为增函数, 则 a 的取值范围为

三、解答题:(共 6 小题,75 分) 16. (12 分)已知复数 Z1 满足 (Z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 Z2 的虚部为 1,Z1·Z2 是实数,求 Z2.

-2-

3 2 17 . ( 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? ax ? 9 x ? 1(a ? 0) ,且曲线 y ? f ( x) 斜率最小的切线与直线

12 x ? y ? 6

平行.

求: (1)a 的值; (2)函数 f ( x) 的单调区间.

18. (12 分)若 x,y>0,且 x+y>2,求证:

1? x 1? y , y x

至少有一个小于 2。

2 x 19. (12 分) 已知 a ? 2 ,函数 f ( x) ? ( x ? ax ? a)e .

(1)当 a=1 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x) 的极大值是 6·e-2,求 a 的值.

3 2 2 20. (13 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 时都取得极值 10

(1)求 a,b 的值.
2 (2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? 3c ? c 恒成立,求 c 的取值范围。

21. (14 分)数列 {an } 满足 Sn ? 2n ? an (n ? N*) .

-3-

(1)计算 a1 , a2 , a3 , a4 , 并由此猜想通项公式 a n ; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

2014—2015 学年度第一学期期中考试 高二理科数学试题(A)参考答案 选修 2-2 一、选择题 序号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 D 6 D 7 D 8 D 9 C 10 A

二、填空题 2 ln 2 ? ln 2 11. 15. a ? ?2 2

12.14

1 s ? s2 ? s3 ? s4 )r 13.V= 3 ( 1

14.

?

3 2

16. (1)解:因为( z 1 -2)(1+i)=1-i
1 ? i (1 ? i)2 ? 2 =-i 所以 z 1 -2= 1 ? i

z 1 =2-i
设 z 2 ? a ? i 所以 z1 z2 ? (2a ? 1) ? (2 ? a)i 所以 a=2,所以 z 2 ? 2 ? i
' 2 17. (1)解: f ( x) ? 3x ? 2ax ? 9

x对 ? ?

a a f ' (? ) ? ?12 3 所以 k min = 3
2

所以 a ? 9 因为 a<0 所以 a= -3 (2) f ( x) ? 3x ? 6 x ? 9 令f ( x) >0 所以 x>3 或 x<-1
' 2
'

令f ' ( x) <0 所以-1<x<3

-4-

所以函数 f (x)的递增区间(3, ? ?) , ( ? ?,?1)
1? x 1? y ? 2, ? 2. y x

递减区间(-1,3)

18. 证明:假设

? ?1 ? x ? 2 y ? ?1 ? y ? 2 x 即 ?

∴ 2 ? x ? y ? 2x ? 2 y ∴ x ? y ? 2 ,这与 x ? y ? 2 矛盾。 ∴ 假设不成立
1? x 1? y , y x



至少有一个小于 2.

19. 解(1) a ? 1
f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1)e x f ?( x) ? e x ( x 2 ? 3x ? 2)
? 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ? ?1 ? 令 f ( x) ? 0 ,得 ?2 ? x ? ?1

∴ y ? f ( x) 的递增区间为 (??, ?2), (?1, ??) 。
2 x (2) f ( x) ? ( x ? ax ? a)e

f ?( x) ? e x ( x 2 ? (a ? 2) x ? 2a)
? 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?a 或 x ? ?2

∵ a?2 x

∴ ? a ? ?2
( ??, ?2)

f ?( x) f ( x)

+ 增

-2 0 极大值

(?2, ? a )

?a
0 极小值

( ? a, ?? )

- 减

+ 增



f ( x)极大值 ? f (?2) ? (4 ? 2a ? a)e?2 ? 6e?2

∴ 4 ? a ? 6 ,解得 a ? ?2 。
2 ? 20. 解(1) f ( x) ? 3x ? 2ax ? b

? ? ?3 ? 2 a ? b ? 0 ? f ?(1) ? 0 ? ? ?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 f (1) ? 0 ? ? ,得 ?

-5-

? ? ?a ? 4 ?a ? ?3 ? ? b ? ?11 ? b?3 ? ? 解得 或?
2 ? 但由于 a ? ?3, b ? 3 , f ( x) ? 3x ? 6 x ? 3 ? 0

故 f ( x) 在 R 上递增。
? ?a ? ?3 ? ?b ? 3 舍去。 ∴?

经检验 a ? 4, b ? ?11 符合题意。
2 (2) c ? 3x ? f ( x) 在 [ ?1, 2] 上恒成立。

f ?( x) ? 3x 2 ? 8x ? 11 ? 0

得 x ?1或

x??

11 3 (舍去)

? 所以 f ( x ) 与 f ( x ) 情况如下:
x

(?1,1)
- 减

1 0 极小值

(1, 2)
+ 增

f ?( x )
f ( x)

f ( x)极小值 ? f (1) ? 10
∴ c ? 3c ? 10
2

c2 ? 3c ? 10 ? 0
?2 ? c ? 5
21. (1) 【解】 由 a1=2-a1,得 a1=1;

3 由 a1+a2=2×2-a2,得 a2= 2 ; 7 由 a1+a2+a3=2×3-a3,得 a3= 4 ;
2n ? 1 15 n ?1 由 a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得 a4= 8 猜想 an= 2
下面证明猜想正确: (1)当 n=1 时,由上面的计算可知猜想成立.

-6-

2k ? 1 k ?1 (2)假设当 n=k 时猜想成立,则有 ak= 2 ,当 n=k+1 时,
Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1, 1 ∴ak+1=2[2(k+1)-Sk]

1 2k ? 1 2 k ?1 ? 1 ( 2 k ? k ?1 ( k ?1) ?1 2 =k+1- 2 )= 2
所以,当 n=k+1 时,等式也成立.

2n ? 1 n ?1 由(1)和(2)可知,an= 2 对任意正整数 n 都成立.

-7-


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