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高二数学选修2-1测试题(综合试题)


选修 2-1 数学综合测试题
一、选择题 1. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B. p 、 q 均为假命题 D. p 、 q 至少有一个是真命题

2.若 p?q 是假命题,则( A. p 是真命题, q

是假命题 C. p 、 q 至少有一个是假命题

3. F 1 , F2 是距离为 6 的两定点,动点 M 满足∣ MF 1 ∣+∣ MF2 ∣=6,则 M 点的轨迹是 ( ) A.椭圆 4. 双曲线 A. y ? ? B.直线 C.线段 ) C. y ? ? D.圆

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为( 16 9
B. y ? ?

16 x 9

9 x 16

3 x 4

D. y ? ?

4 x 3

5. 中心在原点的双曲线, 一个焦点为 F (0 , 3) , 一个焦点到最近顶点的距离是 3 ? 1 , 则双曲线的方程是( A. y ?
2

) B. x ?
2

x2 ?1 2

y2 ?1 2

C. x ?
2

y2 ?1 2

D. y ?
2

x2 ?1 2

6.已知正方形 ABCD 的顶点 A, B 为椭圆的焦点,顶点 C , D 在椭圆上,则此椭圆的离 心率为( A. 2 ? 1 ) B.

2 2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 2

7.椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则 a 的值为( 4 a a 2
B. 2 C.2 D.3



A.1

y2 ? x 2 ? 1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线标准方程为( 8.与双曲线 4
(A)



y2 x2 ? ?1 3 12

(B)

x2 y2 ? ?1 3 12

(C)

y2 x2 ? ?1 2 8

(D)

x2 y2 ? ?1 2 8

9.已知 A(-1,-2,6) ,B(1,2,-6)O 为坐标原点,则向量 OA, 与OB 的夹角是 ( A.0 ) B.

? 2

C. ?

D.

3? 2

试卷第 1 页,总 4 页

10.与向量 a ? (1, ?3, 2) 平行的一个向量的坐标是 A. (





1 1 3 ,1,1) B. (-1,-3,2) C. (- , ,-1) D. ( 2, -3, -2 2 ) 3 2 2

11.11.已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 1 , AA1 ? 2 , E 是侧棱 BB1 的 中点,则直线 AE 与平面 A1 ED1 所成角的大小为( A. 600 B. 90 0 C. 450 )

D.以上都不正确 )

12.若直线 x ? y ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? m 相切,则 m 的值为( A. 0 二、填空题 B. 1 C. 2 D. 0 或 2

A1B1 13.如图 ABCD-A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1= 4 ,则 BE1 与 DF1 所成角的余弦值是 _______________. 14.已知椭圆 x 2 ? ky 2 ? 3k (k ? 0)的一个焦点与抛物线 y 2 ? 12x 的焦点 重合,则该椭圆的离心率是_______________. 15.已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为___________ 3? k 2?k

16.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 A1 B1 的中点,则异面直线 D1 E 和 BC1 间的距离. 三、解答题 17. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E ,F,G 分别是 C1C,D1A1,AB 的中点,求点 A 到平面 EFG 的距离.

18.求渐近线方程为 y ? ?

3 x ,且过点 A(2 3,?3) 的双曲线的标准方程及离心率。 4

试卷第 2 页,总 4 页

19 . 设 命 题 p: 不 等 式 2 x ? 1 ? x ? a 的 解 集 是 {x ?

1 ? x ? 3}; 命 题 q: 不 等 式 3

4 x ? 4ax 2 ? 1 的解集是 ? ,若“p 或 q”为真命题,试求实数 a 的值取值范围.

20.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距 离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值.

21.如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= (I)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ (II)求二面角 Q-BP-C 的余弦值.

1 PD. 2

试卷第 3 页,总 4 页

22.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 E 在椭圆 C 上,且 EF1⊥ ,求椭圆 C 的方程.

F1F2,|EF1|= ,|EF2|=

试卷第 4 页,总 4 页

参考答案 1.B 【解析】 试题分析: x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ( x ?1)( x ? 2) ? 0 , 则 x ? 1且 x ? 2 ; 反之,x ? 1 且 x ? 2 时,

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,故选 B.
考点:充要条件的判断. 2.C 【解析】 试题分析:当 p 、 q 都是真命题 ? p?q 是真命题,其逆否命题为: p?q 是假命题 ? p 、

q 至少有一个是假命题,可得 C 正确.
考点: 命题真假的判断. 3.C 【解析】 解题分析:因为 F1 , F2 是距离为 6,动点 M 满足∣ MF 1 ∣+∣ MF2 ∣=6,所以 M 点的轨迹是 线段 F1F2 。故选 C。 考点:主要考查椭圆的定义。 点评:学习中应熟读定义,关注细节。 4.C 【解析】因为双曲线 5.A 【解析】 试题分析:由焦点为 F (0 , 3) ,所以,双曲线的焦点在 y 轴上,且 c = 3 ,焦点到最近 顶点的距离是 3 ? 1 ,所以,a = 3 -( 3 ? 1 )=1,所以,b ? 双曲线方程为: y ?
2

x2 y 2 3 ? ? 1 ,a=4,b=3,c=5,则其渐近线方程为 y ? ? x 4 ,选 C. 16 9

c 2 ? a 2 = 2 ,所以,

x2 ? 1.本题容易错选 B,没看清楚焦点的位置,注意区分. 2

考点:双曲线的标准方程及其性质. 6.A 【解析】 试题分析:设正方形 ABCD 的边长为 1,则根据题意知, 2c ? 1,? c ?

1 , 2a ? 1 ? 2, 2

答案第 1 页,总 6 页

1 1 1? 2 ,所以椭圆的离心率为 2 ?a ? ? ? 2 ? 1. 2 2 ?1 2 ?1 2
考点: 本小题主要考查椭圆中基本量的运算和椭圆中离心率的求法, 考查学生的运算求解能 力. 点评:求椭圆的离心率关键是求出 7.A 【解析】 试题分析:因为椭圆

c ,而不必分别求出 a, c. a

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,所以 a ? 0 ,且椭 4 a a 2

圆的焦点应该在 x 轴上,所以 4 ? a2 ? a ? 2,? a ? ?2, 或a ? 1. 因为 a ? 0 ,所以 a ? 1. 考点:本小题主要考查椭圆与双曲线的标准方程及其应用. 点评:椭圆中 c 2 ? a 2 ? b2 ,而在双曲线中 c 2 ? a 2 ? b2 . 8.B 【解析】 试题分析:设所求的双曲线方程为

y2 ? x 2 ? ? ,因为过点(2,2) ,代入可得 ? ? ?3 ,所以 4

所求双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1. 3 12

考点:本小题主要考查双曲线标准方程的求解,考查学生的运算求解能力.

y2 y2 2 ? x ? 1 有共同的渐近线的方程设为 ? x 2 ? ? 是简化运算的关键. 点评:与双曲线 4 4
9.C 【解析】 试题分析:应用向量的夹角公式 cos ? ?

a ?b | a |?|b |

=-1.所以量 OA, 与OB 的夹角是 ? ,故

选 C。 考点:本题主要考查向量的数量积及向量的坐标运算. 点评:较好地考查考生综合应用知识解题的能力以及运算能力,属于基本题型。 10.C; 【解析】 试题分析:向量的共线(平行)问题,可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即

b ? 0, a // b ? a ? ?b .也可直接运用坐标运算。经计算选 C。
答案第 2 页,总 6 页

考点:本题主要考查向量的共线及向量的坐标运算. 点评:有不同解法,较好地考查考生综合应用知识解题的能力。 11.B 12.C 【解析】 试题分析:根据题意,由于直线 x ? y ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? m 相切,则圆心(0,0)到直线 x+y=m 的距离为

|m| = m ,则可知得到参数 m 的值为 2,故答案为 C. 2

13.

15 17

14. e ? 【解析】

3 2

试题分析:抛物线的焦点为 F (3, 0) ,椭圆的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 3k ? 3 ? 9 ? k ? 4 ,所以 3k 3

离心率 e ?

3 2 3
1 2

?

3 . 2

15. (?3, ? ) 【解析】

1 (? , 2) 2

? 3? k ? 0 ? x2 y2 试题分析:方程 ? ? 1 表示椭圆,需要满足 ? 2 ? k ? 0 ,解得 k 的取值范围为 3? k 2?k ?3 ? k ? 2 ? k ?
1 1 (?3, ? ) (? , 2) . 2 2
考点:本小题主要考查椭圆的标准方程,考查学生的推理能力. 点评:解决本小题时,不要忘记 3 ? k ? 2 ? k ,否则就表示圆了. 16.
2 6 3

【解析】 试 题分析: 设正方体 棱长 为 2 ,以 D1 为 原点,建 立如 图所示的 空间直角 坐标系,则
? ?0 ?n ?DE 1 D1 E ? (2,1,0) ,C1 B ? (2,0, 2) ,设 D1 E 和 BC1 公垂线段上的向量为 n ? (1, ? , ? ) ,则 ? , ?0 ? ? n ?CB 1

即?

D1C1 ? n 4 2 6 ? 2?? ? 0 ? ? ? ?2 ? ? ,? ? ,? n ? (1, ?2, ?1) ,又 D1C1 ? (0, 2,0) ,? ,所以 3 6 n ?2 ? 2? ? 0 ? ? ? ?1

答案第 3 页,总 6 页

异面直线 D1 E 和 BC1 间的距离为

2 6 . 3

考点:本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。 点评:法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外,还能处理异面直线间 的距离,线面间的距离,以及平行平面间的距离等. 17. 【解析】如图,建立空间直角坐标系, 则 A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0),

所以

=(1,-2,1),

=(2, -1,-1),

=(0,-1,0).

设 n=(x,y,z)是平面 EFG 的法向量,



所以

所以 x=y =z,可取 n=(1,1,1) ,

所以 d=

=

=

,

即点 A 到平面 EFG 的距离为

.

18.双曲线方程为

y2 x2 5 ? ? 1 ,离心率为 9 3 4 4

【解析】

x2 y2 ? ? ? (? ? 0) , 试题分析:设所求双曲线方程为 16 9
带入 A(2 3,?3) ,?

??4 分

12 9 1 ? ???? ?? , 16 9 4

??8 分

? 所求双曲线方程为

y2 x2 ? ?1, 9 4 4

??10 分

9 2 25 ,b ? 4 ? c2 ? , 4 4 c 5 ? 离心率 e ? ? . a 3
2 又a ?

??12 分

答案第 4 页,总 6 页

1 ? ?a ? 1 ?? ?a ? 1 ? ? x ? a ? 1 ,由题意得 ? 3 19. 解:由 2 x ? 1 ? x ? a 得 3?a ?2. 3 ? ?a ? 1 ? 3
∴命题 p: a ? 2 . 由 4 x ? 4ax 2 ? 1 的解集是 ? ,得 4ax 2 ? 4 x ? 1 ? 0 无解, 即对 ?x ? R , 4ax 2 ? 4 x ? 1 ? 0 恒成立,∴ ?

?a ? 0
2 ? ? ? ( ?4) ? 4 ? 4a ? 1 ? 0

,得 a ? 1 .

∴命题 q: a ? 1 . 由“p 或 q”为真命题,得 p、q 中至少有一个真命题. 当 p、q 均为假命题,则 ?

?a ? 2 ? {a a ? 1} ,而 ?R{a a ? 1} ? {a a ? 1} . ?a ? 1

∴实数 a 的值取值范围是 (1, ??) . 20. m的值为? 2 6 【解析】 试题分析:设抛物线方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) ,则焦点 F( ?
?m 2 ? 6 p ?m ? 2 6 ?m ? ?2 6 ? ,解之得 ? 或? , ? 2 p 2 p ? 4 p ? 4 m ? ( 3 ? ) ? 5 ? ? ? 2 ?

p ,0 ) ,由题意可得 2

故所求的抛物线方程为 x 2 ? ?8 y , m的值为? 2 6 21.解: 如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空 间直角坐标系 D ? xyz . (Ⅰ)依题意有 Q(1,1,0) , C (0,0,1) , P(0,2,0) , 则 DQ ? (1,1,0) , DC ? (0,0,1) , PQ ? (1,?1,0) ,所以

PQ ? DQ ? 0 , PQ ? DC ? 0 ,
即 PQ ⊥ DQ , PQ ⊥ DC .且 DQ 所以平面 PQC ⊥平面 DCQ . (II)依题意有 B(1,0,1) , CB = (1,0,0) , BP = (?1,2,?1) .

DC ? D 故 PQ ⊥平面 DCQ .又 PQ ? 平面 PQC ,
??6 分

答案第 5 页,总 6 页

设 n ? ( x, y, z) 是平面 PBC 的法向量,则 ? 因此可取 n ? (0,?1,?2). 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则 ?

? x ? 0, ? ?n ? CB ? 0, 即? ?n ? BP ? 0, ?? x ? 2 y ? z ? 0. ?

? ? m ? BP ? 0, ? ?m ? PQ ? 0.

可取 m ? (1,1,1),所以 cos m, n ? ?

15 . 且由图形可知二面角 Q ? BP ? C 为钝角 5
15 . 5

故二面角 Q ? BP ? C 的余弦值为 ? 22. 【解析】因为点 E 在椭圆 C 上, 所以 2a=|EF1|+|EF2|= + 在 Rt△EF1F2 中,|F1F2|= 所以椭圆 C 的半焦距 c = 因为 b= = + . =2, =1.

=6,即 a=3. = =2 ,

所以椭圆 C 的方程为

答案第 6 页,总 6 页


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