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2012年东南地区冬令营赛前训练题C解答


2012

年东南地区冬令营赛前培训
测试题 C 解答
陶平生提供

1 、设 a1 , a 2 , ? , a n , ? 是一个由非负实数组成的有界无穷项数列,若对每个 a i ,皆有

0 ? a i ? c ,且对任意两项 a i , a j ( i ? j ) ,都有 a i ? a j ?

1 i? j

;证明: c ? 1 .

证:对于 n ? 2 ,将数列前 n 项 a1 , a 2 , ? , a n 按递增排序得 0 ? a k ? a k ? ? ? a k ? c ,
1 2 n

其中 k 1 , k 2 , ? , k n 是 1, 2, ? , n 的某个排列,则
c ? ak ? ak ? (ak ? ak
n 1 n

n ?1

) ? (ak

n ?1

? ak
1

n?2

) ? ? ? (ak ? ak )
2 1

?

1 k n ? k n ?1

?

1 k n ?1 ? k n ? 2

?? ?

k 2 ? k1

,据柯西不等式,

? ? 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ( k n ? k n ?1 ) ? ( k n ?1 ? k n ? 2 ) ? ? ? ( k 2 ? k 1 ) ? k 2 ? k1 ? ? k n ? k n ?1 k n ?1 ? k n ? 2 ? ? 1 1 1 2 2 ? ?? ? ? ( n ? 1) ,即 ? ? ? ? n ( n ? 1) ? k n ? k 1 ? ? ( n ? 1) , k n ? k n ?1 k n ?1 ? k n ? 2 k 2 ? k1 ? ?

而 k n ? k 1 ? 1 ? 2 ? 3 ,所以
c? 1 k n ? k n ?1 ? 1 k n ?1 ? k n ? 2 ?? ? 1 k 2 ? k1 ? ( n ? 1)
2

n ( n ? 1) ? 3

?

( n ? 1)
2

2

n ?n?2

?

n ?1 n?2

? 1?

3 n?2



由于此式对一切 n ? 2 成立,所以 c ? 1 .
2 、凸四边形 A B C D 的对角线 A C , B D 交于 K , A C , B D 的中点分别为 E , F ,且

E , F , K 互不重合, E F 的延长线分别交 A D , B C 于 M , N ;

证明: ? A M E , ? B N F , ? C N E , ? D M F , ? E F K 这五个三角形的外接圆共点. 证:设 ? A M E , ? D M F 的另一交点为 P ,则 ? P A E ? ? P M E ? ? P M F ? ? P D F ,
? P E A ? ? P M A ? ? P F D ,所以 ? P A E ∽ ? P D F ,

于是

PE PF

?

AE DF

?

EC FB

, ? P E A ? ? P F D ,则其补角 ? P E C ? ? P F B ,

因此 ? P E C ∽ ? P F B ,进而 ? P A C ∽ ? P D B ,

1

即 ? P A C 与 ? P D B 关于点 P 旋转位似,其相似比为

PE PF

?

AC DB



又据前式 ? P E A ? ? P M A ? ? P F D ? ? P F K ,得 P , E , K , F 共圆. 同理,若设 ? C N E , ? B N F 的另一交点为 则 EK F P ? , P ?, , , 共圆, ? P ?A C 与 ? P ?D B 且
P ?E P ?F ? AC DB

C D
K M E F N P

关于点 P ? 旋转位似, 其相似比为 因此有
PE PF ? P ?E P ?F



, 由于 P , P ? 同在圆 P E K F

? 的 弧 EPF 上 , 所 以 P, P? 共 点 , 于 是
?AM E , ?BN F , ?C N E , ?D M F , ?EFK 这 五

A

B

个三角形的外接圆相交于点 P .

3 、设 n ? 4 ,若 n 元正整数集合 M 满足:对任何整数 k ,都存在 a , b ? M , a ? b ,

使得 a ? k 与 b ? k 是不互质的数,就称 M 为“好集” . 证明:若 M 为“好集” ,且 M 中所有元素之和为 2 0 1 1 ,则存在 c ? M ,使得从 M 中 删去元素 c 后,所得到的集 M ? ? M \ ? c ? 仍为“好集” . 证:如果 a ? k 与 b ? k 不互质,则 ( a ? k , b ? k ) 有质数因子 p ,于是 p ( a ? b ) , 现在设, M 中的元素两两之差的所有可能的质因子构成集合 P ? ? p1 , p 2 , ? , p m ? ; 假若对于每个 p i ? P ,都存在一个剩余 ri ,使得在集合 M 中至多只有一个数关于模 p i 与 ri 同余, (即是说,存在模 p i 的某个剩余类 K r ,其中至多含有 M 中的一个元素) .
i

?x ? ? ?x ? 由孙子定理,同余组 ? ?? ?x ? ?

? r1 (m o d p1 ) ? r2 (m o d p 2 ) ? ? ? rm (m o d p m )

有解 x ? k (m o d p1 p 2 ? p m ) ,满足:

k ? ? ri (m o d p i ), i ? 1, 2, ? , m ,而利用题中条件可得,对于这个 k , 存在某对 a , b ? M 和

某个 p j ? P ,使得 p j 整除 a ? k 与 b ? k ,由 a ? k ? 0 (m o d p j ), b ? k ? 0 (m o d p j ) 得
a ? r j (m od p j ), b ? r j (m od p j ) , a , b 关于模 p j 皆与 r j 同余, 即 也即 a , b 两数属于模 p j 的

2

同一个剩余类 K r ,这与 r j 的假设矛盾!
j

由此可以断定, ? p ? P ,关于模 p 的每个剩余类,都至少含有集 M 的两个元素; 又假若对于模 p 的每个剩余类,都恰好含有集 M 的两个元素,则 M 中恰有 2 p 个元素, 分别为 p? i ? ri 和 p ? i ? ri 的元素各一对, 其中 ? i , ? i 为非负整数, ri 通过 0,1, 2, ? , p ? 1 , 而 于是 M 的元素和为 pN ? 2(0 ? 1 ? 2 ? ? ? p ? 1) ? p ( N ? p ? 1) , 如此有 2011 ? p ( N ? p ? 1) ,而 2 0 1 1 为质数,矛盾! 因此,必存在 p 的某个剩余类,含有集 M 的至少 3 个元素,今从 M 中删去这样的一个 元素 c ,所得到的集 M ? ? M \ ? c ? 仍为“好集” . 附注 1、 这里用到剩余类基本概念:给定模 m ,全体整数就被分成 m 个剩余类
K 0 , K 1 , ? , K m ?1 , 每 个 整 数 a 属 于 且 仅 属 于 其 中 一 个 剩 余 类 , a ? K i 当 且 仅 当
a ? i (m od m ) ;而两个整数 a , b 属于模 m 的同一个剩余类,当且仅当 a ? b (m od m ) .

附注 2、由于集 M 的元素个数 ? 4 ,则 M 中的元素两两之差的质数因子中,必含有奇 质因子,事实上,设 a ? b ? c ? d 是 M 中的四个数,考虑差 b ? a , c ? b , d ? c ,假若它们 都没有奇质因子,则可表为: b ? a ? 2 , c ? b ? 2 , d ? c ? 2 ,如果 i , j , k 全相等,则
i j k

d ? a ? 3 ? 2 有奇质因子;如果 i , j , k 不全相等,则 i , j , k 中必有两个相邻的数不等,不妨设
i

c b i ? j ,则 c ? a ? ( ? b )? ( ? a )? 2 (1 ? 2
j

i ?j

)

有奇质因子.只需用这种奇质因数作为上面

的 p 即可.
4 、对于给定的正整数集合 M ? ? x1 , x 2 , ? , x 2012 ? ,如果其子集 T 满足:T 中的任两数
x , y (允许 x , y 相等)之和皆不在 T 中,就称子集 T 是单纯的.

(1 ) 、若 T 是 M ? ?1, 2, ? , 2 0 1 2 ? 的单纯子集,求 T 的最大值;
0

(2 ) 、 证明: 对任一正整数集 M ? ? x1 , x 2 , ? , x 2012 ? , 存在单纯子集 T , 满足 T ? 6 7 1 .
0 0 证:(1 ) 、设 A ? ? a 0 , a1 , ? , a k ? 为 M ? ?1, 2, ? , 2 0 1 2 ? 的一个 k ? 1 元单纯子集,其中

a 0 ? a1 ? ? ? a k ,作 k 元集 B ? ? b1 , b 2 , ? , b k ? ,其中 b j ? a j ? a 0 , ( j ? 1, 2, ? , k ) ,显然
B ? M ,由于 A 是单纯集,则 A ? B ? ? ,故 ( k ? 1) ? k ? 2012 , k ? 1 ? 1006 .此上界
3

可以取到,例如取 A ? ?1, 3, 5, ? , 2 0 1 1? 为 M 中所有奇数构成的子集. 采用构造法, M ? ? x1 , x 2 , ? , x 2012 ? 为正整数集, s ? x1 x 2 ? x 2 0 1 2 ? 2 ? q , 设 记 ( 2 ) 证明:
0
k

其中 k ? N , q 为奇数; 而 易知 3 q ? 2 为奇数且它有 3 N ? 2 形状的质因数 p , p ? 3 r ? 2 , 记 显然 p 为奇数, ( p , q ) ? 1, ( p , s ) ? 1 ,所以 ( p , x i ) ? 1 , i ? 1, 2, ? , 2 0 1 2 ; 若用 a 表示整 数 a 被 p 除得的最小正余数, ? x ? M ,x , 2 x , ? , ( p ? 1) x 皆是 1, 2, ? , p ? 1 的一个排列. 则 所以存在一个集合 A x ,它含有 1, 2, ? , p ? 1 中的 r ? 1 个整数 t ,注意 p ? 3 r ? 2 ,即

?1, 2, ? , p ? 1? ? ?1, 2, ? , 3 r ? 1? ,且 tx 属于 A ? ? r ? 1, r ? 2, ? , 2 r ? 1? ,
对每个 x ? ?1, 2, ? , p ? 1? ,设 M x ? a ? M a x ? A ,则有
M1 ? M
2

?

?

?? ? M

p ?1

?

x? M

?

A x ? 2 0 1 2 ( r ? 1) ,于是据抽屉法则,其中存在 x 0 ,使得
? 671 ,

M

x0

?

2 0 1 2 ( r ? 1) 3r ? 1
x0

? 6 7 0 ,所以 M

x0

设 A 是一个包含 M

的 6 7 1 元子集, A 必是一个单纯子集; 则 这是因为, 对任意 a , b , c ? A ,

( a , b 可以相等) ,有 a x 0 , b x 0 , cx 0 ? T ,而 a x 0 ? b x 0 ? cx 0 ,因此 a ? b ? c .

4


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