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湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学(理)试题 word版含答案


湖北黄冈市 2013 年高三年级 4 月份模拟考试

数学(理)试题
第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选英中,只有 一个是符合题目要求的) 1. sin 2013 的值属于区间 A. (?
?

1 ,0 ) 2
x

0

B. ( ?1,? )

1 2

C. ( ,1)

1 2

D. (0, )

1 2

2.下列命题中,真命题是 A. ?x0 ? R, 使得e

?0

B. ?x ? R, 2 ? x
x

2

C. a ? 1, b ? 1是ab ? 1 的充分条件 3.由直线 y ? 2与函数y ? 2 cos A. 4?
2

D. sin x ?
2

2 ? 3( x ? k? , k ? Z ) sin x

x (0 ? x ? 2? ) 的图象围成的封闭图形的面积为 2
C. ? D.

B. 2?

? 2

2 4.已知复数 z ? ?3 ? 2i (i 为虚数单位)是关于 x 的方程 2 x ? px ? q ? 0( p, q 为实数)的

一个根,则 p ? q 的值为 A.22 B.36
x ?e

C.38 相切,则实数 a 的值为 C.2

D.42

5.若直线 y ? x ? 3与曲线y ? e A.—4

B.—2

D.4

6.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身体 x(单位:cm)具有线性相关关系。根据一组 样本数据( xi , yt )(i ? 1,2?, n) ,用最小二乘法建立的回归方程是 y ? 0.85x ? 85.71, 则下列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x, y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg

7.某三棱锥的三视图如所示,该三棱锥的体积为

A.20 B.

40 3

C.56 D.60 8.已知直线 x=2 与双曲线 C :

y2 4

? y 2 ? 1 的渐近线

交于 E1、E2 两点,记 OE1 ? e1 , OE2 ? e2 ,任取双 曲线 C 上的点 P,若 OP ? ae1 ? be2 (a, b ? R) ,则 A. 0 ? a 2 ? b 2 ? 1 B. 0 ? a ? b ?
2 2

1 2

C. a 2 ? b 2 ? 1

D. a ? b ?
2 2

1 2

9.假设你家订了一份早报,送报人可能在早上 6:30—7:30 之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去上班的时间在早上 7:00—8:00 之间,则你父亲在离开家前能得到报纸的概 率为 A.

1 3

B.

7 12

C.

7 8

D.

1 8

10.已知函数 f ( x)是定义在 ??,0) ? (0,??) 上的偶函数,当 x ? 0 时, (

?2| x ?1| ? 1,0 ? x ? 2, ? f ( x) ? ? 1 则函数g ( x) ? 4 f ( x) ? 1 的零点个数为 ? f ( x ? 2), x ? 2 ?2
A.4 B.6 C.8 D.10 二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (一)必考题(11—14 题) 11.在△ ABC 中,内角 C=60°, AC ?CB ? ?3, 则 △ ABC 的面积 S= . 12.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8, 输出的值为 s,则 ( x ?
2

1 2 ) 的展开式中 x 4 项的 x

系数是 13.数式 1 ?

(用数字作答).

1 中省略号“…”代表无限重复,但原 1??

式是一个固定值,可以用如下方法求得: 令原式 ? t ,则 1+ ? t , 则t ? t ? 1 ? 0, 取正值t ?
2

1 t

5 ?1 , 2
.

用类似方法可得 2 ?

2 ? 2 ?? =

14.设函数 f ( x) ? 2x ? cos x, g ( x) ? 2 x ? sin x, 数列 an } 是公差为 {

? 的等差数列,若 8
.

? f (a ) ? 7? , 则 ① ? g ( 2 ? a ) ?
i ?1 1 i ?1 1

7

7

?

;②

[ f (a 4 )]2 a1 ? a2

=

(二)选考题(请考生在第 15、16 题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答结果计 分) 15. (选修 4—1, 几何证明选讲) 如图, 在圆 O 中, 直径 AB 与弦 CD 垂直, 垂足为 E, DB, EF⊥ 垂足为 F,若 AB=6,AE=1,则 DF· DB= . 16. (选修 4—4,坐标与参数方程)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? 2t , (t 为参数) ,在以 O 为极 2 ? ? y ? 2t

点,以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的方程 为 ? sin(? ?

?

4

) ? 2 2 ,则 C1 与 C2 的交点个数为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (2 sin(?x ? 相邻对称轴间的距离为

?
3

),1), n ? (2 cos ?x,? 3 )(? ? 0), 函数 f ( x) ? m ? n 的两条

? . 2

(1)求函数 f (x) 的单调递增区间; (2)当 x ? [ ?

5? ? , ] 时,求 f (x) 的值域. 6 12

18. (本小题满分 12 分) PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为可入肺颗粒物, 我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值, PM2.5 日匀值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级; 即 在 35 微克/立方米—75 微克/立方米之间空气质量为二级;75 微克/立方米以上空气质量为 超标。 某试点城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中顾及机抽取 15 天 的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). (1)从这 15 天时 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,求恰有一天空气质量达到

一级的概率; (2)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数, 求 ? 的分布列及期望 E ? .

19. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? ? 大值为 8. (1)求常数 k 的值,并求 an ;

1 2 n ? kn (k ? N *) ,且 S n 的最 2

(2)对任意 m ? N * ,将数列 {an } 中落入区间 (?4 ,?2 ) 内的项的个数记为 bm ,求
m m

数列{ bm }的前 m 项和 T m .

20. 本小题满分 12 分) ( 如图, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在平面互相垂直, CD, AD⊥ AB//CD, AB=AD=

1 CD ? 2 ,点 M 在线段 EC 上且不与 E、C 垂合。 2

(1)当点 M 是 EC 中点时,求证:BM//平面 ADEF; (2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 体积.

6 时,求三棱锥 M—BDE 的 6

21. (本小题满分 13 分)设点 A( ? 3 ,0) ,B( 3 ,0) ,直线 AM、BM 相交于点 M, 且它们的斜率之积为 ?

2 . 3
2 2

(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 l 过点 F(1,0)且绕 F 旋转,l 与圆 O : x ? y ? 5 相交于 P、Q 两点,l 与轨迹 C 相交于 R、 两点, S 若|PQ| ? [4, 19], 求△F′RS 的面积的最大值和最小值 (F′ 为轨迹 C 的左焦点).

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ?x ? x , g ( x) ? a ln x(a ? 0, a ? R).
3 2

(1)求 f (x) 的极值; (2)若对任意 x ? [1,??) ,使得 f ( x) ? g ( x) ? ?x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取
2

值范围; (

3











n? N *









1 1 1 2013 ? ??? ? 成立. ln(n ? 1) ln(n ? 2) ln(n ? 2013 n(n ? 2013 ) )

参考答案
一、选择题(共 50 分) 1—5 BCBCA 6—10 DBDCD 二、填空题(25 分) 3 11、2 3 12、70 三、解答题(共 75 分) 17、 (12 分) ) f ( x) ? m ? n ? 4sin(? x ? (Ⅰ

13、2

14、0,

64 7

15、5

16、2

?? ?

?
3

) cos ? x ? 3

? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 cos2 ? x ? 3 ? sin 2? x ? 3 cos 2? x
? 2sin(2? x ? ) 3
?? ? 1

?

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) …………………………4 分 3 ? ? ? 5? ? ? x ? k? ? 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? ( k ? z ) 得 k ? ? 2 3 2 12 12 5? ? ? 单调递增区间是 [k? ? , k? ? ](k ? z ) …………………………………………8 分 12 12 5? ? ? 4? ? ? , ] ? 2x ? ? ? , ] ? s i n x( ? [ 2 ?) ? [ (Ⅱ ? x ? [ ? ) 6 12 3 3 2 3

T?

2? ?? 2?

?

1, 1]

? f ( x) ?[?2, 2]

即 f ( x ) 的值域是 [?2, 2] …………………………………12 分

18、 (12 分) )15 天中空气质量达到一级的有 5 天, (Ⅰ 则恰有一天空气质量达到一级的概率 P ?
1 2 C5C10 45 ? ………………………………4 分 3 C15 91

(Ⅱ )15 天中空气质量超标的天数为 5 天,?? ? 0,1, 2,3

P(? ? 0) ?

3 C10 24 ? 3 C15 91

P(? ? 1) ?

1 2 C5C10 45 ? 3 C15 91

1 C52C10 20 P(? ? 2) ? ? 3 C15 91

3 C5 2 P(? ? 3) ? 3 ? ………………………………8 分 C15 91

? 分布列为

?
P

0

1

2

3

24 91

45 91

20 91

2 91

? E? ? 0 ?

24 45 20 2 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 …………………………………………12 分 91 91 91 91

19、 (12 分) ) Sn ? ? (Ⅰ

1 2 1 k2 n ? kn ? ? (n ? k )2 ? 2 2 2

?当n ? k时( Sn )max ?
1 ? S n ? ? n 2 ? 4n 2

k2 ? 8,? k ? 4 …………………………………………………3 分 2
a1 ? S1 ? 7 2
当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ?

9 ?n 2

9 ? n …………………………………………………6 分 2 9 9 9 m m ? 2m ? ? n ? 4m ? (Ⅱ )依题意有 ?4 ? ? n ? ?2 2 2 2 9 9 ? bm ? (4m ? ) ? (2m ? ) ? 4 m ? 2 m …………………………………………………9 分 2 2

? 数列 {an } 的通项公式为 an ?

?Tm ?

4(1 ? 4m ) 2(1 ? 2m ) 4m?1 2 ? ? ? 2m?1 ? ………………………………12 分 1? 4 1? 2 3 3

20、 (12 分) )以 DA、DC、DE 分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系 (Ⅰ 则 A(2,0,0), B(2, 2,0), C(0, 4,0), E(0,0, 2), M (0, 2,1)

???? ? ???? ? BM ? (?2,0,1), 面ADEF 的一个法向量 DC ? (0, 4,0)
???? ???? ? ???? ???? ? ? BM ? DC ? 0 ,? BM ? DC 。即 BM // 面ADEF ……………………………4 分 ?? ? t (Ⅱ )依题意设 M (0, t , 2 ? )(0 ? t ? 4) ,设面 BDM 的法向量 n1 ? ( x, y , z ) 2 ???? ? ? ??? ? ? t 则 DB ? n ? 2x ? 2 y ? 0 , DM ? n ? ty ? (2 ? ) z ? 0 2 ?? ? ?? ? 2t ) ,面 ABF 的法向量 n2 ? (1, 0, 0). 令 y ? ?1 ,则 n1 ? (1, ?1, 4?t ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? | n ? n2 | 1 6 ? ? ?| cos ? n1 , n2 ?|? ?? 1 ?? ? ? ,解得 t ? 2 6 4?2 | n1 | ? | n2 | 2? (4 ? t ) 2
? M (0, 2,1) 为 EC 的中点, S?DEM ?
1 S?CDE ? 2 , B 到面 DEM 的距离 h ? 2 2

1 4 ?VM ? BDE ? ? S ?DEM ? h ? …………………………………………………………8 分 3 3
21、 (13 分) )设 M ( x, y ) ,则 kMA ? kMB ? (Ⅰ

y y 2 ? ? ? ( x ? ? 3) 3 x? 3 x? 3

化简

x2 y 2 ? ?1 3 2

? 轨迹 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1( x ? ? 3) ……………………4 分 3 2

(Ⅱ )设 l : x ? my ? 1, O到l 的距离 d ?

1 1 ? m2

,? PQ |? 2 5 ? |

1 ? [4,19] 1 ? m2

? 0 ? m2 ? 3 ,将 x ? my ? 1 代入轨迹 C 方程并整理得: (2m2 ? 3) y 2 ? 4my ? 4 ? 0
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ?

4m 4 , y1 y2 ? ? 2 2m ? 3 2m 2 ? 3

?| y1 ? y2 |? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ?

16m 2 16 ? 2 2 (2m ? 3) 2m 2 ? 3

? S? ?

1 3(m 2 ? 1) | y1 ? y2 | ? | FF ? |? 4 2 (2m 2 ? 3) 2

2 设 m ? 1 ? t ?[1, 4] ,则 f (t ) ? 4t ? 在[1, 4] 上递增,? f (t ) ? [5,

1 t

65 ] 4

? S? ? 4

3t ? (2t ? 1)2

4 3 1 4 ? (4t ? ) t

? Smin ?

8 3 4 3 , Smax ? …………………………………………………………13 分 9 3
2

22、 (14 分) ) f ?( x) ? ?3x ? 2 x ? 0 , x ? 0或 (Ⅰ

2 ( , ??) ? ,? f ( x)极小 ? f (0) ? 0,f ( x)极大 3
3

2 2 , f ( x)在( ??, 0) ?, (0, ) ? 3 3 2 4 ? f( )? ………………………4 分 3 27
2

(Ⅱ f ( x) ? g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x化为a(ln x ? x) ? 2x ? x ) 易知 ln x ? x ,? a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x ,设 ? ( x) ? x ? ln x x ? ln x

? ?( x) ?

2 ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) ,设 h( x) ? x ? 2 ? 2ln x , h?( x ) ? 1 ? 2 x ( x ? ln x)

? h( x)在(1, 2) ?,(2, ??) ? ,?h( x)min ? h(2) ? 4 ? 2ln 2 ? 0
?? ?( x) ? 0 ,?? ( x)在[1, ??) 上是增函数, ? ( x)min ? ? (1) ? ?1
? a ? ?1 ……………………………………………………………………………………9 分
(Ⅲ )由(Ⅱ )知: a ln x ? (a ? 2) x ? x ? 0对x ? 1 恒成立,
2

令 a ? ?1 ,则ln x ? x ? x ,?
2

1 1 1 1 ? ? ? ln x x( x ? 1) x ? 1 x

取 x ? n ? 1,n ? 2, , n ? 2013得 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,? , ? ? ln(n ? 1) n n ? 1 ln(n ? 2) n ? 1 n ? 2 ln(n ? 2013) n ? 2012 n ? 2013

相加得:

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ?( ? )?( ? ) ln(n ? 1) ln(n ? 2) ln(n ? 2013) n n ?1 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 2013 ? )? ? ? …………………14 分 n ? 2012 n ? 2013 n n ? 2013 n(n ? 2013)

?? ? (


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