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安徽省含山县第二中学2013~2014学年度高一年级上学期数学竞赛


2013~2014 学年度高中数学竞赛 高 一 年 级 试 题
一 、选择题﹙满分 24 分,每小题只有一个正确答案,答对得 6 分,答错或不答均记 0 分) 1. 设函数 f ? x ? 对 x ? 0 的一切实数均有 ﹙A﹚2006. ﹙B﹚2008.

? 2008 ? f ? x? ? 2 f ? ? ? 3x ,则 f ? 2 ? 等于(

? x ?
﹙C﹚2010. ﹙D﹚2012.



2. 已知 abc ? 0 ,则在下列四个选项中,表示 y ? ax2 ? bx ? c 的图像只可能是 (



y

y

y

y

0

x

0

x

0

x

0

x

﹙A﹚

﹙B﹚

﹙C﹚

﹙D﹚ )

2 3. 函数 f ( x) ? a x ? loga x在[1, 2] 上的最大值和最小值之差为 a ? a ? 1 ,则 a 值为(

﹙A﹚ 2 或

1 2

﹙B﹚ 2 或 4

﹙C﹚

1 或4 2

﹙D﹚ 2

4. 已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(-x)= -f(x+2), 且当 x>1 时, f(x)单调递增. 如果 x1+x2< 2, 且(x1-1)( x2-1)<0, 则 f(x1)+f(x2)的值 ( ) ﹙A﹚恒大于 0 ﹙B﹚恒小于 0 ﹙C﹚ 可能为 0 ﹙D﹚可正可负 二、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分,直接将答案写在横线上.) 5.已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | x ? b}, a, b ? N,且 A ? B ? N ? {1} ,则 a ? b ? .

6. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 014x+log2 014x,则在 R 上,函数 f(x) 零点的个数为________个. 7. 设 [ x] 为表示不超过 x 的最大整数,则函数 y ? lg[ x ] 的定义域为 ?lg 3?2-lg 9+1· ?lg 27+lg 8-lg 1 000? = lg 0.3· lg 1.2 .

8.



9. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足

f ( x ? 1) ? 2 f ( x) .若当 0 ? x ? 1

时. f ( x) ? x(1 ? x) ,则

当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) =________________.

10. 已知函数 f ? x ? ? ln

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ? 2?

?



?log2?1-x?, ? 11. 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 满 足 f(x) = ? ?f?x-1?-f?x-2?, ?

x≤0, x>0,

则 f(2 013) 的


12.若二次函数



f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象和直线 y=x 无交点,现有下列结论: ①方程 f [ f ( x)] ? x 一定没有实数根; ②若 a>0,则不等式 f [ f ( x)] ? x 对一切实数 x 都成立; ③若 a<0,则必存存在实数 x0,使 f [ f ( x0 )] ? x0 ; ④若 a ? b ? c ? 0 ,则不等式 f [ f ( x)] ? x 对一切实数都成立;
⑤函数 g ( x) ? ax ? bx ? c 的图像与直线 y ? ? x 也一定没有交点.
2

其中正确的结论是

(写出所有正确结论的编号).

三、解答题(本大题共 4 小题,共 62 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 13. (本小题满分 12 分)

2x ?1 已知函数 f ( x) ? x . 2 ?1
⑴ 判断函数 f ( x) 的奇偶性,并证明; ⑵ 证明: f ( x) 是其定义域上的增函数 .

14. (本小题满分 15 分) 规定[t]为不超过 t 的最大整数, 例如[12.6]=12, [-3.5]=-4, 对任意实数 x, 令 f1(x) =[4x],g(x)=4x-[4x],进一步令 f2(x)=f1[g(x)]. 7 (1) 若 x= ,分别求 f1(x)和 f2(x); 16 (2) 若 f1(x)=1,f2(x)=3 同时满足,求 x 的取值范围 .

15. (本小题满分 15 分) 已知函数 y=f(x)= 其中 b∈N 且 f(1)<

ax 2 ? 1 (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当 x>0 时,f(x)有最小值 2, bx ? c

5 . 2

(1)试求函数 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;

若不存在,说明理由 .

16. (本小题满分 20 分) 已知函数 y ? f ( x) 具有性质:f (a ? x) ? f (a ? x), 则函数 y ? f ( x) 关于直线:

x ? a 对称.设函数 g ( x) ? 2 x ?

k ,k ?R . 2x

(1)如果函数 g ( x) 有对称轴,试求参数 k 的取值范围及对称轴方程(用含 k 的形式 表达) ; (2)如果函数 g ( x) 有对称中心,试探求实数 k 的取值范围及函数 y= g ( x) 的图象的 对称中心的坐标 .

高一数学竞赛参考答案部分

一、选择题: 二、填空题: 5. 9. ? 1

1-4

A

B

A [1, ? ?) 0

B

6. 3 10. 2

7. 11.

8.

?

x (1 ? x) 2

3 2

12. ①②④⑤

三、解答题: 13.(1) 解; f ( x) 为奇函数,

? 2 x ? 1 ? 0, ? f ( x) 的定义域为 R .
又? f ( ? x ) ?

2?x ? 1 1 ? 2 x 2x ?1 ? ? ? ? ? f ( x) , 2?x ? 1 1 ? 2 x 2x ?1

? f ( x) 为奇函数.
(2)? f ( x ) ? 1 ?

2 , 2 ?1
x

任取 x1 、 x 2 ? R ,设 x1 ? x 2 ,

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (1 ?

2 2 1 1 ) ? (1 ? x2 ) ? 2( x 2 ? x1 ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1
x1

2(2 x1 ? 2 x2 ) . ? x1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)
? x1 ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 , ? 2 x1 ? 2 x2 ? 0 , 又 2x1 ? 1 ? 0, 2x2 ?1 ? 0 ,
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .? f ( x) 在其定义域 R 上是增函数.
14.(1)∵x=

7 7 时, 4 x = 16 4,

?7? ∴f1(x)=?4?=1, ? ? 7 ?7? 3 g(x)=4-?4?=4. ? ? ?3? ∴f2(x)=f1[g(x)]=f1?4?=[3]=3. ? ? (2)∵f1(x)=[4x]=1,g(x)=4x-1, ∴f2(x)=f1(4x-1)=[16x-4]=3.
∴?

?1≤4x<2, ?3≤16x-4<4.



7 1 16≤x<2.

15. 解: (1) f ?x ? ? f ?? x ? ? 0 ? c ? 0 ? f ?x ? ?

1? 1? ? ax ? ? , b? x?

2 ? 1 1 ?? 1? ? ? 2 a ? ,所以 2 ? ? 2 a ? a ? b 2 , 当 x ? 0 时, f ?x ? ? ?? ax ? ? ? b b ?? x? ? ? ? a ?1 5 1 ? ? 2b 2 ? 2 ? 5b ? ? b ? 2 ? b ? 1, a ? 1 . 又 f ?1? ? b 2 2 1 所以 f ? x ? ? x ? . x

1 ? ? y 0 ? x0 ? x ? 0 (2)若存在,设两点为 ?x0 , y0 ?, ?2 ? x0 ,? y0 ? ,所以 ? , 1 ?? y ? 2 ? x ? 0 0 ? 2 ? x0 ?
解得两点为 1 ? 2,2 2 , 1 ? 2,?2 2 ,所以存在. 16. (1)设 g(x)关于直线 x=a 对称,则有:g(x+a)=g(x-a)恒成立,整理可得:

?

??

?

1 2x ? )(k ? 2 2 a ) ? 0 ,故: k ? 2 2a 恒成立, x 2a 2 2 1 1 ?k>0,且 a ? log 2 k ,即 g(x)图像的对称轴为: x ? log 2 k . 2 2 (2)设函数 g ( x) 关于 M(m,n)对称,则: g ( x) ? g (2m ? x) ? 2n 恒成立,整理得出: ( 2x 1 ? x ) ? 2n 恒成立, 2m 2 2 2m 从而有: k ? 2 ? 0且2n ? 0 . 1 1 ?k<0, m ? log 2 (?k ), n ? 0 即函数 g ( x) 图像关于 M ( log 2 (?k ), 0) 中心对称. 2 2 (k ? 2 2 m )(


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